1、源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 1 -学科教师辅导讲义学员学校： 年 级： 课时数：4学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 学科组长签名 组长备注课 题 向量的坐标运算及数量积授课时间： 备课时间： 教学目标1.掌握向量的概念2.掌握向量的坐标表示 3.掌握向量的运算4.掌握向量的数量积5.掌握向量数量积的坐标表示重点、难点1.对于向量的数值表示来分析向量之间的位置关系2.理解位置向量和单位向量3.掌握数量积的概念及应用4. 如何辨别负向量、相等向量、及平行向量5. 深刻理解向量在坐标上的表示6. 数形结合的方式，理解向量的数量积的含义7利用向量的数量积来求向量之间的夹
2、角考点及考试要求1.向量的概念2.向量的位置关系3.向量的运算4.向量的数量源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 2 -教学内容知识精要知识精要一、向量的概念1.定义：2.向量的大小（或称模）：3.平行向量：方向相同或相反的向量。4.相等向量：5.负向量：6.零向量: 7.单位向量：的单位向量 ，则 = （指 与 方向相同）b0b0|b0二、向量的坐标与运算1.基本单位向量： （ ）ji,1|jiji2.P(x,y)的位置向量是 =(x,y)（坐标形式）OP= （分量形式）jyix3.P1(x1,y1),P2(x2,y2)则 =(x2-x1,y2-y1)（终点坐标减去起点坐标）1
3、4. ,(),(yxbya（1） )2121（2） ,(kx（3） 21|ya（4） 22,xb5.定比分点：P 1(x1,y1),P2(x2,y2) （1）若 = （ ）则 P( , )P1x21y源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 3 -（2）P 1,P2的中点（ ， ）21x21y（3） 的重心（ ， ）ABC313216.数量积的概念与 夹角为 （ 是 与 夹角，一定要共起点， )，则abab0cos 2121yx7.向量平行和垂直， ，),(1yxa),(2yxb（1）平行： 平行 ，ab21xyba（2）垂直： cosb212108.运算律（1） （ ）0|2a0a
4、（2） =b（3） )()(b（4） =caca222 |cos|)( bb 9.（1）向量共线定理：两个向量 a(x 1、y 1)和 (x 2、y 2)（0）共线的充要条件是 （2）平面向量分解定理：是同一平面内不平行的向量，则有且只有一对 。使1e、 21、 21ea-这一平面内所有向量的一组基。 -线性组合系数。2、 21、源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 4 -名题精解例 1.已知 a=（1，2） ，b=（x,1） ，且 a+2b 与 2a-b 平行，则 x 等于（ ）A.1 B.2 C. D.3121变式训练：直线 l 的方向向量为（-1，2） ，直线 l 的倾斜角
5、为 ，则 tan2 等于( )A. B.- C. D.- 来源: 学科网3434443例 2已知向量 a=（m， ） ，b=（-2 ，-2） ，那么向量 a-b 的模取最小值时，实数 m 的取21值与 a-b 的模的最小值分别是( )A.- B.10985,4 29,54C.- D.7,3 0,3变式训练：若 a=（2，3） ，b=（-4 ，7） ，则 a 在 b 方向上的投影为（ ）A. B. C. D.35135665例 3已知 ab ，| a|=2，|b |=3，且 3a+2b 与 a- b 垂直， 则 等于（ ）A. B.- C. D.12223变式训练：已知 i，j 为互相垂直的单位
6、 向量，a= i-2j，b= i+j,且 a 与 b 夹角为锐角，则实数 取值范围为_.例 4已知平面上三点 A、B、C 满足| |=3，| |=4，| |=5，则 + +ABCABCA 的值等于( )CABA.25 B.24 C.-25 D.-24变式训练：若|a|=1，|b |=2，c=a-b，且 ca,则向量 a 与 b 的夹角为_.例 5在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已 知两点 A（3，1） 、B（-1，3） ，若点 C 满足= + ,其中 ，R,且 +=1，则点 C 的轨迹方程为( )CABA.3x+2y-11=0 B.2(x-1)+2(y-2)=5源于名校，成就所托创新三维学
7、习法，高效学习加速度- 5 -C.2x-y=0 D.x+2y-5=0例 6已知 a+b+c=0，|a|=1，|b|=2，| c|= ，则 ab+bc+ca 的值为（ ）2A.7 B. C.-7 D.-7 27例 7已知ABC 的面积为 ，| |=3，| |=5， 0，则4315ABCAB| |=_.BC例 8已知向量 a=（6，2） ，b=（-4 ，- ） ，直线 l 过点 A（3，-1）且与向量 a+2b 垂直，则21直线 l 的方程为_.例 9已知 =（2，1） ， =（1，7） ， =（ 5，1） ，设 M 是直线 OP 上一点（O 为坐标OPAOB原点）.（1）求使 取最小值时的 ；M
8、ABM（2）对（1）中求出的点 M，求AMB 的值.例 10已知 a=（cos,sin） ，b=(cos,sin)且 a，b 满足|ka+ b|= |a-kb|（k0）.3(1)用 k 表示 a，b 的数量积；（2）求 ab 的最小值及此时 a，b 的夹角 .源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 6 -例 11已知平面上三个向量 a，b，c 的模均为 1，它们相互之间的夹角均为 120.（1）求证：（a-b）c;（2）若|ka+ b+c|1(kR),求 k 的取值范围.源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 7 -例 12设 a，b 是两个不共线的非零向量， tR.(
