1、天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 22 第一学期 第十四周 课程内容 2.3 双曲线及其性质2014-2015学年 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 22 阶段知识要点： 1）掌握双曲线的定义，标准方程的两种形式，并能用来解题 2）掌握双曲线的几何性质，理解参数 a，b，c，e，的关系，掌握双曲线的渐近线方程， 并能利用性质来解决实际问题 3）对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，更好掌握二种曲线的性质 一）双曲线的定义个与标准方程 1双曲线的定义： 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F
2、2|）的动点的轨迹称为 双曲线 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离叫做双曲线的焦距 在这里需要与椭圆相比较，会发现它们对常数的要求是不相同的实际上，这也体现在三 角形任意两边之和与差跟第三边之间的关系 2标准方程的推导与建立 和建立椭圆的标准方程一样，也是从定义出发，建立适当的坐标系使过焦点 F1，F2 的 直线为 x 轴线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系，按照取动点，建立等 式，代入坐标，化简方程推导出双曲线的标准方程： 1 2 2 2 2 = - b y a x 对于双曲线方程我们有如下的说明 程应为 轴上的相应的双曲线方 而焦点在 轴上 的焦点是在 y x b
3、 y a x . 1 2 2 2 2 = - 1 2 2 2 2 = - b x a y 则 点在双曲线的右支上 若 上的任意一点 对于双曲线 , , 1 2 2 2 2 M b y a x = - ， |MF1|MF2|此时有：|MF1|-|MF2|=2a（a0）若 M 在双曲线的左支上则 |MF1|a0所以 c 2 -a 2 0,此时 2 2 2 2 , a c b b a c - = + = 有意义，这里是与椭圆不相同 的在双曲线方程里 c 是最大值而在椭圆里 a 是最大值 同样的道理，若以 F1F2 所在的直线为 y 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为 x 轴建立直 角坐标系，则双曲线
4、的另一个标准方程则是 1 2 2 2 2 = - b x a y 这是焦点在 y 轴上的双曲线标准方程 对于 ) 0 , 0 ( 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = - = - b a b x a y b y a x 与 如果 x 2 项的系数为正，则焦点 在 x 轴上，如果 y 2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上，这一点是与椭圆方程是不相同的椭 圆的焦点所在的轴是通过比较分母的大小来确定的 在椭圆与双曲线方程中虽然都使用了 a，b，c 三个字母但是，它们的意义在不同 的曲线中是不相同的 在椭圆中总有 ab0 且 a 2 =b 2 +c 2 a，b，c 中 a 是最大的 在双曲线中有
5、 a0，b0但 a 与 b 之间没有大小的规定且 c 2 =a 2 +b 2 ，c 是最大 的 二）双曲线的几何性质高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 22 根据标准方程 . ), 0 , 0 ( 1 2 2 2 2 来研究它的几何性质 = - b a b y a x 1范围 xa 或 x-a 说明：双曲线在不等式 xa 或 x-a 所表示的区域内 对于|x|a 时，y 才有实数值；对于 y 的任何值，x 都有实数值与它相对应 在直线 x=-a 与 x=a 之间没有双曲线的图象 当 x 的绝对值无限增大时，y 的绝对值也无限增大，所以
6、双曲线是无限伸展的，与椭 圆的几何图形是不一样的，椭圆的图形是封闭的曲线 2对称性 双曲线既是轴对称图形，即它分别关于 x 轴与 y 轴对称又是中心对称的图形即双 曲线的图形关于原点对称称双曲线的对称中心为双曲线的中心 3顶点 双曲线和它的对称轴有二个交点，它们叫做双曲线的顶点顶点坐标分别 A1(-a, 0) A2(a, 0) 双曲线与 y 轴没有交点 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴|A1A2|=2a 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴实际上，虚轴与实轴是有区别的它与双曲线没有交 点|B1B2|=2b 称 a 为半实轴长，b 为半虚轴长高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰
7、网络教育有限公司 版权所有 6 / 22 4渐近线 x a b y b y a x = = - : 1 2 2 2 2 的渐近线方程为 双曲线 说明：双曲线的两支向外延伸时，与这两条渐近线逐渐接近直线 x a b y = 称做为双曲 线的渐近线是逐渐接近但永远不相交 渐近线是双曲线特有的性质，是利用渐近线来画双曲线时较为方便，形象和准确 双曲线的特例：等轴双曲线 定义：实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线即 a = b 方程：x 2 -y 2 =a 2 等轴双曲线的渐近线方程是 y=x而且此时两条渐近线互相垂直平分双曲线的实 轴与虚轴所成的角 画双曲线的方法是：先画出双曲线的渐近线再确定
8、双曲线的顶点再画双曲线在 第一象限内的图形利用对称性，再画完整的图形 5离心率 定义：双曲线的焦距与实轴长的比 a c e = 称做为双曲线的离心率 范围：e1 ( ca0 ) 离心率的大小对双曲线形状的影响 e 越大时，渐近线 x a b y = 的斜率的绝对值越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开 阔 对于等轴双曲线来说，它们的离心率是相同的都等于 2 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 22 6准线 定义：平面内一动点 M(x, y)与定点 F(c, 0)的距离和它到定直线 l： c a x 2 = 的距离的 比是常数 ) 0 (
