1、线性代数综合练习题（三）一、选择题1. 设 是 矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩阵 的秩为 ，则AnmBnArABC1r（ ）.（A） （B） （C） （D） 的关系依 而定1r1r1r1与2. 若 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.（A） （B） （C） （D） A24TA3. 值不为零的 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）.n（A） 保持不变 （B） 保持不为零（C） 保持有相同的正负号 （D） 可以变为任何值4. 设 和 都是 阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确.（A） 若 和 都是对称阵，则 也是对称阵（B） 若 ，且 ，则00A（C） 若 是奇
2、异阵，则 和 都是奇异阵（D） 若 是可逆阵，则 和 都是可逆阵B5. 向量组 线性相关的充要条件是（ ）.s,21（A） 中有一个零向量s（B） 中任意向量的分量成比例s,21（C） 中有一个向量是其余向量的线性组合s（D） 中任意一个向量是其余向量的线性组合s,216. 设方阵 的秩分别为 ，则分块矩阵 的秩 与 的关系是（ ）.BA21,r),(BAr21,（A） （B） （C） （D）不能确定21r2二、 填空题1. 设三阶方阵 的特征值为 1，2，3，则 .2. 设 为正定二次型，则 的取值323121321),( xtxxxf t范围为 .3. 设 ，则 .2105A1A4. 阶行
3、列式 .nbaabaDn 0005. 设 阶方阵 的元素全为 1，则 的 个特征值为 .AAn6. 设 是非齐次线性方程组 的 个解，若 也是s,21 Xs skk21它的解，则 .skk三、计算题1. 解矩阵方程 ，其中 ， .BAX1035021B2. 求下列矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示： 1401325A3. 已知矩阵 ，求 .20104. 向量组 讨论 取何值,)152(,)6,1(,),(,)1( TTTT 时， （1） 能由 线性表示，且表示式唯一， （2） 能由 线性表示，32 32且表示式不唯一， （3） 不能由 线性表示.321,四、证明
4、题1. 设 是 阶方阵 的两个特征值， ， 是对应的特征向量，证明21,nA2121,p不是 的特征向量.21p2. 设 是 阶方阵，若存在正整数 ，使线性方程组 有解向量 ，且k0XAk，证明向量组 是线性无关的.01kA121,A线性代数综合练习题（三）参考答案一、选择题1. C 2. B 3. B 4. D 5. C 6. A二、填空题1. 6 ； 2. ； 20t3. ； 4. ；10521A nnab1)(5. （ 个） ， ； 6. 1 ., n三、 计算题1. 解：由 ，得BAXE)(， 1为此对矩阵 施行初等行变换化为行最简形矩阵，),(BA),(E3520101 r 1 r
5、0213所以 . BAEX1)(2. 解：对 施行初等行变换变成行最简形，1401325A r 00152 r 00131所以 ， 的前三列 是 的列向量组的最大无关组，且3)(AR321,A， 4. 3253. 解：先求 的特征值，A=201E)1(3)(， ,3,21当 时，由 得， 的对应于 2 的特征向量是 ， 10)(XEAA10当 时，有 得， 的对应于 的特征向量是 ，32)3( 302当 时，有 得， 的对应于 的特征向量是 ， 120)(XEAA113取 . 10021,23令 ，则 ，所以321,P 1321APT. TA10103 1010102)3()(24. 解： 1
6、601522,321 5r0390121r（1）当 时， ， 可由 线性表示，3 2),(),(32121 R321,且表示式不唯一； （2）当 ，且 ，即 时，95， 不能由 线性表示； 3),(2),(21321 R 321,（3）当 且 时， ， 能由 线5),(21 R321,性表示，但表示式唯一. 四、证明题1. 证：假设 是 的对应于 的特征向量，则21PA)()(2121PPA因为 , 所以 ， 由于 是2,0)(121,对应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而，矛盾！2121,02. 证：因为 是线性方程组 的解向量，所以 .从而 （ ） ，XAk 0kA0sk又由 知 （ ）.01kAll设 ， （1）012321 kxxx以 左乘上式两边，得 ，因而必有 ，k 1kAx以 左乘（1）式两边，得 ，因而必有 ，2A2x2类似地，可以证明必有 ，故 是线性无关的.043k 11,kA
