1、从算式到方程（提高） 【学习目标】1正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解； 3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程 一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1定义：含有未知数的等式叫做方程 . 要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数2方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：.它（ 或它 们）是方程中未知数的值；将它（或它们）分别代入方程
2、的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是3解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程 二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元） ，并且未知数的次数都是 1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释：（1） “元”是指未知数， “次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：首先是一个方程;其次是必须只含有一个未知数 ;未知数的指数是 1;分母中不含有未知数 （2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 a0，a,b 是已知数) . （3）一
3、元一次方程的最简形式是： axb（其中 a0，a,b 是已知数）.【高清课堂 ：从算式到方程 三、解方程的依据等式的性质】要点三、等式的性质1等式的概念：用符号“= ”来表示相等关系的式子叫做等式.2等式的性质：等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等.即：如果 ，那么 (c 为一个数或一个式子) . 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等.即：如果 ，那么 ；如果 ，那么 .要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质 1 中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，
4、那么变形后的等式不一定成立，如 x0 中，两边加上 得 x ，这个等式不成立;(3) 等式的性质 2 中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零【典型例题】类型一、方程的概念1下列各式，哪些是等式？哪些是方程？ 3a+4；x+2y8；5-32； ；y10； ；3y 2+y0；2a 2-3a2；12x83x 3a-2a【答案与解析】解：等式有： ；方程有：【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否 含有未知数2下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是( )A2x-13 (2，-1) B (3，-3)518xC
5、. (x-1)(x-2)0 (1,2) D2(y-2)-15 (5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边右边的是方程的解，若左边右边的，则不是方程的解【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解举一反三：【变式】 （2011 广东湛江）若 是关于 的方程 的解，则 的值为_.【答案】-1类型二、一元一次方程的相关概念3已知下列方程： ；x0； ；x+y0； ；0.2x4；2x+1-2113x623x32(x-1)其中一元
6、一次方程的个数是( )A2 B3 C4 D5【答案】B【解析】方程中未知数 x 的最高次数是 2，所以不是一元一次方程；方程中的分母含有未知数 x，所以它也不是；方程中含有两个未 知数，所以也不是一元一次方程；经化简后为-2-2，故它也不是一元一次方程；方程满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元” ， “次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：只含有一个未知数；经过整理未知数的最高次数是 1；含未知数的代数式必须是整式（即整式方程） 举一反三：【变式】(1)已知关于 x 的一
7、元一次方程 ，求得 m_32105mx(2)已知方程(m-4)x+2 2009 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的取值范围是_(3)若 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值为( )|15xA2 B-2 C2 D4【答案】(1) (2)m4 (3)B类型三、等式的性质4用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的(1)若 4a8a -5，则 4a+_8a(2)若 ，则 x_63(3) ，则 _xy12(4)ax+by-c ，则 ax- c_【答案与解析】解： (1) 5 ； 根据等式性质 1，等式两边同时加上 5(2) ； 根据等式性质 2，等
8、式两边同时除以-68(3) 2 ； 根据等式性质 l，等式两边都加上(1+3y) (4) by； 根据等式性质 l，等式两边都加上-by【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形举一反三：【变式】下面方程变形中， 错在哪里：（1）由 2+x=-4, 得 x=-4+2.（2）由 9x=-4, 得 .94x（3）由 5=x-3, 得 x=-3-5.（4）由 ，得 3x-2=5-4x+1.15(5)方程 2x=2y 两边都减去 x+y，得 2x-(x+y)=2y-(x+y), 即 x-y=-(x-y).方程 x-y=-(x-y)两边都除以
9、x-y, 得 1=-1.(6)由 ，得 3(3-7x)=2(2x+1)+2x.3721xx【答案】 （1）不正确.错在数 2 从方程的等号左边移到右边时没有变号.（2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.（3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由 5=x-3，得5+3=x, 即 x=5+3.（4）不正确，没有注意到分数 中的“分数线”也起着括 号的作用，因此当方程两415x边的各项都乘以 5 时，+1 没有变号.（5）不正确，错在第二步，方程两边都除以 x-y，由等式性质 2 要除以不为零的数.（6）不正确，错在 2x 没乘以公分母 6.类型四、等式
10、或方程的应用5 观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在和后面的横线上分别写 出相对应的等式(2)通过猜想，写出与第 n 个图形相对应的等式【答案与解析】解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第 n 个图形每条线上应该是 n 个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从 1 个点开始的，第 2 个图形增加 4 个点表示为 41+1，第 3 个图形又增加 4 个点，表示为 42+1，第 n 个图形共增加(n-1)个 4 个点，表示为 4(n-1)+1;等式的右边，把第一个图形看作 4 点重合为
11、一个点，表示为 41-3，第 2 个图形增加4 个点，表示为 42-3，第 3 个图形又增加 4 个点，表示为 43-3，第 n 个图形看作 n 个 4 个点少 3 个点，表示为 4n-3，所以有 4(n-1)+14n-3(1) 43+144-3 44+145-3 (2)4(n-1)+14n-3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系举一反三：【变式】 （2011 山东滨州）某商品原售价 289 元,经过连续两次降价后售价为 256 元,设平均每次降价的百分率为 x,则下面所列方程中正确的是( )A. B. 289156x2189xC.289(1-2x)=256 D.256(1-2x)=289【答案】A
