1、完全平方公式二、教学目标1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力，会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的计算，了解（ab） 2 a22abb 2 的几何背景. 2、经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算（其中仅限于单项式除以单项式、多项式除以单项式）. 3、理解整式除法运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力. 三、知识要点分析1、完全平方公式（这是重点）（1 ） （ab ） 2a 22ab b 2（ab） 2a 22ab b 2 右边是三项（2 ）公式特征左边：二项式的平方右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积 2 倍的和. （3 ）几何解释
2、上图中最大正方形的面积可用两种形式表示：（ab） 2 a 22abb 2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（ab） 2 a22abb 2注意：公式右边 2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号 . 若这两项同号，则 2ab取“” ，若这两项异号，则 2ab 的符号为“”. （4 ）公式中字母可代表的含义公式中的 a 和 b 可代表一个字母，一个数字或单项式. 2、 整式的除法（这是重难点）（1 ）单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.如：（3a 2b）（5a ）=（35）（a 2a）
3、b= ab.53注意：. 单项式除以单项式主要是通过转化为同底数幂的除法解决的. 本节只研究结果为整式的单项式除法，所以单项式相除的结果中的字母少于或等于被除式的字母，而结果的次数为被除式、除式的次数之差.（2 ）多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.如：（3x 2y4xy 2）（xy ）=（3x 2y） （xy）（4xy 2）（xy ）=3x4y（3 ）对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。说明：. 多项式（没有同类项）除以单项式，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项. 本节只研究结果为整式的情况，则结果的
4、次数小于或等于被除式的次数.【典型例题】考点一：完全平方公式例 1. 计算：（1 ） （3a2 b） 2 （2 ） （mnn 2） 2【思路分析】运用完全平方公式的时候，要搞清楚公式中 a，b 在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体，适当的地方应加括号.解：（1 ） （3a2 b） 2（3 a） 22（3a）（2 b）（2b） 2 9a212ab4b 2（2 ） 3()()mnmnnm方法与规律：利用完全平方的时候，应注意公式中 2ab 的符号。例 2. 计算：（1 ） （mn） 2 （2 ） （5 a2） （5 a2）【思路分析】 （1）可直接用完全平方公式 . 由于m 与n
5、是同号，所以公式中的 2ab取“” ；（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算. 解：（1） （mn） 2（m） 2 2（m ） （n）（n ） 2m 22mn n 2（2 ） （5 a2） （5a2）（5a2） （5a2）（5a2） 2（25a 220a4）25 a220a4方法与规律：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算.例 3. 计算：（a2b1） （a2 b1）【思路分析】此题“三项式乘三项式” ，且这两个括号中的三项只有符号不同. 先找出两个
6、括号中完全相同的项放在一起，再把互为相反数的项放在一起，构成（ab ）（ab）的形式，利用平方差公式进行简化运算. 解：例 4. 已知 a+b=5，ab= 6 ，求下列各式的值.（1 ） a2+b2；（2）a 2ab+b 2【思路分析】要想得到 a2+b2，只有得(a+b)平方，即（a+b） 2=a2+2ab+b2，所以a2+b2=（ a+b） 22ab.解：（1） .2(),()5(6)5137bbab（2 ） 2351843方法与规律：变式应用的技巧是将公式灵活变形. 考点二：整式的除法 例 5. 计算（1 ） （a 2n+2b3c）（2a nb2）（2 ） （xy ） 5（yx） 3【思
