1、2.1 轴对称要点全析1变换在现代汉语词典中，变换的意思是：事物的一种形式或内容换成另一种，如变换位置、变换手法 在前面学习全等三角形时，学习和介绍了全等变换所谓全等变换，即把一个图形经过平移、翻折、旋转后，得到另一个图形的过程在这个过程中，原来图形的形状、大小都没有改变，只是位置、方向发生了改变如图 14-2-1 中， （1）图是 ABC 平移后得到 DEF， （2）图是 ABC 翻折后得到 DBC， （3）图是 ABC 旋转一个角（即 BAD）后，得到 ADE， （4）图是 ABC 先平移（ BE） ，后翻折，得到 DEF，以上这几种图形变化的过程都是全等变换变换前后，两图形全等2轴对称变
2、换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换例如：图 14-2-2 中， DEF 与 ABC 成轴对称，同样得到 ABC 的一系列对称图形 GHK、 PQR、 LMN 等，并且 ABC DEF GHK PRQ LMN以上这些图形的变化过程就是轴对称变换3轴对称变换的性质（1）变换前后的两个图形的形状、大小完全一样 （2）新图形的每一个点，都是原图形上每一个点关于某直线的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分【说明】如图 14-2-2 中，以 ABC 与 DEF 关于直线 l 对称为例说明如下： ABC 与 DEF 全等，只是图形的位置与方向发生变化，而形状、大小没变点 A、
3、B、 C 分别与点 D、 E、 F 关于直线 l 对称线段 AD、 CF 被直线 l 垂直平分（4）当对称轴平行时，变换一次，方向改变；变换两次，与原图形方向相同依此类推，当变换奇数次时，方向改变，当变换偶数次时，方向不变如图 14-2-3当对称不平行时，方向改变的幅度随对称轴的倾斜程度而变化如图14-2-44轴对称变换的应用利用轴对称变换可以设计出精美的图案，在许多美术作品和工艺制品中，经常看到轴对称变换的例子如图 14-2-5 中的设计图：再如图 14-2-6 中的剪纸图：5如何作一个图形关于某直线的对称图形由轴对称图形的性质可知，对称点的连线被对称轴垂直平分因此，先把一个几何图形看成由一
4、些点组成，只要作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形对于一些由特殊直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可得到原图形关于对称轴的对称图形例如：如图 14-2-7 中，已知 ABC 和直线 l作出 ABC 关于直线 l 的对称图形分析：在（1）图中， ABC 的三个顶点已确定，只要作出三个顶点关于直线 l 的对称点，连接这三个对称点，就得 ABC 关于直线 l 对称图形作法：（1）图中，（1）过点 A 作直线 l 的垂线，垂足为 G，在垂直线上截取 GA GA则点A，就是点 A 关于直线 l 的
5、对称点（因 AA被直线 l 垂直平分） （2）同样道理和方法，分别作出点 B、 C 关于直线 l 的对称点 B、 C（3）连接 A B、 B C、 C A，得到 A B C即为所求在（2）图中，作法同（1）图的作法，图形如（2）图所示再如一些几何图形的对称图形的画法，如图 14-2-8 所示6应用轴对称，寻找最佳方案问题例如：如图 14-2-9，在金水河的同一侧有两个村庄 A、 B要从河边同一点修两条水渠到 A、 B 两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河 MN 何处使两条水渠最短？分析：先将具体问题抽象成数学模型河流为直线 MN，在直线 MN 的同一侧有 A、 B 两点在直线 MN 上找一点 P
6、，使 P 点到 A、 B 两点的距离之和为最小这里就要充分运用轴对称图形的性质加以解决解：如图 14-2-9 所示，作 B 点关于直线 MN 的对称点 B，连接 AB与 MN相交于点 P，则 P 点即为所求事实上，如果不是 P 点而是 P点时，则连接AP、 P B 和 P B 由轴对称性可知， P B P B， PB PB，所以 P到 A、 B 的距离之和APP B AP P B而 P 到 A、 B 的距离之和 AP PB AP PB AB，在 AB P中，三角形两边之和大于第三边，即AP P B AB所以 P 点即为所求的点【说明】 （1）此题为典型的最佳方案选择问题，问题的核心是如何节省材
7、料，反映在数学上就是寻找最小值问题（2）与此类型相似，前几节学过的利用角平分线、线段垂直平分线的性质解决等距问题，也是按此方法处理的（3）解决这类问题时，先把具体问题抽象成数学模型，再用数学中学过的有关法则、定理等去解决（4）在本例中，充分利用了轴对称的性质7轴对称的坐标表示方法点（ x， y）关于 x 轴对称点的坐标为（ x， y） ；点（ x， y）关于 y 轴对称点的坐标为（ x， y） 如图 14-2-10 中，点 P（2，3）关于 x 轴的对称点为 P2（2，3） ，关于 y轴的对称点为 P1， （2，3） ；点 P2关于 y 轴的对称点为 P3（2，3） ；而点P3（2，3）与点
