1、高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 12 第一学期 第十三周 课程内容 2.2 椭圆2014-2015学年 高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 12 1、准备知识要点： 2、本阶段知识要点： (1)掌握椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，并掌握其推导过程。 (2)掌握椭圆的有关几何性质，理解椭圆方程中参数 c a c b e c b a 2 2 , , , , , 的关系，并能利用几 何性质及相关的参数之间的关系解题。 (3)通过椭圆与圆的性质比较，了解它们之间的区别与联系，更好
2、地掌握椭圆的几何性质。 (4)通过对椭圆的标准方程的讨论，使同学们掌握在解析几何中是怎样用代数方法来研究曲 线的性质的。 1椭圆的定义： 我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数（大于这两个定点间的距离）的 点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点。两个焦点的距离叫做椭圆的焦距。 2椭圆方程的推导： 建立直角坐标系 XOY，使 x 轴经过点 F1，F2，并且点 O 与线段 F1F2 的中点重合。高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 12 2 1 设 M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 2c（c0）。那么，焦点
3、F1，F2 的坐 标分别是（-c，0）,（c，0），又设 M 与 F1 和 F2 的距离的和等于常数 2a。 由椭圆的定义，椭圆就是集合 ) ( ) ( : 2 2 : , ) ( : ) ( ) ( 4 4 ) ( . , . 2 ) ( ) ( ) ( | | . ) ( | | . 2 | | | | | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 c a a y a x c a y a c a cx a x a x c cx a a y c x a cx a y c
4、x y c x a a y c x a y c x y c x y c x MF y c x MF a MF MF M P - = + - + + - = + - + - = - + - + + - - = + + = + - + + + + - = + + = = + = 整理上式得 得 将上式两边再平方 整理以后得 得 平方 将这个方程移项后两边 由椭圆的定义可知，2a2c，即 ac。 ) 0 ( 1 : , : , 0 , , 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = - - b a b y a x b a b a y a x b b b
5、 c a c a 得 两边同除以 代入上式得 其中 于是令 这个方程叫做椭圆的标准方程。它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上，焦点是 F1（-c， 0），F2（c，0）这里 c 2 =a 2 -b 2 . 如果使点 F1，F2 在 y 轴上，点 F1，F2 的坐标分 别为 F1（0，-c），F2（0，c）。 a, b 的意义同上，那么所得方程变为 ) 0 ( 1 2 2 2 2 = + b a b x a y高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 12 这个方程也是椭圆的标准方程。 下面我们通过列出图表给出与椭圆相关的概念。 椭圆的基础知识
6、定义 1 0 | | ) 0 ( 2 | | | | 2 1 = + e e d MF c a a MF MF 定值 定值 图形 标准方程 ) 0 ( 1 2 2 2 2 = + b a b y a x ) 0 ( 1 2 2 2 2 = + b a a y b x 顶点 （a, 0）,（0，b） (b，0)，（0, a） 范围 -axa, -byb -bxb, -aya 对称轴 x 轴，y 轴 x 轴，y 轴 长轴与短轴 长轴长 2a，短轴长 2b 长轴长 2a，短轴长 2b 焦点坐标 2 2 2 ), 0 , ( b a c c - = 2 2 2 ), , 0 ( b a c c - =
7、 准线方程 e a c a x = = 2 e a c a y = = 2 离心率 1 0 , b y m b x b m m 证明：m0, b 2 +mb 2 . 1 2 2 2 2 轴上 的焦点在 椭圆 x b y m b x = + + . . ) 0 , ( : , ) ( 2 2 椭圆的焦点不变 为常数 椭圆的焦点的坐标为 得 由 = - + m m m b m b Q 例 6： . 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 的四个交点共圆 与 试证明 = + = + a y b x b y a x 证明： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
