1、综合测试(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题：若 a0，则 a20 的逆命题为 导学号 64150910 ( )A若 a0，则 a20 B若 a20，则 a0C若 a0，则 a20 D若 a0，则 a20答案 B解析 将原命题的条件、结论互换得原命题的逆命题2设点 B(4,0)，C (4,0)，若 ABC 的周长为 18，则动点 A 的轨迹方程是 导学号 64150911 ( )A. 1( y0) B. 1( y0)x225 y29 y225 x29C. 1(x0)
2、D. 1( x0)x225 y216 y216 x29答案 A解析 由已知得|AB|AC| 10|BC |，由椭圆定义知，动点 A 的轨迹为椭圆(y 0)，且 2a10，a5，c4，所以 b29，方程为 1( y0)x225 y293已知向量 a(1,0,2)， b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是导学号 64150912 ( )A2， B ，12 13 12C3,2 D2,2答案 A解析 已知 ab，则t R，使得 bt a(t0) ，可得Error! ，解得Error!或Error!.4若直线 l 与平面 所成角为 ，直线 a 在平面 内，且与直线 l 异面，则直线 l 与直3
3、线 a 所成角的取值围是 导学号 64150913 ( )A0， B ，23 3C ， D ， 3 23 3 2答案 D解析 设 a 与 l 所成角为 ，由公式 coscos 1cos2，其中 1 ， 20， 得3 20cos ， .12 3 25已知双曲线 1 的左右焦点分别是 F1、F 2，过 F1 的直线 l 与双曲线相交于x22 y23A、B 两点，则满足|AB|3 的直线 l 有 导学号 64150914 ( )2A1 条 B2 条C3 条 D4 条答案 C解析 由 a22，b 23 得，c 2a 2b 25，F 1( ，0) ，将 x 代入双曲线方程中得，y ，过 F1 的通径长为
4、 3 ，5 5322 2又双曲线的实轴长为 2 ， 过 F1 与 x 轴不垂直的直线 l 与双曲线相交于 A、B 两点，2|AB|3 时，这样的直线有 2 条，共有 3 条，选 C.26已知空间四点 O，A，B， P 满足 m n ，其中 m，nR 且 mn1，则OP OA OB 导学号 64150915 ( )A点 P 必在直线 AB 上B点 P 必不在直线 AB 上C点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线 AB 上D. 与 方向必相同AP AB 答案 A解析 由题设知 mn0，又 mn1，则 (1 n) n n n ，OP OA OB OA OA OB 即 n ( )，所以 n ，因
5、此 A，P，B 共线，即点 P 必在直线 AB 上OP OA OB OA AP AB 7已知有相同两焦点 F1，F 2 的椭圆 y 21( m1)和双曲线 y 21(n0)，P 是它x2m x2n们的一个交点，则PF 1F2 的形状是 导学号 64150916 ( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 m，n 的变化而变化答案 B解析 由题设得|PF 1|PF 2|2 ，|PF 1|PF 2|2 ，并且 m1n1.所以m n|PF1|2 |PF2|2 2|PF1|PF2|4m ，|PF 1|2| PF2|22| PF1|PF2|4n，则|PF 1|2| PF2|22(m n)4(m
6、1)|F 1F2|2，所以PF 1F2 为直角三角形8命题 p：若 ab0)，如果直线 y x 与椭圆的一个交点 M 在 xx216 y2m2 22轴上的射影恰好为椭圆的右焦点 F，则 m 的值为 导学号 64150918 ( )A1 B. 2C2 D2 2答案 D解析 F 点的坐标为 ( ，0) ，16 m2由 1 得 m48m 21280，m 28，m2 .故选 D.16 m216 22 16 m2m2 210已知点 P 是以 F1，F 2 为左、右焦点的双曲线 1(a0，b0)左支上一点，x2a2 y2b2且满足 0，tanPF 2F1 ，则此双曲线的离心率为 导学号 64150919
7、( )PF1 PF2 23A. B.3132C. D.5 13答案 D解析 据已知设|PF 1|m，则 |PF2| ，在直角三角形 PF1F2 中利用勾股定理可得3m2m2( )24c 2，解得 m ，则由双曲线定义可得|PF 2|PF 1| 2a，故有3m2 413c13 m2 213c13e .ca 1311若实数 a，b 满足 a0，b0，且 ab0，则称 a 与 b 互补，记 (a，b) ab，那么 (a，b)0 是 a 与 b 互补的 导学号 64150920 ( )a2 b2A必要而不充分的条件 B充分而不必要的条件C充要条件 D既不充分也不必要的条件答案 C解析 本题考查充要条件
8、的判定若 (a，b) ab0，则 ab，a 2b 2(ab) 2，ab0，a2 b2 a2 b2当 a0 时，由 b 知 b0；当 b0 时，由 a 知 a0，a 与 b 互补反之，b2 a2亦然12如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小2为 导学号 64150921 ( )A60 B90C105 D75答案 B解析 设 a， b， c，且令 BB11，则a，b120， ac，AB BC BB1 AB1 bc， (a c)(bc) abac bcc 2 cos12010，BC1 AB1 BC1 2 2应选 B.二、填空题(本大题共 4
