1、平方差公式【本讲教育信息】一、教学内容1、 单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘.2、 平方差公式. 二、教学目标1、经历探索整式乘法运算法则的过程，会进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅限于一次式相乘）. 2、理解整式乘法运算的算理，体会乘法分配律的作用和转化思想，培养有条理的思考及语言表达能力. 3、能说出平方差公式的结构特点，会用语言叙述平方差公式，能灵活熟练地运用平方差公式进行计算. 三、知识要点分析1、单项式与单项式相乘（这是重点）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 如：（2a 2） （3a）（2
2、3） （a 2a）6 a3单项式乘法法则的导出，运用了同底数幂的乘法性质与乘法交换律、结合律.注意：. 单项式乘单项式的结果仍是单项式. . 凡是在单项式中出现过的字母在结果里应该全有，不要漏掉因式. . 结果的次数应等于两个单项式的次数之和. 2、 单项式与多项式相乘（这是重难点）单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 注意：. 单项式乘多项式，多项式有几项（没有同类项） ，结果就有几项. . 主要依据的就是乘法的分配律，一定要保证单项式与多项式的每一项都相乘，要注意每一项乘积的符号. . 在检查自己所做的单项式与多项式相乘的结果是否正确时，要首先检
3、查以下两点：（1 ）看乘积的项数是否正确.单项式与多项式相乘的积的项数应该与因式中多项式的项数相同；（2 ）检查乘积中各项的符号.3、多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 注意：. 多项式乘多项式，积仍是多项式，且积的项数小于或等于两个多项式项数的积. . 乘的过程中，不要漏项，注意每项的符号. 4、平方差公式（1 ）公式：（ab） （a b）a 2b 2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. （2 ）特征：左边：二项式乘以二项式，两数（a 与 b）的和与它们的差的乘积. 右边：这两数的平方差. （3 ）找 a 与 b 的简便
4、方法由于（a b ） （ ab）可看作（ ab） a（b） ，所以在这两个多项式中， a 是相同的，而 b 与 b 是互为相反数，那么 a2b 2 就可看作是符号相同的项（ a）的平方减去符号相反的项（b 与b ）的平方 . 因此，运用平方差公式进行运算，关键是找出两个相乘的二项式中相同的项作为 a，互为相反的项作为 b. 【典型例题】考点一：整式的乘法例 1. 计算： 2323(1)()5)(mnnabcabxyxy【思路分析】从题目中可以看出每个题不仅是整式乘法，而且还含有其它运算，由此可见，需先确定其运算顺序，后选择正确的运算方法，细心解答. 解： 232462672(1)()5()5a
5、bcabcc32626836()(8)1()mnnmnmnxyxyxy方法与规律：对于含有不同级运算的整式乘法运算，应先确定其运算顺序，细心解题，才能避免出现错误. 例 2. 计算：.24321()6)()3mnmnxx【思路分析】这是道既涉及整式乘法运算又涉及整式加减法混合运算的题，解答本题的关键是选择正确的运算顺序.解：例 3. 计算：（1） （2a3b） （3a2b ） （2） （3mn ） 2【思路分析】这两道题都需运用多项式相乘的法则进行计算，能合并同类项的要将结果化到最简的形式. 注意第（2 ）题要化为“多乘多”的形式 . 解：（1） （2 a3b） （3a2b）=2a 3a+2a
6、2b+3b3a+3b2b=6a2+4ab+9ab+6b2=6a2+13ab+6b2（2 ） （3mn） 2=（3mn） （3mn ）=3 m3m3 mnn3mnn=9m23 mn3mnn 2=9m2 6mnn 2例 4. 已知 x，y 满足 ，试求代数式2(1)0y的值.2215()xyxyxy【思路分析】要求代数式的值，应先化简后求值，但字母 x，y 的值未知，需要根据条件求字母的值，考虑到 与 是一个非负数，而 ，即两个非2( 2(1)0负数之和为 0，必须使每个非负数都为 0.解：因为原式= ，又因为 ，所3 32169xyxy2y以 ，所以 ，当 x=1，y=2 时，原式= .2xy2
