1、幂的乘除与积的乘方【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 同底数幂的乘法和除法2. 幂的乘方与积的乘方二. 知识要点：1. 同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加即：amana mn （m、n 都是正整数） 在应用同底数幂的乘法的运算性质时，一定要注意以下几点：（1 ）底数必须相同；（2 ）相乘时底数没有发生变化；（3 ）指数相加的和作为幂的指数的最终结果2. 幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘即：（a m） na mn（m、n 都是正整数） 做幂的乘方运算时，要注意以下两点：（1 ）运算时底数不发生变化；（2 ）指数应相乘3. 积的乘方积的乘方，等于各因式乘方的积即：（ab） na
2、nbn（n 为正整数） 学习积的乘方时，应注意下面几个方面：（1 ）每一个因式都要乘方；（2 ）所得的幂相乘；（3 ） “a”、 “b”可以是单项式，也可以是多项式；（4 ）对于积中有三个或三个以上的因式也适用此性质4. 同底数幂的除法（1 ）同底数幂的除法的运算性质：a mana mn （a0，m、n 都是正整数） 同底数幂相除，底数不变，指数相减注意：因为零不能作除数，所以底数不能为 0底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式（2 ）零指数幂和负指数幂为了使同底数幂除法的运算性质 amama mm 在 mn 时仍然成立，我们规定：a 01其中 a0即：任何不等于 0 的数的零次幂都等于 1
3、；a p （a 0，p 是正整数） ，即任何不等于 0 的数的p 次幂，等于这个数的 p1ap次幂的倒数三. 重点难点：本讲重点是掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法的运算性质，难点是综合运算这些性质解题以及零指数幂和负指数幂的意义【典型例题】例 1. （1 ） （x ） 5（x ） 7（2 ） （pq ） 5（qp） 2（3 ） x6x4；（4 ） (x2y) 4(2yx )3分析：（1）直接运用同底数幂的乘法运算性质进行计算；（2 ）中（pq）与（qp）互为相反数，可把（qp ）转化为（pq）的形式，则（ pq） 5（q p）2（p q） 5（pq） 2（pq） 5（pq
4、） 2（ pq ） 7， （3 ）是同底数幂的除法， （4）可以化为同底数幂的除法解：（1） （x ） 5（x ） 7（x） 57（x） 12x 12（2 ） （pq ） 5（qp） 2（p q） 5（p q） 2（p q） 5（pq ） 2（p q） 7（3 ） x6x4x 64 x 2；（4 ） (x2y) 4(2yx )3(2yx) 4(2yx )3(2yx) 432 yx 评析：同底数幂相乘（除）时，对于底数可以是一个数，一个单项式，还可以是一个多项式如果底数互为相反数，可以利用幂的符号法则将其转化成同底数幂例 2. （1 ）( a3)6；（2 ）(m) 32；（3 ）(2 ab3)3
5、；（4）( x 3)2(x 2)3分析：此题中（1）和（2）是幂的乘方运算，其中（1）的底数是 a， （2 ）的底数是m， （3 ）是积的乘方运算， （4 ）要综合运用幂的乘方和同底数幂的乘法解：（1）( a3)6a 36a 18；（2 ） (m) 32( m) 32( m )6m 6；（3 ）(2ab 3)32 3a3(b3)38 a3b9；（4 ） (x 3)2(x 2)3(1) 2(x3)2(1) 3(x2)3x 6(1)x 6x 12评析：对每个题要先观察，识别题型，以便正确使用同底数幂的乘法，幂的乘方的性质和积的乘方的性质例 3. 要做一个长为 23 厘米，宽为 24 厘米，高为 2
6、2 厘米的长方体盒子，求这个盒子的容积23242分析：根据长方体的容积公式：容积长宽高，进行计算解：2 324222 342 2 9（立方厘米）答：这个盒子的容积为 29 立方厘米评析：2 9 数据较大，没有必要化成一个整数例 4. 已知 2x5y30，求 4x32y 的值分析：由 4x32y(2 2)x(25)y2 2x25y2 2x5y ，且 2x5y30，所以 2x5 y3，得原式2 38 解：因为 4x32y(2 2)x(25)y2 2x25y2 2x5y ，又因为 2x5 y3所以原式2 3 8评析：幂的乘方法则的逆用是将指数分拆成两个指数的积或两个指数变换位置，这些变形一般要根据已