8、 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( : . , 1 . , 1 b a b a y x b a y x b a b a y b x a a y b x b a y a x b b y a x + = + = + + = + = + = + = + 得 以上二个等式相加 Q Q 由曲线与方程的关系可知二个椭圆的交点一定适合这个方程。交点四点共圆。高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 12 例 7：已知圆 x 2 +y 2 =9，从这个圆上任意一点 P 向 x 轴作垂线 PP ，点 M 在 PP上， 并 . ,
9、 的轨迹 求点 且 M MP Z PM = 解：设点 M 的坐标为（x,y），点 P 的坐标为（x0, y0），则 x0=x、y0=3y. . 1 9 9 9 , 3 , 9 9 ) , ( 2 2 2 2 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 的轨迹是一个椭圆 所以点 即 得 代入 将 上 在圆 点 M y x y x y y x x y x y x y x P = + = + = = = + = + Q 说明：此例的解题步骤是先写出 P 点与 M 点的坐标之间的关系，然后用 M 点的坐标表示 P 点的坐标并代入 P 点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程，动点 M 与曲线上的 点 P
10、 称为相关点，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法，有的时候也称为转移 法。相关点求轨迹方程法，其基本步骤就是先求出 P 点与 M 点坐标关系式并用 M 点的坐 标表示 P 点坐标，然后代入 P 点坐标所满足方程整理后即可得到所求的方程。高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 12 例 8： . 60 , , , 1 75 4 25 : 0 2 1 2 1 2 2 = = + PF F F F y x P 是椭圆的焦点 上一点 为椭圆 已知 求：F1PF2 的面积。 解： 4 3 25 60 sin | | | |2 1 25 |
11、 | | : ) 2 )( 1 ( ) 2 ( | | | 2 | | | | 100 | | | | 2 10 ) 1 ( | | | | | | | 25 60 cos | | | 2 | | | | | | 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 = = = + + = + = = - + = - + = D D PF PF S PF PF PF PF PF PF PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF F F F PF PF F 得 解 又由椭圆的定义可知 中 如图在 说
12、明：在处理椭圆上的点与两焦点组成的三角形问题时，常由余弦定理或正弦定理列出 |PF1|与|PF2|的关系式，并结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a，利用这两个关系式求得结 果。 例 9：ABC 的两个顶点坐标分别是 B（0，6）和 C（0，-6），另两边 AB，AC 的斜 . .9 4 的轨迹方程 求顶点 率的乘积是 A - 解：设顶点 A 的坐标为（x, y） ) 6 ( 1 36 81 : 9 4 6 6 0 6 0 6 2 2 = + - = + - = - + = - - = y y x A x y x y k k x y k x y k AC AB AC AB 的轨迹方程为
13、 顶点 又知高二数学(理) 第一学期 新课预习 第十三周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 12 说明： 应 与 为此两交点为 轴有两个交点 对应的椭圆与 方程 ), 6 , 0 ( ) 6 , 0 ( , 1 36 81 2 2 - = + y y x 舍去因为 A 点若处于这两个位置时，它将不构成三角形。因此，涉及到此类的轨迹方程 时，应根据具体的几何性质展开必要的讨论。 例 10：已知椭圆的焦点是 F1（-1，0），F2（1，0），P 为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1| 和|PF2|的等差中项。 （1）求椭圆的方程。 （2）若点 P 在第三象限，且PF1F2=12
14、0 0 . 求 tanF1PF2。 解： 1 3 4 : . 3 1 , 2 , 4 2 2 | | 2 | | | | | | 2 : ) 1 ( 2 2 2 1 2 1 2 1 = + = = = = = = + = y x b c a a F F a PF PF F F 所求的椭圆方程为 由题设知 ) 60 sin( 120 sin | | | | sin | | : ) 60 sin( | | 120 sin | | sin | | : . 60 . . 60 120 , ) 2 ( 0 0 2 1 2 1 0 1 0 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 2 1 2 1 q q q q q q - + + = - = = - = = = + = D PF PF F F PF PF F F F PF PF F F PF PF F F PF PF F 由等比定理得 由正弦定理可知 令 中 在