7、 39()6xy方法与规律：（1）几个非负数之和为 0，必须使每个非负数都为 0；（2）对于化简求值题，应先化简，再求值.考点二：平方差公式 例 5. 填空（1 ） （ad ） （ ）d 2a 2（2 ） （xy 1）（ ）x 2y21【思路分析】根据平方差公式右边 a2b 2 中被减数中的 a 代表相同的项，而减数中的b 在等式左边中应是互为相反数的两项. （1）中 d2a 2 中的 d 在两个二项式中皆为正，而a 在第一个多项式中为正，则在第二个多项式中应为负. （2 ）中含 xy 的项为 a，即相同的项，而含 1 的项为 b，即互为相反的项 .解：（1） （ad）（da）d 2a 2（2
8、 ） （xy 1）（xy+1） x2y21例 6. 计算：（x 24） （x 2 ） （x2）【思路分析】由于运用平方差公式可简化运算，因此可以利用乘法结合律先将可用平方差公式进行计算的部分先计算，而且平方差公式可以连用. 解：（x 24） （x 2） （x2）（x 24） （x 2） （x2） （x 24） （x 24） （x 2） 24 2x 416方法与规律：注意平方差公式的特点，然后进行计算. 例 7. 计算： 242(1)(1)()n【思路分析】式子中含有平方差公式中的因式，因此在式子前面添上（21 ） ，便可反复运用平方差公式.解： =242()1()(1)n 242(1)(1)(
9、)n= = = .2 2nn4方法与规律：审题是解题的先导，细心观察题目的结构，经过分析、比较、联想，才能构成解题思路，本题采用“添加”技巧，使之重复运用平方差公式而得出结果. 【本讲涉及的数学思想和方法】 本讲主要讲述整式的乘法和平方差公式，要求同学们能认真理解乘法的法则，本节课用到的数学思想是转化的数学思想，把多项式与单项式相乘转化为单项式与单项式相乘.预习导学案（第一章 89 节 完全平方公式及整式的除法）一、预习前知1、 完全平方公式.2、 单项式与单项式相除、多项式与单项式相除.二、预习导学探究与反思探究任务 1：单项式与单项式，多项式与单项式相乘的法则.【反思】在法则中怎么把以上除
10、法进行转化？探究任务 2：完全平方公式是什么 ？【反思】完全平方公式的特点是什么？三、牛刀小试1.（3x+4y） 2= .2.（2a b ） 2= .3. x24xy+ =（x2y） 2.4. a2+b2=（a+b） 2+ .5. a2+ +9b2=（ a+3b） 2.4116.（a2b） 2+（a+2b） 2= .【模拟试题】 （答题时间：60 分钟）一、选择题1. 12（x my） n 10（x ny） m 的结果是（其中 m、n 为正整数） （ ）A. 2xmy n B. 2xny m C. 2xmyn D. 12xmnyn10x mnym2. 下列计算中正确的是（ ）A. 3b22b3
11、=6b6B.（210 4）（610 2）=1.210 6C. 5x2y（2xy 2） 2=20x4y5D.（a m+1） 2（a） 2m=a 4m+2（m 为正整数）3. 2x2y（ 3xy+y 3）的计算结果是（ ）1A. 2x2y46x 3y2+x2y B. x 2y+2x2y4C. 2x2y4+x2y6x 3y2 D. 6x 3y2+2x2y44. 下列算式中，不正确的是（ ）A.（x n2 xn+1） （2xy ）= 2x n+1y+4xny2xy B.（x n） n1 =x2n1C. xn（x n2 xy）=x 2n2 xn+1x ny D. 当 n 为任意自然数时， （ a2） 2
12、n=a4n5. 三个连续奇数，若中间一个为 n，则它们的积为（ ）A. 6n36n B. 4n3n C. n34n D. n3n6. 下列等式（ ）x（xy）y（3y 2x ）=x 23xy 3y 2 ab2（b 3ab 2+2a3b）= ab5+ a2b4a 4b311（ab ） （a+b）=a 2ab+b 2（2x+y ） （4x 2+2xy+y2）=8x 3+y3中，正确的有（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个7. 计算（x y）（yx）的结果是 （ ）A. 2 B. 2y C. yx D. 2yx 8. 用平方差公式计算（x 1） （x+1） （x 2+1） ，