7、知条件和所要求的问题的需要进行如 x12(x 2)6(x 6)2(x 3)4( x4)3如果已知 x2 的值，那么 x12( x2)6；如果已知 x3 的值，那么 x12(x 3)4例 5. 下列式子中计算正确的有（ ）3 1 3；(2) 3 ；( )2 ；( 3.14) 0118 34 169A1 个 B2 个 C3 个 D4 个分析：因为 31 ，(2) 3 ，( )2 ，(3.14)13 1( 2)3 18 34 1( f(3,4)2 16901 ，所以正确的有、解：B评析：（1）0 作为底数的 0 指数幂、负整数指数幂无意义，但 3.140；（2 ）注意正确处理符号例 6. 用科学记数
8、法表示下列各数（1 ） 0.0000896 （2） 0.0000001分析：科学记数法要求化成 a10n 的形式，a 有且只有 1 个整数位可用 10n 表示较小数解：（1）0.00008968.96 105（2 ）0.00000011 107评析：（1）用科学记数法表示一个数，就是把这个数记作a 10n 的形式，其中1 a10，n 为整数（2 ）对于绝对值小于 1 的数，用科学记数法表示后，n 为负整数，且 n 的绝对值等于第一个非零数字前面所有的零的个数（包括小数点前面那个零） 【方法总结】1. 这节一共学习了四种运算：同底数幂的乘法、除法，积的乘方与幂的乘方对比这四种运算的不同特征，掌握
9、其运算性质2. 理解 a01（a0） ，a p （a0，p 是正整数）两个规定的意义和合理性，加深1ap对同底数幂除法的运算性质的理解，并会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数【模拟试题】 （答题时间：45 分钟）一. 选择题1. 化简 a2a4 的结果是（ ）A. a8 B. a6 C. a4 D. a22. 计算(ab 2)3 的结果是（ ）A. ab5 B. ab6 C. a3b5 D. a3b63. 用科学记数法表示不正确的是（ ）A. 198001.9810 4 B. 0.0006186.1810 3C. 0.0000121.210 5 D. 216.5105 2.16510 34.
10、 下面等式中，错误的是（ ）A. (m 3n2)5m 15n10 B. (ab2)2a 2b4C. (2x 2)24x 4 D. (4xmy3)364x 3my95. 计算 350( 3)50 的结果是（ ）A. 23 50 B. 3100 C. 3 100 D. 9 100*6. 下列计算错误的是（ ）A. 5a3a 34a 3 B. 2m3n6 mnC. (ab) 3(ba) 2(ab )5 D. (ab) n(ba) (ab )n1*7. 若 x、y 是正整数，且 2x2y2 5，则 x、y 的值有（ ）A. 4 对 B. 3 对 C. 2 对 D. 1 对*8. 下列计算不正确的是（
11、）A. 0.1 1 10 B. ( )2 4 C. (3.14) 01 D. (1 )3 12 12 827二. 填空题1. 2324_. 2. a4_a 3_a 93. a4aa 3_，(a) 5(a) ( )a 204. ( b)(b) 3_5. 用小数表示：3.1410 5 _6. 4032 _*7. （ ） 2009（ ） 2009_23 32*8. 若 a3n4，则 a6n_三. 解答题 1. 计算下列各式：（1 ） （nm） 3（mn） 2（nm） ；（2 ） （b）（b 2）b 32 b2（b） ；（3 ） （a 3） 3（a 2） 3a 3；（4 ） 2 3 8 1 (1) 4
12、( )2 8012*2. 若 a1， b3，试求（a 3b） 2（a 2b2） 2 （ a3b2） 2 的值3. 有 A、B 两架飞机，飞行 600km 所用的时间分别为 h 和 h，已知声音在空气中传播23 512的速度大约是 3102m/s，计算一下这两架飞机的飞行速度，其中有“超音速飞机”吗？如果有，是哪一架？*4. 若 42a1 64 ，解关于 x 的方程 x3 5a2*5. 时空连线，在现实世界里，三个小朋友正在计算幂的乘方和积的乘方运算，在数字世界里，正在形成他们的计算结果，请将它们用实线连接起来 A (0.125)7 820 513B 38C (0.125)13 8【试题答案】一
13、. 选择题1. B 2. D 3. B 4. C 5. B 6. B 7. A 8.D二. 填空题1. 27 2. a5，a 6 3. a2，15 4. b4 5. 0.0000314 6. 7. 1 8. 1619三. 解答题1. （1）原式（nm） 6；（2 ）原式 b3b 32 b30；（3）原式a 9a6a 3 0；（4）原式（ ）41 118 182. 原式 a6b2a4 b4 a 6b4a 10b6a 6b4当 a1，b 3 时，原式（1）1036（1） 6343 6 348103. 飞机 A 的速度为 6001000（ 6060）250m/s飞机 B 的速度为236001000（ 6060） 400m/s声音在空气中的传播速度为5123102300m /s，400 300，所以飞机 B 是“超音速度飞机 ”4. 因为 42a1 64 4 3，所以 2a1 3，所以 a1 ，所以原方程变为 x35，解得12x 45. A，B，C