7、路分析】 （1）中被除式的系数是 1，可按照单项式相除法则计算；（2 ）将底数多项式看作整体，先将底数调整为相同的，进行同底数幂的除法（同底数幂的除法可看作单项式相除中最简单的形式） ，并将结果化到最后.解：（1） （a 2n+2b3c）（2a nb2）=（12）（a 2n+2an）（b 3b2）c= an+2bc1（2 ） （xy ） 5（yx） 3=（yx） 5（yx） 3=（yx） 2=（y 22 xy+x2）=y 2+2xyx 2.方法与规律：类似（2）这种题，若进行整式乘、除法后得到的结果仍可按照某公式化简，一定要计算到最后！例 6. 计算（1 ） （ x3y2） 3（ xy） 21
8、（2 ） （3xy 2） 2（2xy ） （6x 3y3）【思路分析】对于混合运算，先弄清运算顺序，再根据相应的法则进行计算.（1 ）先进行乘方，再进行除法运算.（2 ）先乘方，再自左至右进行乘除法.解：（1） （ x3y2） 3（ xy） 2=( x9y6)（ x2y2）=（ ） （x 9x2）（y 6y2）178417841= x7y43（2 ） （3xy 2） 2（2xy ） （6x 3y3）=（9x 2y4）（2 xy）（6x 3y3）=（18 x3y5）（6 x3y3）=3y2例 7. 计算：（1 ） （6x 3y4z4x 2y3z+2xy3）（2 xy3）（2 ） （x+y） 2（
9、xy） 2 （xy）【思路分析】对于混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的. 解：（1） （6x 3y4z4x 2y3z+2xy3）（2xy 3）= （6x 3y4z） （2xy 3）（4x 2y3z）（2xy 3）+（2xy 3）（2xy 3）=3x 2yz2xz+1 （2 ） （x+y ） 2（xy） 2（xy）=x 2+2xy+y2（x 22xy+y 2） （xy）=（4xy）（xy ）=4【本讲涉及的数学思想和方法】 本讲主要讲述完全平方公式和整式的除法，要求同学们能认真理解除法的法则，本节课用到的数学思想是转化的数学思想， 转化的思想：根据多项式除以单项式的
10、运算法则，我们将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 前面我们在学习多项式的乘法时，将多项式乘以单项式转化为单项式乘以单项式，将多项式乘以多项式转化为多项式乘以单项式，进而转化为单项式乘以单项式.预习导学案（第二章 第 12 节 余角与补角及探索直线平行的条件）一、预习前知1、 余角与补角的概念及性质.2、 探索直线平行的条件.二、预习导学探究与反思探究任务 1：余角与补角的概念及性质 .【反思】什么样的两个角为余角，什么样的两个角为补角？探究任务 2：探索直线平行的条件 .【反思】直线平行的条件是什么？三、牛刀小试1. 下列四个图形中，存在对顶角的是（ ）2. 已知 是它的余角的 2 倍
11、，则_.3. 如图所示，AB 与 CD 相交于点 O，OE 平分AOD，若BOD40，请再写出三个不同角的度数是_. E D B O C A4. 一个角的补角比这个角的余角大 度.5. 下列说法错误的有相等的角是对顶角 两直线平行，同位角相等 同旁内角互补 互补的两个角一定是一个钝角和一个锐角（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）1. 下列计算正确的是（ ）A.（m 1 ） 2=m21 B.（x+1） （x+1）=x 2+x+1C.（ xy） 2= x2xyy 2 D.（x+y ） （x y）
12、 （x 2y 2）=x 4y 442. （x+y） 2M=（xy） 2，则 M 为（ ）A. 2xy B. 2xy C. 4xy D. 4xy3. 在多项式 x2+xy+y2，x 2 4x+2，x 22x+1 ，4x 2+1，a 2b 2，a 2+a+ 中是完全平方式的41有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4. （5x 24y 2） （5x 2+4y2）运算的结果是（ ）A. 25x 416y 4 B. 25x 4+40x2y216y 4C. 25x416y 2 D. 25x440x 2y2+16y45. 一个 x 的四次三项式被一个 x 的二次单项式整除，其商式为
