1、实际问题与一元一次方程（一） （提高）知识讲解【学习目标】1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路【要点梳理】要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题 分 析抽 象 方程 求 解检 验 解答由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答 要点诠释：（1） “审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2） “设”就是设未知数，一般求什么就设什么为 x，但有时也可以间接设未知数；（3） “列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程
2、，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4） “解”就是解方程，求出未知数的值；（5） “检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6） “答”就是写出答案，注意单位要写清楚要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）1和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量原有量增长率，现有量原有量+增长量，现有量原有量-降低量（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等2行程问题（1）三个基本量间的关系： 路程=速度时间 （2）基本类型有： 相遇问题（或相向问题）：基本量及关系：相遇路程=速度和相遇时间寻找
3、相等关系：甲走的路程+乙走的路程两地距离追及问题：基本量及关系：追及路程=速度差追及时间寻找相等关系：第一， 同地不同时出发：前者走的路程追者走的路程；第二， 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离追者走的路程航行问题：基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度水流速度，顺水速度逆水速度2水速；寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析3工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 1基本关系式：（1）总工作量=工作效率工作时间
4、；（2）总工作量=各单位工作量之和4调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑【典型例题】类型一、和差倍分问题1旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%，第二次旅程中用去剩余汽油的 40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？ 【答案与解析】 解：设油箱里原有汽油 x 公斤，由题意得：x(1-25%)(1-40%)+1=25%x+(1-25%)x40% 解得：x=10 答：油箱里原有汽油 10 公斤.【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油. 举一反三：【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均
5、每人 3 张则多 24 张，若平均每人 4张则少 26 张，这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?【答案】解：设这个班有 x 名学生，根据题意得：3x+244x-26解得：x50所以 3x+24350+24174答：这个班有 50 名学生，一共展出了 174 张邮票类型二、行程问题1.车过桥问题2. 某桥长 1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了 50s，而整个火车在桥上的时间是 30s，求火车的长度和速度【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义【答案与解析】解：设火车车身长为 xm，根据题意，得：12053x，解得：x300，所以
6、 1205答：火车的长度是 300m，车速是 30m/s【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A 点表示火车头)：(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长车长由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度整个火车在桥上的速度 举一反三：【变式】某要塞有步兵 692 人，每 4 人一横排，各排相距 1 米向前行走，每分钟走 86 米，通过长 86 米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？【答案】 解：设从第一排上桥到排尾离桥需要 x 分钟，列方程得
7、：69281864x，解得：x3答：从第一排上桥到排尾离桥需要 3 分钟2.相遇问题（相向问题） 3小李骑自行车从 A 地到 B 地，小明骑自行车从 B 地到 A 地，两人都匀速前进.已知两人在上午 8 时同时出发，到上午 10 时，两人还相距 36 千米，到中午 12 点，两人又相距36 千米.求 A、B 两地间的路程.【答案与解析】解：设 A、B 两地间的路程为 x 千米，由题意得：3624x解得： 108答：A、B 两地间的路程为 108 千米.【点评】根据“匀速前进”可知 A、B 的速度不变，进而 A、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和时间可得方程举一反三：【高清课堂
8、：实际问题与一元一次方程(一)388410 二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距 A 站 34km，已知甲车的速度是 70km/h，乙车的速度是 52km/h，求 A、B 两站间的距离.【答案】解：设 A、B 两站间的距离为 x km，由题意得： 234705x 解得：x=122答： A、B 两站间的距离为 122km.3.追及问题（同向问题）4一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发 2 小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车的速度每小时快 30 千米，但轿车行驶一小时后
9、突遇故障，修理 15 分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了 13，结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度【答案与解析】解：设卡车的速度为 x 千米/时，由题意得：1122(30)(30)24x x解得：x=24答：卡车的速度为 24 千米/时【点评】采用“线示”分析法，画出示意图利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间4.航行问题（顺逆风问题）5(武昌区联考)盛夏，某校组织长江夜游，在流速为 2.5 千米/时的航段，从 A 地上船，沿江而下至 B 地，然后溯江而上到 C 地下船，共乘船 4 小时已知 A、C 两地相距 10千米，船在静水中的速度为 7.5
10、 千米/时，求 A、B 两地间的距离【思路点拨】由于 C 的位置不确定，要分类讨论：（1）C 地在 A、B 之间；（2）C 地在 A地上游【答案与解析】解：设 A、B 两地间的距离为 x 千米(1)当 C 地在 A、B 两地之间时，依题意得1047.52.5x解这个方程得：x20(千米)(2)当 C 地在 A 地上游时，依题意得：x解这个方程得： 203答：A、B 两地间的距离为 20 千米或 千米【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4 小时构建方程求解5.环形问题6环城自行车赛，最快的人在开始 48 分钟后遇到最慢的人，已知最快的
11、人的速度是最慢的人速度的 3 倍，环城一周是 20 千米，求两个人的速度. 【答案与解析】解；设最慢的人速度为 x 千米/时，则最快的人的速度为 x 千米/时， 由题意得:x -x =20 解得：x=10 答：最快的人的速度为 35 千米/时，最慢的人的速度为 10 千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周 20 千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20 千米. 举一反三：【变式】两人沿着边长为 90m 的正方形行走，按 ABCDA方向，甲从 A 以 65m/min的速度，乙从 B 以 72m/min 的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条
12、边上?【答案】解：设乙追上甲用了 x 分钟，则有：72x-65x390270（分）答：乙第一次追上甲时走了 270 (m) 此时乙在 AD 边上类型三、工程问题7一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管 6 小时可注满水池；单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管 9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?【答案与解析】解：设再过 x 小时可把水注满由题意得：11()()689x解得： 30421x答：打开丙管后 小时可把水放满【点评】相等关系：甲、乙开 2h 的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1举一反三：【变式】收割
13、一块水稻田，若每小时收割 4 亩，预计若干小时完成，收割 23后，改用新式农机，工作效率提高到原来的 12倍，因此比预计时间提早 1 小时完成，求这块水稻田的面积【答案】解：设这块水稻田的面积为 x 亩，由题意得：21344x解得： 6答：这块水稻田的面积为 36 亩类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）8某工程队每天安排 120 个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土 5 m3或运土 3 m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的工人?【答案与解析】解：设安排 x 人挖土，则运土的有(120-x)人，依题意得：5x3(120-x)，解得 x45120-4575(人)答：
14、应安排 45 人挖土，75 人运土【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等举一反三：【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 配制问题】【变式】某商店选用 A、B 两种价格分别是每千克 28 元和每千克 20 元的糖果混合成杂拌糖果后出售，为使这种杂拌糖果的售价是每千克 25 元，要配制这种杂拌糖果 100 千克，问要用这两种糖果各多少千克？【答案】解：设要用 A 种糖果 x 千克，则 B 种糖果用(100-x)千克.依题意，得：28x+20(100-x)=25100解得：x=62.5.当 x=62.5 时，100-x=37.5.答：要用 A、B 两种糖果分别为 62.5 千克和 37.5 千克.