9、 a c a c 这个动点的轨迹是双曲线 其中定点 F(c, 0)为双曲线的一个焦点，定直线 c a x 2 = 是双曲线的准线常数 a c 是双 曲线的离心率 双曲线的准线方程是： c a x 2 = 通过以上关于双曲线的性质的学习，我们应当对 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = - = - b x a y b y a x 与 的性质进 行比较 相同点： 实轴长=2a，虚轴长=2b尽管它们所在的位置不同，但它们的数值仍相等高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 22 1 | | | | 2 2 2 2 = = + = e MD
10、MF a c e b a c 且 不同点： ) , 0 ( ) , 0 ( ) 0 , ( ) 0 , ( : ) , 0 ( ) , 0 ( ) 0 , ( ) 0 , ( : ) 0 , 0 ( 1 ), 0 , 0 ( 1 : 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 a A a A a A a A c F c F c F c F b a b x a y b a b y a x - - - - = - = - 顶点不同 焦点不同 方程不同 c a y l c a x l 2 2 1 2 2 1 : = = 准线不同 x b a y x a b y = = : 渐近线
11、不同 例 1 . ) 10 , 2 ( , 1 25 16 2 2 的双曲线方程 且过点 共焦点 求与椭圆 - = + y x 解： ) 3 , 0 ( ), 3 , 0 ( . 1 25 16 2 1 2 2 F F y x - = + 知 由 ) 10 , 2 ( ) 0 , 0 ( 1 : 2 2 2 2 - = - 且过点 设双曲线方程为 b a b x a y = + = - 9 1 4 10 2 2 2 2 b a b a 则有 代入 由 2 2 9 b a - = 1 4 9 10 2 2 = - - b b 得 b 4 +5b 2 -36=0 (b 2 +9)(b 2 -4)=
12、0 b 2 =4 a 2 =5高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 22 所求满足条件的双曲线方程为： 1 4 5 2 2 = - x y 例 2已知：双曲线方程为 16x 2 -9y 2 =144，F1、F2 是左右焦点，P 在双曲线上，且 |PF1|PF2|=32求：F1PF2 的度数 解：由 16x 2 -9y 2 =144 得: 1 16 9 2 2 = - y x 根据双曲线的定义：c 2 =9+16=25 c=5 |F1F2|=2c=10 且|PF1|-|PF2|=23=6 |F1F2| 2 =|PF1| 2 +|PF2|
13、2 -2|PF1|PF2|cosF1PF2（余弦定理） =(|PF1|-|PF2|) 2 +2|PF1|PF2|(1-cosF1PF2) 100=36+64(1-cosF1PF2) cosF1PF2=0 2 2 1 p = PF F 在这个例题中请同学们应注意以下问题： 涉及到双曲线上的点与焦点问题，经常要利用定义来解题 在PF1F2 中解有关三角形的问题，经常要借助于正弦定理和余弦定理来帮助解题 例 3在ABC 中，已知 BC=a，当动点 A 满足条件 A B C sin 2 1 sin sin = - ，求动点 A 的 轨迹方程 解：取 BC 所在的直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为
14、 y 轴建立直角坐标系 由正弦定理 R C AB B AC A BC 2 sin sin sin = = =高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 22 A B C sin 2 1 sin sin = - 代入已知 a BC AC AB 2 1 2 1 : = = = - 定长 得 , , 的距离的差为定长 到两定点 以点 C B A 所以点 A 的轨迹是双曲线的一支，此双曲线 的焦距为 a，实轴长为 a 2 1 ，虚轴长为 a a a 2 3 )4 ( )2 ( 2 2 2 = - 动点 A 的轨迹方程为： )4 ( 1 16 3 1
15、6 2 2 2 2 a x a y a x = - 已知 0 sin 2 1 sin sin = - A B C sinCsinB AB AC 点 A 只能在 y 轴的右侧 轨迹只能是双曲线的右支，除去顶点 ) 0 ,4 ( a 本题是利用定义来解决轨迹问题，比用设 A（x，y）坐标代入 A B C sin 2 1 sin sin = - 要在运算上节省很多，请同学们注意 例 4：已知椭圆的长轴等于 6，焦距为 2 4 ，过椭圆的焦点 F1 作一直线交椭圆于 M，N 设F2F1M=（0），当取什么值时，|MN|的长等于椭圆的短轴的长 解：首先建立适当的坐标系，即椭圆的中心为坐标原点，焦点 F1
16、，F2 所在的直线为 x 轴 则由已知得：a=3，c= 2 2 ，b 2 = 9 8 = 1 可知椭圆方程为 ). 0 , 2 2 ( 1 9 1 2 2 - = + F y x 且高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 22 设过 F1 的直线 MN 的方程为：y=k(x+ 2 2 ) = + + = 1 9 ) 2 2 ( 2 2 y x x k y 代入消元后得到 0 81 72 2 36 ) 1 9 ( 2 2 2 2 = - + + + k x k x k 依韦达定理得： 1 9 2 36 2 2 2 1 + - = + k
17、k x x 1 9 81 72 2 2 2 1 + - = k k x x 1 9 1 6 1 9 ) 9 8 ( 36 ) 1 9 2 36 ( 4 ) ( | | 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 + + = + - - + - = - + = - k k k k k k x x x x x x 1 9 ) 1 ( 6 1 9 1 6 1 | | 1 | | 2 2 2 2 2 2 1 2 + + = + + + = - + = k k k k k x x k MN 由 b=1 2b=2 依题意得： 3 3 . 2 1 9 ) 1 ( 6 2 2 = = + + k k k 解得 ) , 0 . 3 3 tan p a a = 6 5 6 p p a = = a 或 说明：（1）在研究直线与椭圆的位置关系时判别式及韦达定理根与系数的关系式是常用 的知识，此题的判别式是显然大于零的
