1、第三章数系的扩充与复数的引入,3.1数系的扩充和复数的概念,3.1.1数系的扩充和复数的概念,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,1.复数的有关概念(1)复数与复数集形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数所成的集合C叫做复数集.规定ii=-1.(2)复数的代数形式复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式.其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流1(1)复数a+bi的实部、虚部一定分别是a,b吗?,提示:不一定.只有当a,b都是实数时,a是复数的实部,b是复数的虚部.,(2
2、)若复数z=3-2i,则该复数的实部是,虚部是.,答案:3-2,目标导航,预习导引,1,2,3,2.复数相等的充要条件a+bi与c+di(a,b,c,dR)相等的充要条件是a=c且b=d.,预习交流2已知a,bR,a+i=-1-bi,则a=,b=.,答案:-1-1,目标导航,预习导引,1,2,3,3.复数的分类(1)对于复数a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,它为实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b0时,叫做虚数,当a=0且b0时,叫做纯虚数.(2)复数集内的包含关系,目标导航,预习导引,1,2,3,预习交流3(1)两个复数能比较大小吗?,提示:两个复数不一定能比较大小,只有当两个
3、复数全部为实数时,才能比较大小,否则不能比较大小,只能判断两个复数相等或不相等,(2)形如bi(bR)的复数一定是纯虚数吗?,提示:不一定是纯虚数.如当b=0时,bi=0为实数.,(3)复数z=(m2-1)+(m-1)i(mR)是实数,则m=.若是纯虚数,则m=.,答案:1-1,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,1.形如a+bi(a,bR)的数叫做复数.其中i叫做虚数单位,全体复数所组成的集合C叫做复数集.2.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,bR),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.3.对于复数z=a+bi(a,bR),当且仅当b=0时,它是
4、实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b0时,叫做虚数,当a=0且b0时,叫做纯虚数.,一、复数的有关概念,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,4.判定含有参变量的复数是实数,虚数,纯虚数利用定义.先看a,b的取值是aR,bR,还是aC,bC.若aR,bR,则a为实部,b为虚部;若aC,bC,则还应进一步进行运算(在后面学习)求得z的实部、虚部.再结合纯虚数应满足的两个条件,实部为0,虚部不为0进行进一步判断,特别是虚部不为0,易漏掉而出错.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,【例1】 已知复数z= +(a2-5a-6)i(aR),试求实数a分别取什么值时,z分别为:(1)实数;(2
5、)虚数;(3)纯虚数.,思路分析:根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念,利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.,解:(1)当z为实数时,当a=6时,z为实数.,(2)当z为虚数时,则有,a1且a6,当a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时,z为虚数.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,(3)当z为纯虚数时,则有,不存在实数a使z为纯虚数.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,已知mR,复数z=lg m+(m2-1)i,当m为何值时,(1)z为实数;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数.,解:(1)z为实数时,m需满足,解得m=1.,(2)z为
6、虚数时,m需满足,解得m0且m1.,(3)z为纯虚数时,m需满足,无解,即不存在m使z为纯虚数.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,二、复数相等的充要条件及应用,1.利用两个复数相等进行解题的依据是实部与虚部分别相等.2.在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,dR.忽略条件后,不能成立.因此在解决复数相等问题时,一定要把复数的实部与虚部分离出来,再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题来解决.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,【例2】 已知集合M=(a+3)+(b2-1)i,8,集合N=3i,(a2-1)+(b+2)i同时满足MNM,MN,求整数a,b.,思路分析
7、:依据集合关系,先确定集合元素满足的关系式,进而利用复数相等的充要条件,求出a,b.,解:依题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i或8=(a2-1)+(b+2)i,或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.,(1)当(a+3)+(b2-1)i=3i时,得,经检验,不合题意,舍去.,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,由(1)知,不合题意,舍去,(3)当(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i时,求得a,b均不为整数,故舍去.,(2)当8=(a2-1)+(b+2)i时,得,一,二,知识精要,典题例解,迁移应用,1.若复数cos +isin 和sin +icos
8、相等,则的值为.,解析:由题意知,cos =sin ,即tan =1,又在 内tan =1,故在R上由周期性知=k+ (kZ).,2.已知关于实数x,y的方程组,有实数解,求实数a,b的值.,把代入得5+4a-(6+b)i=9-8i且a,bR,案例探究,误区警示,易错辨析:对复数概念理解不透彻,当m为何实数时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是纯虚数?,思路分析:,案例探究,误区警示,错解:令2m2-5m-3=0,解得m=3或m=,所以当m=3或m= 时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i为纯虚数.,正解:复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是纯虚数,解得m=3.,案例探究,误区警示,这是知识性错误,对纯虚数定义理解不透彻.错解只考虑复数的实部,没有顾及复数的虚部.而纯虚数是指复数的实部为零而虚部不为零的复数,所以在考虑实部为零的同时也应该考虑复数的虚部不能为零.事实上,当m= 时,2m2-m-1=0,此时2m2-5m-3+(2m2-m-1)i=0是一个实数,不满足题目要求.,
