1、1.2.2 一元二次方程的解法- 公式法学案（湘教版九上）学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念。2、会熟练应用公式法解一元二次方程学习重点：求根公式的推导和公式法的应用学习难点：一元二次方程求根公式法的推导学习过程一、问题引入：1、知识回忆（学生活动）：用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522、情境导入：用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程 ax2bxc = 0（a0）的实数根呢？请同学独立完成下面这个问题问题：已知 ax2+bx+c=0（a0）且 b2-4ac0，试推导它的两个根
2、x1= ，x 2=24bac24bac二、探究新知：请同学们带着以下问题用 10 分钟的时间自学完教材 P35P37 动脑筋前的内容，并完成下面的自学检测中的练习。1、自学思考题：如何用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2bxc = 0（a0）？ 配方时需要哪几个步骤？方程(x+ )2= 一定有实数根吗？abc4 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由什么决定？求根公式的意义是什么？ 为什么在得出求根公式时有限制条件 b24ac0？（学生尝试，分组讨论交流，分析公式的特点，记忆公式。 ）2、自学检测：用公式法解方程 2x2-7x=3 时，其中 a、b、c、的值分别为 。一元二次方程
3、 x2+2=3x,则 b2-4ac= x1= x2= 方程 x2-5x-6=0 的两根为 x1= x2= 用公式法解方程 3x2-4= x 时，其中 a= b= c= b2-4ac= 方程的根 x1= x2= 在一元二次方程 2x2-3x+2=0 中，b 2-4ac= 此方程 实数解。3、自学点拨：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数 a、b、c 而定。解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，当 b-4ac0 时，将 a、b、c 代入式子 就得到方程的)04(2cabx根4、实践交流：补例 1用公式法解下列方程（1）2x 2-4x-1=0 （2）
4、5x+2=3x 2 （3） （x-2） （3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0学习步骤：尝试解答 交流汇报（学生汇报解题的思路和方法）教师点拨规范解答：思路点拨：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可求根公式是在 时求方程的根，如果 0 时，042acb acb42则方程在实数范围内无解。解：（3）将方程化为一般形式 3x2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9b2-4ac=（-11） 2-439=130x=(1)316x 1=36，x 2=136（4）a=4，b=-3，c=1b2-4ac=（-3） 2-441=-70因为在实数范围内，负数不能开平方，所以
5、方程无实数根补例某数学兴趣小组对关于 x 的方程（m+1）2mx+（m-2）x-1=0 提出了下列问题（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出 m 并解此方程（2）若使方程为一元一次方程 m 是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？学习步骤：尝试解答 交流汇报（学生汇报解题的思路和方法）教师点拨规范解答：思路点拨：（1）要使它为一元二次方程，必须满足 m2+1=2，且（m+1）0（2）要使它为一元一次方程，必须满足:1()2)0m或210或102解：（1）存在根据题意，得：m 2+1=2m2=1 m=1当 m=1 时，m+1=1+1=20当 m=-1 时，m+1=-1+1=
6、0（不合题意，舍去）当 m=1 时，方程为 2x2-1-x=0a=2，b=-1，c=-1b2-4ac=（-1） 2-42（-1）=1+8=9x=(1)934x1=1，x 2=-因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根 x1=1，x 2=- （2）存在根据题意，得：m 2+1=1，m 2=0，m=0因为当 m=0 时， （m+1）+（m-2）=2m-1=-10所以 m=0 满足题意当 m2+1=0，m 不存在当 m+1=0，即 m=-1 时，m-2=-30 所以 m=-1 也满足题意当 m=0 时，一元一次方程是 x-2x-1=0，解得：x=-1当 m=-1 时，一元一次方程是-3x-1=0解
7、得 x=- 因此，当 m=0 或-1 时，该方程是一元一次方程，并且当31m=0 时，其根为 x=-1；当 m=-1 时，其一元一次方程的根为 x=- 31三、课堂总结：（1）要牢记一元二次方程的求根公式 )04(22acbabx（2）利用求根公式求一元二次方程的根的步骤。四、达标检测：必做题：1、填空题：（1）用公式法解方程 得到方程的根是 。3124x（2）已知 能使 的值等于 的值 的值是 。562xyy4x当 x=_时，代数式 x2-8x+12 的值是-4若关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0，则 m 的值是_2、选择题（1）用公式法解方程 4
8、x2-12x=3，得到（ ） Ax=362Bx=36Cx=32Dx=32（2）方程 x2+4 x+6 =0 的根是（ ） Ax 1= ，x 2= Bx 1=6，x 2= Cx 1=2 ，x 2= Dx 1=x2=- 6（3） （m 2-n2） （m 2-n2-2）-8=0，则 m2-n2的值是（ ） A4 B-2 C4 或-2 D-4 或 23、解方程（1） （2） （3）032x472x0342x4、已知一个矩形的长比宽多 3cm，其面积为 18cm2，则矩形的周长是多少？选做题：1、填空题：若满足(m+2) 2+ =0 则关于的方程 x2+mx+mn=0 的解是 x1= 4n_x2=_（2
9、）已知 能使 的值等于 的值 的值是 。562xyy4（3）若代数式 与 的值是互为相反数，则 的值为 412x。（4）关于 的一元二次方程 的常数项为 0，则关于x 02)(42mx的一元二次方程的一般式为 x3、用公式法解关于 x 的方程：x 2-2ax-b2+a2=04、用公式法解方程（1） （2）0352152y（3） （4）t 6)8(P5、一个三角形的两边长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x2-16x+60=0 的一个实数根，求这个三角形的面积。5、课外作业：6、P42 习题 2.2 A 组：47、中考链接：1、 （2011 福建龙岩， ）现定义运算“” ，对于任意实
10、数 a、 b，都有 ab=a23 a+b，如： 35=3 333+5，若 x2=6，则实数 x 的值是（ ）A.4 或1 B.4 或1C.4 或2 D.4 或 22. （2012 广西百色）关于 x 的方程 x2+mx2 m2=0 的一个根为 1，则 m 的值为（ ）A1 B C1 或。 D1 或。23.（2011 黑龙江省黑河， 7，3 分）一元二次方程 a24a7=0 的解为（ ） A =2+ ， =2 B = +2 = -2 1a2a11a21C =4+ ， =4 D = +4 = -41a2a11a2a14. （2011 山东烟台，19，6 分）先化简再计算：，其中 x 是一元二次方程 的正数根.2xx 20x
