1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数 教学目标：1.使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念，掌 握 可 导 函 数 在 闭 区 间 上 所)(xfba,有 点 （ 包 括 端 点 ） 处 的 函 数 中 的 最 大 （ 或 最 小 ） 值 必有的充分条件；ba,2.使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系教学过程：一创设情景我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质也就是说，如果 是函数 yfx的
2、极大（小）值点，那么在点 0x附近找不到0x比 0fx更大（小）的值但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小如果 0x是函数的最大（小）值，那么 0fx不小（大）于函数 yfx在相应区间上的所有函数值二新课讲授观察图中一个定义在闭区间 上的函数 的图ba,)(xf象图中 与 3()fx是极小值， 2()f是极大值函数1f在 上的最大值是 ，最小值是 3fx)(xfba,f1结论：一般地，在闭区间 上函数 ()yf的图像是一条连续不断的曲线，那ba,么函数 ()yfx在 上必有最大值与最小值,说明：如果在某一区间上函数 ()yfx的图像是一条连续
3、不断的曲线，则称函数()yfx在这个区间上连续 （可以不给学生讲）给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 (,)ab内连续的函数 不一定有最大值与最)(xfx3x2x1 ba xOy小值如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值；xf1)(),0(（3）在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，（4）函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充)(fba,)(xfba,分条件而非必要条件 （可以不给学生讲）2 “最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看
4、，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；来源:学优高考网 gkstk（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值3利用导数求函数的最值步骤:来源:学优高考网 gkstk由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数)(xf值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：)(fba,求 在 ,内的极值；)(xf将 的各极值与端点
5、处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，最)(afbf小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值xf,三典例分析例 1 （课本例 5）求 314f在 0,3的最大值与最小值 解： 由例 4 可知，在 0,上，当 2x时， ()fx有极小值，并且极小值为 4(2)3f，又由于 f， 31f因此，函数 4xx在 ,3的最大值是 4，最小值是 43上述结论可以从函数 314fxx在 0,3上的图象得到直观验证例 2求 函 数 在区间 上 的最大值与最小值524y2解 ： 先求导数，得 x3/令 0 即 解 得/y043x 1,0,132x导 数 的正负以及 ， 如下表 来 源 :学 优 高 考
6、网 / )2(f(fX来源 :学优高考网 -2 （ -2,-1） -1 （ -1,0）0来源 :学 优高 考网 （ 0,1） 1 （ 1,2） 2y/ 0 0 0 y 13 4 5 4 13从上表知，当 时，函数有最大值 13，当 时，函数有最小值 4 2x 1x例 3已知 3()logaxbf, (0,+).是否存在实数 ab、 ,使 同时满足下)(xf列两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数；（2）f的最小值是 1，若存在，求出 ab、 ，若不存在，说明理由.)(xf解：设 g(x)= ba2 f(x)在（0，1）上是减函数，在1，+)上是增函数 g(x)在（0，
7、1）上是减函数，在1，+)上是增函数.y=x4-2x2+512108642-4-2 42 xOy 解得3)1(0g310ba1ba经检验， a=1,b=1 时， f(x)满足题设的两个条件.四课堂练习1 下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2函数 y=f(x)在区间 a,b上的最大值是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f( x) ( )A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能3函数 y= ，在1，1上的最小值为( )2341xA.0 B.2 C.1 D.1234 求 函 数 在区间 上 的最大值与最小值54xy,五回顾总结1函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；2函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分)(xfba,)(xfba,条件而非必要条件；3闭 区 间 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ； 开 区 间 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值 ，, ),(若 有 唯 一 的 极 值 ， 则 此 极 值 必 是 函 数 的 最 值 4利用导数求函数的最值方法六布置作业课本 P99 习题 3.3 A 组 6