9、个小题，每小题 4 分，共 16 分，将正确答案填在题中横线上)13已知 p： 0，q：4 x2 xm0，若 p 是 q 的充分条件，则实数 m 的取值范x 1x围是_ 导学号 64150922答案 m6解析 由 0，即Error! ，得 00 对任意116 116实数 x 均成立 a2，所以命题 p 为真命题a2.命题 q 为真命题 1 对一切正实数 x 均成立，由于 x0，2x 1 1x 2xx 2x 1 1 22x 1 1所以 1，所以 12，所以 b0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一点 B，x2a2 y2b2且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若 2 ，
10、由余弦定理得5cosF 1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| 1，2a2 10|PF1|PF2|又|PF 1|PF2| ( )2a 2，|PF1| |PF2|2当且仅当|PF 1| PF2|时，|PF 1|PF2|取最大值此时 cosF 1PF2 取得最小值为 1，2a2 10a2令 1 ，2a2 10a2 19解得 a29，又c ，b 24，5故所求 P 的轨迹方程为 1.x29 y24(2)设 N(s，t)，M(x，y )，则由 ，DM DN 可得(x， y3) (s，t3)，故 xs，y3 (t3)，M、N 在动点 P 的轨迹上， 1，且 1，s29 t
11、24 s29 3 t 324消去 s 可得1 2，解得 t .t 3 32 2t24 13 156又由|t| 2，即2 2，13 156解得 5，故实数 的取值范围为 ，515 1521(本小题满分 12 分)(2015天津理，17)如图，在四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 中，侧棱A1A底面 ABCD，ABAC，AB1，ACAA 12，AD CD ，且点 M 和 N 分别为5B1C 和 D1D 的中点 导学号 64150930(1)求证：MN平面 ABCD；(2)求二面角 D1ACB 1 的正弦值；(3)设 E 为棱 A1B1 上的点若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线
12、段 A1E13的长解析 如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 A(0,0,0)，B(0,1,0) ，C(2,0,0)，D(1 ， 2,0)，A 1(0,0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(2,0,2)，D 1(1，2,2) ，又因为 M，N 分别为 B1C 和 D1D 的中点，得 M ，N(1，2,1) (1，12，1)(1)依题意，可得 n(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，MN ，(0， 52，0)由此可得，MN n 0，又因为直线 MN平面 ABCD，所以 MN平面 ABCD. (2)AD1 (1，2,2)，AC (2,0,0)，设 n1(x 1，y 1，z
13、 1)为平面 ACD1 的法向量，则Error!，即Error!，不妨设 z11，可得 n1(0,1,1)，设 n2(x 2，y 2，z 2)为平面 ACB1 的一个法向量，则Error!，又 AB1 (0,1,2)，得Error!，不妨设 z21，可得 n2(0 ，2,1). 因此有 cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 1010于是 sinn 1，n 2 ，31010所以二面角 D1ACB 1 的正弦值为 .31010(3)依题意，可设 A1E A 1B1 ，其中 0,1，则 E(0，2) ，从而NE ( 1， 2,1)，又 n(0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已
14、知得cosNE ，n ，NE n|NE |n| 1 12 22 12 13整理得 2430，又因为 0,1，解得 2，7所以线段 A1E 的长为 2.722(本小题满分 14 分)(2016山东理，21)平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C： 1(a b0)的离心率是 ，抛物线 E：x 22y 的焦点 F 是 C 的一个顶点x2a2 y2b2 32导 学 号 64150932(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点A，B ，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M求证：点
15、M 在定直线上；直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求 的最大值S1S2及取得最大值时点 P 的坐标解析 (1)由题意知 ，可得：a 24b 2，a2 b2a 32因为抛物线 E 的焦点 F(0， )，12所以 b ，a1，12所以椭圆 C 的方程为 x24y 21(2)设 P(m， )(m0)m22由 x22y，可得 yx，所以直线 l 的斜率为 m因此直线 l 的方程为 y m (xm)，m22即 ymx m22设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，D(x 0，y 0)联立方程Error!，得(4m 21) x24m 3xm 410由 0，得 0m (或 0m22 )，(*)2 5 5且 x1x 2 ，4m34m2 1因此 x0 ，2m34m2 1将其代入 ymx ，得 y0 ，m22 m224m2 1因为 ，y0x0 14m所以直线 OD 的方程为 y x14m联立方程Error!，