13、结果正确的是（ ）A. x41 B. x4+1 C.（x1） 4 D.（x+1） 49. 设 x+y=6，xy=5，则 x2y 2 等于（ ）A. 11 B. 15 C. 30 D. 6010. 若（x a） （xb）x mxn，则 m，n 的值分别为（ ）A. m=ab，n=ab B. m=ab，n=ab C. m=（ ab） ，n=ab D. m=（ab） ，n= ab二、沉着冷静耐心填11. （x4 ） （x8）x 2mxn，则 m=_，n=_. 12. 计算： _. 2341(9)(2)3abcacb13. （x1 ） （x+1）（x 2+1）= .14. 9 27 3 = .2071
14、5. 若（7m+A） （4n+B）=16n 249m 2，则 A= ，B= .16. 当 n 是奇数时， = . ()()na17. （5x+3y） （ ）=25x 29y 2.18. （xy+z） （x+y+z）=z+（ ） =z2（ ） 2.三、神机妙算用心做19. 计算（a 4b3c） （a4b3c）.*20. 若 )3)(8(22qxpx的积中不含 2x与 3项，求 p、q 的值.*21. 若 m、n 为有理数，式子（8m 3+2n） （8m 32n）+（2n3） （3+2n ）的值与 n 有没有关系？为什么？*22. 如果（2a+2b+1） （2a+2b1 ）=63，求 a+b 的值
15、.【试题答案】一、1. D【思路分析】用积的乘方进行计算，如果有同类项需要进行合并.2. C【思路分析】利用法则进行有关的计算.3. C【思路分析】利用单项式与多项式的乘法法则，得出结果是 2x2y4+x2y6x 3y2.4. A、B【思路分析】根据幂的运算法则和整式的乘法进行计算 .5. C【思路分析】三个连续奇数分别是 n2 ，n，n+2 ，所以积为 n34n. 6. B【思路分析】只有第是正确的.7. A【思路分析】观察题给代数式，粗看，不符合平方差公式结构形式，不能用公式；细想，化 xy=（y）+x，再配合后边的（y）x ，就能够用平方差公式了！不熟悉公式的同学只能用多项式乘法运算法则
16、，显然要繁琐一点. 不如妙用平方差公式简洁明快.8. A【思路分析】两次利用平方差公式 .9. C【思路分析】因为（x+y） （x y）=30，所以 x2y 2=30.10. C【思路分析】通过整式的乘法法则进行计算，然后再左右对照从而确定 m，n 的值.二、11. 4， 32 12. 【思路分析】先利用单项式与单项式相乘，然后合并同类项.abc13. 2【思路分析】 （x 1） （x+1 ）（x 2+1）= x21 x21=2.14. 2715. 4n，7m【思路分析】16n 249m 2=（7m+4n） （4n+7m）.16. 0【思路分析】 =()()na20na17. 5x 3y18.
17、 xy z（ xy） xy 【思路分析】把 xy 看成一个整体 .三、19. 解：原式（a3c ）4b（a3c）4b（a3c） 2（4b ） 2（a3c）（a 3c）16b 2a 23ac3ac9c 216b 2 a26ac9c 216b 2.【思路分析】注意到本题两个多项式的因式中，a 与 a，3c 与3c 都是相同的项，4b 与 4b 是互为相反数的项，把相同的项分为一类，互为相反数的项分为一类，分组后便符合平方差公式左边的特征了.20. 解：因为积中不含 2x与 3项，所以3+p=0，q3p+8=0，故 p=3，q=1【思路分析】题给两个多项式相乘后的积中不含 2x， 3. 如何才能做到
18、这一点？我们只有让积中的 项、 项的系数=0. 这样，我们会发现得到一个含 p、q 的二元一次方程组，解方程组即可求出 p、q.21. 解：无关，因为（8m 3+2n） （8m 32n ）+（2n3） （3+2n）=64m6 4n2+4n29=64m 69【思路分析】因为去括号合并同类项后没有含有 n 的项.22. 解：（2a+2b+1） （2a+2b1 ）=63，（ 2a+2b）+1（2a+2b）1=63 ，（2a+2b） 2 1=63，（2a+2b ） 2=64，2 a+2b=8 或 2a+2b=8，a+b=4 或 a+b=4 ，a+b 的值为 4 或4.【思路分析】此题是平方差公式的应用，把（2a+2b）看成一个整体.