9、1)若 =a， =tb, = (a+b),则当 t 为何值时， A、B、C 三点共线？OABC31（2）若|a|=|b |，且 a 与 b 的夹角为 60，则 t 为何值时， |a-tb|的值最小？例13已知向量 )2,(sina与 )cos,1(b互相垂直，其中 (0,)2（1）求 i和 co的值；（2）若 0si(),12，求 cs的值 源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 8 -例 14如图，已知ABC 中，|AC|=1,ABC= 23,BAC=,记 ()fABC。（1） 求 ()f关于 的表达式;（2） 求 的值域。例 15已知 都是非零向量，且不平行. ba、(1)设
10、， ， ，判断 A、B、D 三点是否共线?ABbaC82baD3源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 9 -(2)若 与 平行，求实数 m 的值bam例 16点 A(3,-2)，点 B 在 y 轴上，且 ，求 的坐标23ABAB例 17 =( )， =( )，其中（ ） ，求 的取值范围，ABsin,coOQcos1,sin0PQ源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 10 -并指出 取何值时， 达到最大值.PQ例 18 ， , 夹角为 ， = ， = ，1aba与 3xa2by3a（1）求 的值；（2） +xyxy源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度-
11、11 -例 19 =3， =2， 与 夹角为 ， = +5 ， 。当 m 为何值时， 与aba3cabbad3c相互垂直？d例 20设 =s， =t， （1） 、 夹角为 ，求 、 （2）若 s，t 0， =abab3baba，证明： （用数形结合和纯计算两种方法）b源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 12 -例 21 =(cos ,sin )， =(cos ,sin )，且满足 (k0)abbkak3(1)用 , 表示a(2)用 k 表示b(3)求 的最小值及此时 与 所成的角的大小b例 22已知平面向量 =( )， =（ ）a1,3b23，（1）证明： ；b（2）若存在不同
12、时为零的实数 k 和 t，使 ， ，且 ，试求函btax)3(2btakyyx源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 13 -数关系式 ；)(tfk（3）根据（2）结论，确定函数 的单调区间tfk)(巩固练习1已知 = ， =1， = ,则 与 的夹角是_ a36ba9ab2设 、 是两个单位向量，它们夹角为 ，则( ) =_1e2 6021e)3(21e3.把函数 图象沿着 =( )( )平移，得到函数_xycosb1,2kZk4.若 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，且 ， ，则 等于（ ）aABbDBEA. B. C. D. ba21a21b215.若 =“向东走 8
13、 km”， =“向北走 8 km”，则 =_， 的方向是_. baba6.已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 等于( )ab603A. B. C. D.471013源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 14 -7.若向量 与 夹角为 ， ， ，则向量 的模是（ ）ab604b)2(ba)(72aA. 2 B. 4 C. 6 D. 128若 =(2,3)， =( )，则 在 方向向上的投影为_.ab7,ab9.已知 =10， =12，且（ ）（ ）= ，则 与 的夹角是_ 35136ab10.已知 ， ，求实数 ，使得 与 垂直)2,1(a)2,(bkk11.已知 ， ，
14、若 ，求 的取值范围)cos,(ina )sin2,co(b,0ba12.已知 ， ， ，动点 P 满足)0,1(F),(2)0,1(A0321PAF(1)求动点 P 的轨迹方程(2)(有难度，比较难想到，提示：利用 )是否存在点 P，是 PA 成为21coscosAF的平分线？21F源于名校，成就所托创新三维学习法，高效学习加速度- 15 -易错点1.把平行于直线 的所有单位向量的起点平移到直线 上的点 ，则各向量的终点的集合是什l lP么？错解：是与点 的距离为一个单位长度的直线 上的一个点Pl分析：错在平行向量的理解上，平行向量指的是方向相同或相反的向量正解：是与点 的距离为一个单位长度的直线 上的两个点l2.判断命题“若 为单位向量， 为平面内任意一个向量，则 ”的真假0aa0a错解：真命题分析：单位向量有方向，模为 1，方向不同正解：真命题3. _a错解: 0分析：向量相加相减还是向量正解：a4.已知 ，点 B 的坐标为 ， ， ，求以点 D 为终点的位置向量)1,2(OA)3,1()4,1(OCCAB的坐标。错解：因为 ，所以以点 D 为终点的位置向量的坐标为)3,( )2,1(分析：位置向量的关键是起点为原点正解： ，因为 ，所以CDAB)1,2( )4,1(O)6,0(OC
