1、学业分层测评(十一) 抛物线的几何性质(建议用时：45 分钟)学业达标一、填空题1.若抛物线 y2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点 P 的坐标为 _.【解析】 由定义知 POPF，所以 xP ，y P .18 18 24【答案】 (18， 24)2.抛物线 y ax21 与直线 yx 相切，则 a 等于_.【解析】 由Error!消 y 得 ax2x10.直线 yx 与抛物线 yax 21 相切，方程 ax2 x10 有两相等实根 .判别式 (1) 24a0，a .14【答案】 143.已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，AF2，则BF_.【
2、解析】 y 24x ， p2，F(1,0)，又AF2，x A 2，x A12，x A1.即 ABx 轴，F 为 AB 的中点，p2BFAF2.【答案】 24.边长为 1 的等边三角形 OAB，O 为原点，AB x 轴，以 O 为顶点且过A、B 的抛物线方程为 _.【解析】 由题意可知，抛物线的对称轴为 x 轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且 A 为 x 轴上方的点，则易求 A ，所以 p，所(32，12) 14 3以 p ，312所以抛物线方程为 y2 x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为36y2 x.36【答案】 y 2 x365.设抛物线 y22x 与过焦点
3、的直线交于 A，B 两点，则 的值是OA OB _.【导学号：24830051】【解析】 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，可知 p1，则 (x 1，y 1)(x2，y 2)OA OB x 1x2y 1y2 p 2 .p24 34【答案】 346.设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0).直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的中点为(2,2) ，则直线 l 的方程为_.【解析】 抛物线的方程为 y24x ，设直线 l 与抛物线 C 的交点 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)，则有 x1x 2，Error!两式相减得，y y 4( x1x 2)
4、， 21 2y1 y2x1 x21，4y1 y2直线 l 的方程为 y2x 2，即 yx.【答案】 y x7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是_.【解析】 建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是 y22px (p0).A(40,30) 在抛物线上，30 22p40，p ，光源到反光镜顶点的距离为 5.625 454 p2 4542 458(cm).【答案】 5.625 cm 8.设 M(x0，y 0)为抛物线 C：x 28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、FM 为半径的圆和抛
5、物线 C 的准线相交，则 y0 的取值范围是_.【解析】 圆心到抛物线准线的距离为 p4，根据已知只要 FM4 即可.根据抛物线定义，FM y 0 2.由 y024，解得 y02，故 y0 的取值范围是(2， ).【答案】 (2，)二、解答题9.直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线 y22px (p0)上，且一直角边的方程是 y2x ，斜边长是 5，求此抛物线的方程 .【导学号：24830052】【解】 如图，设直角三角形为 AOB，直角顶点为 O，AO 边的方程为y2x，则 OB 边的方程为 y x.由Error!得 A 点坐标为 .12 (p2，p)由Error!得 B 点
6、坐标为(8 p，4p).AB 5， 5.p 4p2 (p2 8p)2p0 ，解得 p ，所求抛物线方程为 y2 x.21313 4131310.一辆卡车高 3 m，宽 1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍，若拱口宽为 a m，求使卡车通过的 a 的最小整数值.【解】 以隧道顶点为原点，拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系，如图所示.则点 B 的坐标为 ，设隧道所在抛物线方程为 x2my(m0)，(a2， a4)则 2m ，(a2) ( a4)ma，即抛物线方程为 x2ay .将(0.8， y)代入抛物线方程，得 0.82ay，即 y .0.82a欲使卡车通过隧
7、道，应有 y 3，即 3.( a4) a4 0.82a解得 a12.21 或 a0)的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 m、n，则 _.1m 1n【解析】 由焦点弦性质知 ，抛物线的标准方程为 x2 y(a0)，1PF 1FQ 2p 1a2p ，p ，1a 12a 4a，即 4a.1PF 1FQ 1m 1n【答案】 4a3.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A，B两点，AB12 ，P 为 C 的准线上的一点，则ABP 的面积为_.【解析】 不妨设抛物线方程为 y22px (p0)，依题意， lx 轴，
8、且焦点 F ，(p2，0)当 x 时， yp，AB2p12，p6，又点 P 到直线 AB 的距离为p2 p6，p2 p2故 SABP ABp 12636.12 12【答案】 364.如图 244，已知 AOB 的一个顶点为抛物线 y22x 的顶点 O，A 、B 两点都在抛物线上，且AOB90.图 244(1)证明直线 AB 必过一定点；(2)求AOB 面积的最小值.【解】 (1)证明 设 OA 所在直线的方程为 ykx(k0)，则直线 OB 的方程为 y x，1k由Error!解得 A 点的坐标为 .(2k2，2k)同理由Error!解得 B 点的坐标为(2k 2，2k).AB 所在直线的方程为 y2k (x2k 2)，化简并整理，得2k 2k2k2 2k2yx2.(1k k)不论实数 k 取任何不等于 0 的实数，当 x2 时，恒有 y0.故直线过定点P(2,0).(2)由于 AB 所在直线过定点 P(2,0)，所以可设 AB 所在直线的方程为xmy 2.由Error!消去 x 并整理得 y22my40.y 1y 2 2m，y 1y24.于是|y 1y 2| 2 .y1 y22 y1 y22 4y1y2 2m2 16 m2 4SAOB OP(|y1|y 2|) OP|y1y 2| 22 2 .12 12 12 m2 4 m2 4当 m0 时，AOB 的面积取得最小值为 4.