8、P1（2，3）关于 x 轴对称因此，我们得到规律：关于 x 轴对称的两个点的坐标，横坐标不变，纵坐标变成它的相反数；关于 y 轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标变成它的相反数反过来，也成立例如：判断下列各点的位置关系：A（2，5） B（2，5） C（2，5） D（2，5）解：由坐标特点知， A 与 B 关于 x 轴对称， A 与 C 关于 y 轴对称， B 与 D 关于 y 轴对称8点 P（ x， y）关于直线 x a 的对称点坐标如图 14-2-11 中，点 P（1，4）关于直线 x2 的对称点为 P1（3，4） ；关于直线 x1 的对称点为 P2（3，4） 由此可以看出，点 P、 P1、
9、P2的纵坐标都没变，都是 4，而 P1、 P2的横坐标发生了变化，变化的规律是： P1点的横坐标比 A 点横坐标 2 多了一个 AP1（即AP）的长，而 AP 的长为 211， P1横坐标为 2（21）3同样道理， P2点的横坐标是比 B 点横坐标1 多了一个 BP2（即 BP）的长，而 BP 的长为112， P2横坐标为1（11）3因此，得出规律：点 P（ x， y）关于直线 x m 的对称点 P1的横坐标为m（ m x）2 m x，纵坐标不变，即点 P1、坐标为（2 m x， y） 同样，点 P（ x， y）关于直线 y m 的对称点 P2的纵坐标为 m（ m y）2 m y，横坐标不变，
10、即点 P2坐标为（ x，2 m y） 由此可以直接写出点 P（3，2）关于直线 x5 的对称点坐标为P1（253，2） ，即 P1（7，2） ，关于 y3 的对称点 P2的坐标为 P2（3，4）例如：写出下列点关于直线 x4 和直线 y5 的对称点的坐标A（2，3） B（4，5） C（3，1） D（2，1）解：由上面的式子可知，点关于直线 x4 的对称点和关于直线 y5 的对称点坐标列表如下：A（2，3） B（4，5） C（3，1） D（2，1 ）关于直线x4 的对称点A1（6，3） B1（4，） C1（11，） D1（10，1）关于直线y5 的对称点A2（2，） B2（4，） C2（3，9）
11、 D2（2，11）同样，关于 x 轴（ y0）对称的点的坐标中 x 坐标不变， y 坐标为其相反数；关于 y 轴（ x0）对称的点的坐标中， y 坐标不变， x 坐标为其相反数9轴对称在生产实际中的应用应用点的对称性质能解决生产实践中遇到的寻求最佳点的问题，看下面两个例子 例 1：如图 14-2-12， EFGH 是一个长方形的台球桌面，有黑、白两球分别位于 A、 B 位置上试问：怎样撞击黑球 A，使黑球先撞击台边 EF，反弹后再击中白球 B？试画出黑球 A 的运动路线画法：（1）作点 A 关于 EF 的对称点 A（2）连接 A B 交 EF 于点 M点 M 就是黑球 A 撞击边框 EF 的位
12、置，黑球 A 的运动路线为 AMB根据物理知识，黑球 A 的入射角 AMC 只有与黑球 A 撞击边框 EF 反弹后的反射角 BMC 相等，黑球 A 才能击中白球 B证明：过点 M 作垂线 CD EF 是线段 A A 的中垂线， MA MA， AMF A MF又 FMC FMD90（已知） ， AMC AMF90， A MD A MF90 AMC A MD（等角的余角相等） 又 A MD BMC（对顶角相等） AMC BMC（等量代换） 例 2：如图 14-2-13，甲、乙、丙三人做接力游戏开始时，甲站在 AOB内的 P 点，乙站在 OA 上，丙站在 OB 上游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力
13、棒传给丙，最后丙跑到终点 P 处如果甲、乙、丙三个人速度相同，试找出乙、丙站在何处，他们比赛所用的时间最短画法：（1）作点 P 关于 OA 的对称点 P1（2）作点 P 关于 OB 的对称点 P2（3）连接 P1P2交 OA 于点 M，交 OB 于点 N则点 M 是乙所站的位置，点 N 是丙所站的位置证明：若在 OA 上取一点 M，连接 M P1， M P P 和 P1关于 OA 对称， M P1 M P，同理在 OB 上取一点 N，则 N P N P2若乙站在 M位置，丙站在 N位置，接力棒传递路线为：PM M N N P P1M PM， N P2 N P， PM M N N P P1 M N N P2 两点间直线段最短， P1M M N N P2 P1P2 P1M MN NP2 PM MN NP因此，乙站在 M 点，丙站在 N 点，甲、乙、丙三人传递接力棒的距离最短
