1、32.2 复数代数形式的乘除运算学习目标1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算(重点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点)3理解共轭复数的概念.学法指导 复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，再分母“实数化”.1复数乘法的运算法则和运算律(1)复数的乘法法则设 z1abi，z 2c di(a，b，c，dR)，则 z1z2(abi)( cdi)(ac bd)(adbc)i.(2)复数乘法的运算律对任意复数 z1、z 2、z 3C，有交换律 z1z2z 2z1结合律 (z1z2)z3z 1(z2z3)乘法对加法的分配律 z1(
2、z2z 3)z 1z2z 1z32.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数z 的共轭复数用 表示，即 zabi(a，bR)，则 abi.z z3复数的除法法则设 z1abi，z 2c di(cdi0)，则 i(cdi 0) z1z2 a bic di ac bdc2 d2 bc adc2 d21判断：(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)两个复数的积与商一定是虚数( )(2)两个共轭复数的和与积是实数( )(3)两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称( )(4)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减( )答案：(1) (2) (3) (4)2i 是
3、虚数单位，则 i(1i)等于( )A1i B1iC1i D1i答案：D3在复平面内，复数 z 对应的点位于( )12 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D4若 x2yi 和 3xi 互为共轭复数，则实数 x_，y_.答案：1 1复数代数形式的乘除运算计算：(1)(12i)(34i)(2i)；(2)(12i)(3 4i)；(3) ；1 4i1 i 2 4i3 4i(4)( )6 .1 i1 i 2 3i3 2i(链接教材 P109 例 2 P 110 例 3 P 111 例 4)解 (1)(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(2)(12i)(3 4i)1
4、 2i3 4i 1 2i3 4i3 4i3 4i 3 8 6i 4i32 42 i. 5 10i25 15 25(3) 1 4i1 i 2 4i3 4i 5 3i 2 4i3 4i 7 i3 4i 1i.7 i3 4i3 4i3 4i 21 28i 3i 425 25 25i25(4)法一：原式 61 i22 2 3i 3 2i 32 22i 66 2i 3i 651i.法二：(技巧解法)原式 6 i 61 i22 2 3ii 3 2ii 2 3ii2 3i1i.方法归纳(1)复数的乘法可以把 i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把 i2 化为1 进行最后结果的化简复数的除法先写成分式
5、的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i)(2)对于复数的运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单的算式要知道其结果，这样起点就高，计算过程就可以简化，达到快速简捷出错少的效果1(2014高考课标全国卷) ( )1 i31 i2A1i B1iC1i D1i解析：选 D法一： 1 i31 i2 1 i1 i2 2i1 i1 i2 2i 2i 1i.2i1 i 2i法二：1 i31 i2( )2(1i)1 i1 ii 2(1i) (1i)2计算：(1)(4i)(6 2i)(7i)(4 3i)；(2) ；3 2i2 3i 3 2i2 3i
6、(3) .i 2i 11 ii 1 i解：(1)(4 i)(62i)(7 i)(43i)(248i6i2)(28 21i4i3)(262i) (3117i)5 15i.(2) 3 2i2 3i 3 2i2 3i i2 3i2 3i i2 3i2 3iii0.(3) i 2i 11 ii 1 i i2 i 2i 2i 1 i2 i i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 2 i 2 i 1i. 2 i 6i 3i25 5 5i5共轭复数已知 z C， 为 z 的共轭复数，若 z 3i 1 3i，求 z.z z z 解 设 zabi(a，bR) ，则 abi(a，bR )，z 由题意得(abi)(
7、abi)3i(abi)13i ，即 a2b 23b3ai13i，则有Error!，解得Error!或Error!.所以 z1 或 z13i.方法归纳(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z |z| 2| |2，zRz 等z z z(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解3已知(12i) 43i，求 z 及 .zzz解：设 zabi(a，bR)，则 abi.z(12i)( abi)43i.(a2b) (2 ab)i43i.由复数相等的充要条件，得Error!解得 a2，b1，z2i，则 i.zz z2zz 4 1 4i|z|2 35 45i 的运
8、算性质及其应用计算：(1) 2 014；2 2i1 i2 ( 21 i)(2)ii 2i 2 014.解 (1)原式 1 00721 i 2i (22i)i(1i) (i) 1 007ii 2(1) 1 007i1 007i1i 42513i1i 312i.(2)法一：原式 i1 i2 0141 i i i2 0151 i i i4503 31 i i i31 i i i1 i i1.2i1 i法二：i ni n1 i n2 i n3 i n(1i i 2i 3)0，原式(ii 2i 3i 4)(i 5 i6i 7i 8)(i 2 009i 2 010i 2 011i 2 012)i 2 01
9、3i 2 014i 45031 i 45032 i1.方法归纳(1)等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即ini n1 i n2 i n3 0(nN *)(2)记住以下结果，可提高运算速度(1i) 22i，(1 i) 22i. i， i.1 i1 i 1 i1 i i.1i4计算 2 3 10.(1 i1 i)(1 i1 i) (1 i1 i) (1 i1 i)解： i，1 i1 i 1 i21 i1 i原式ii 2i3i10i 12310i 55i 3i.易错警示 因忽视实数与复数的差异而致误在复数范围内，下列命题中正确的是( )A若|z|1，则 z1B若 a
10、2b 20，则 a0 且 b0C若 z 0，则 z 为纯虚数zD若 z1z20，则 z10 或 z20解析 选项 A 不正确，如 zi. 选项 B 不正确，如 a1，bi.选项 C 不正确，如z0 则 0.选项 D 正确，设 z1abi ，z 2cdi，(a，b，c，dR) ，则 z1z2(abi)z(cdi)( ac bd)(adbc)i，又 z1z20，所以( acbd)( adbc)i0，即Error!即Error!dc 得：b0 或 c2d 20，即 b0 或 c0 且 d0；Error!ab 得：c0 或 a2b 20，即 c0 或 a0 且 b0，综上所述：若 z1z20，则 z1
11、0 或 z20.答案 D错因与防范 解答本题时因忽视复数 zC 而误选 A 或 B，对 C，若改 zabi，则z 2bi，易忽略 b0 情况而误选z2对于有关数的命题，一定注意数的范围对于实数成立的命题，对于复数能否成立，不能仅凭感觉猜想，务必严格推证4(2013高考陕西卷)设 z1， z2 是复数，则下列命题中的假命题是( )A若|z 1z 2|0，则 1 2z zB若 z1 2，则 1z 2z zC若|z 1|z 2|，则 z1 1z 2 2z zD若|z 1| z2|，则 z z21 2解析：选 DA 中，|z 1z 2| 0，则 z1z 2，故 1 2 成立z zB 中，z 1 2，则 1z 2 成立z zC 中，|z 1|z 2|，则|z 1|2|z 2|2，即 z1 1z 2 2，C 正确D 不一定成立，如 z11 i，z 22，z z 3则|z 1|2| z2|，但 z 22 i，z 4，z z .21 3 2 21 2