13、（ ）A. 二次三项式 B. 三次三项式 C. 二次二项式 D. 三次二项式6. 下列各题中，计算正确的是（ ）. （2a 2b3） （2ab ）=a 2b3； （2a 2b4） （2ab 2）=a 2b2；2ab 2c 1ab2=4c； 15x2y3z2（5xyz） 2= 15y. A. B. C. D. 7. 太阳的质量约为 2.11027t，地球的质量约为 61021t，则太阳的质量约是地球质量的（ ）A. 3.5105 倍 B. 3.5106 倍 C. 3.5107 倍 D. 3.5104 倍8. 一个多项式除以 2x2y，其商为（4x 3y26x 3y+2x4y2） ，则这个多项式是
14、（ ）A. 8x5y212x 5y+4x8y2 B. 2xy3x+x 2yC. 8x5y312x 5y+4x5y3 D. 8x5y312x 5y2+4x5y39. 已知 a+ =3，则 a2+ 的值是（ ）1A. 9 B. 7 C. 11 D. 510. 如果 x2+mx+4 是一个完全平方式，那么 m 的值是（ ）A. 4 B. 4 C. 4 D. 8二、沉着冷静耐心填（每小题 4 分，共 32 分）11. （7a+A ） 2=49a214ab 2+B，则 A= ，B= . 12. 计算：6x 2（2x ）= .13. （ xy24x 3y2） （ 2xy2）= .14. 已知 A、B 都是
15、整式，且 Ax2=B，若 A 是关于 x 的六次多项式，则 B 是关于 x的_次多项式.15. 已知5m 与一个整式的积为 25m2n10m 3+20mn，则这个整式是 _. 16. 若 x（y 1）y（x 1 ）=4 ，则 xy= .yx17. 若 x2+x+m 是一个完全平方式，则 m= .18. 已知 8a3bm28anb2= b2，则 m=_，n=_.7三、神机妙算用心做（共 28 分）19. （本题 4 分） （1 ）10a 3b3c（2ab 2） （2 ） 329347()816xyzxz20.（本题 8 分） 若（xa） 2=x2+x+ ，求（2a1 ） 2 的值.421.（本题
16、 8 分） 已知，a+b=8，ab=24.求 （a 2+b2）的值.22.（本题 8 分） 阅读下列解答过程，并仿照解决问题：已知 x22x3=0，求x3+x29x8 的值. 解：x 22x3=0，x 2=2x+3x 3+x2 9x8=xx 2+x29x 8=x（2x+3）+（2x+3 ）9x 8=2x2+3x+2x+3 9x8=2（2x+3）4x 5=1请你仿照上题的做法完成：已知 x25x+1=0，求 x34x 24x 1 的值.【试题答案】一、1. D 2. C【 思路分析 】 （x+y ） 2=x2+2xy+y2， （x y） 2= x22xy+y 2， （x+y） 2（xy ）2=M
17、，M=4xy.3. B【思路分析】满足三项，两个平方项，一个积的 2 倍就为完全平方式.4. B【思路分析】第二个括号提取一个“”号，与第一个括号一样，成为完全平方公式.5. A【思路分析】多项式除以单项式，多项式的项数不变. 6. D【思路分析】应为 ab2，应为 ab2.7. A【思路分析】2.110 2761021=3.5105.8. D【思路分析】用商与除式的积，如 2x2y（4x 3y26x 3y+2x4y2）= 8x5y312x 5y2+4x5y3.9. B【思路分析】 （a+ ） 2=9，所以 a2+ =92=7.a1110. C【 思路分析】当 m=4 时， x2+4x+4 是
18、完全平方式；当 m=4 时， x24x+4 是完全平方式.二、11. b，b 212. 3x 【思路分析 】系数与系数相除，x 2 与 x 相除，结果是3x.13. +2x2【思路分析】多项式中的每一项都与单项式相除，再把所得的商相加.3114. 四【思路分析】因为除式是 2 次，被除式是 6 次，所以 B 是四次多项式.15. 5mn+2m 24n【思路分析】积除以因式得另一个积.16. 8【思路分析】 xy= ， x（y1 ）y（x1）=4 整理得，y x=4.所yx()以结果是 8.17. 1418. 4，3 思路分析】由于商中没有字母 a，所以 3n=0，n=3，m2=2 ，m=4.三
19、、19. 解：（1 ）原式=5a 2bc （2 ）原式=6y 2z5【思路分析】根据法则进行计算.20. 解：（x a） 2= x22ax+a 2，所以 a= ，代入原式，原式 =4.1【思路分析】利用完全平方公式展开后，得出 a 的值，然后代入求值.21. 解： （a 2+b2）= （a+b） 22ab= （6448 ）=8.11【思路分析】利用完全平方公式的变形进行解答.22. 解：x 25x+1=0 ，x 2=5x1 x 34x 24x1=xx 24x 24x 1=x（5x1）4 （ 5x1）4x1=5x2x20x+44x 1=5（5x1）25x3=25x525x+3=2.【思路分析】利用给出的例子的方法进行计算，反复把 2 次变为 1 次，最后去掉 x，得出代数式的值.
