1、 1高一数学 函数练习题1、与函数 y=x 表示相同函数的是 则、值域不同，排除 C而评注 判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法则其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质2、求下列函数的定义域(5)设 f(x)的定义域为0，2，求函数 f(x+a)+f(x-a)(a0)的定义域定义域是空集，函数是虚设的函数(2)由函数式可得函数的定义域是x|x=-1，定义域是一个孤立的点(-1，0)的横坐标(3)x 2-40x2函数定义域为(-，-2)(-2，+2)(2，+)(4)从函数式可知，x 应满足的条件为2函数的定义域为(5)f(x)定义域为0，2所以 f(x
2、+a)+f(x-a)中 x 应满足又a0，若 2-aa，则 a1即 0a1 时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为x|ax2-a当 a1 时，x评注 求 f(x)的定义域就是求使函数 f(x)有意义的 x 的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等3、求下列函数的值域解 (1)由原式可化为(2)将函数变形，整理可得：2yx2-4yx+3y-5=0当 y=0 时，-5=0 不可能，故 y0xR=(-4y) 2-42y(3y-5)0即 y(y-5)0 解得 0y5而 y00y5故函数值域为(0，53此二次函数对称轴为 t=-1评注 求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子学习
3、时要分析函数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法4、(1)已知 f(x)=x2，g(x)为一次函数，且 y 随 x 值增大而增大若 fg(x)=4x2-20x+25，求 g(x)的解析式解：(1)g(x)为一次函数，且 y 随 x 值增大而增大故可设 g(x)=ax+b(a0)fg(x)=4x 2-20x+25(ax+b) 2=4x2-20x+25即：a 2x2+2abx+b2=4x2-20+25解得 a=2，b=-5故 g(x)=2x-5于是有 t 的象是 t2-1，即 f(t)=t2-1(t1)故 f(x)=x2-1(x1)f(x+1)=(x+1) 2-1=x2+2x(x0)f(x2
4、)=x4-1(x-1 或 x1)评注 对于(1)是用待定系数法求函数的解析式，要根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解之求函数解析式的常用方法还有拼凑法，代换法(如(2)，解方程组等5、如图 1-7，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为 a，边坡的倾角为 60(1)求横断面积 y 与底宽 x 的函数关系式；4评注 本题是有关函数的实际问题，其方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量之间的函数关系6、设 x0 时，f(x)=2，x0 时，f(x)=1 又解：当 0x1 时，x-10，x-20当 1x2 时，x-10，x-20当 x2 时，g(x)=2评注 分段函数关键是在
5、x 的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不同函数7、判断下列各式，哪个能确定 y 是 x 的函数？为什么？(1)x2y1 (2)xy 21 (3) 1解 (1)由 x2y1 得 y1x 2，它能确定 y 是 x 的函数()由 得 它 不 能 确 定 是 的 函 数 ， 因 为 对于任意的 xx|x1，其函数值不是唯一的(3)y yx 的 定 义 域 是 ， 所 以 它 不 能 确 定 是 的 函 数 1x8、下列各组式是否表示同一个函数，为什么？()f|(t)2xgx)2 ， ， 2(3)f(4) ， ， x112解 (1)中两式的定义域部是 R，对应法则相同，故两式为相同函数(2)、(3
6、)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数(4)中两式的定义域都是1x1，对应法则也相同，故两式子是相同函数 9、求下列函数的定义域：5(1)fx22(3)fx x14502|4(4x5)(1)0 1x|1423xx| 由 得 定 义 域 是 由 ， 得 ， 定 义 域 是 82323|解()00 |57x5x| 2由 得 且 ， 定 义 域 是 ， 且 (4)10 |x58x0x8)()()由 解 得 或 或 定 义 域 是 ， ， ，85454810、已知函数 f(x)的定义域是0，1，求下列函数的定义域：(1)yf2x(3)yf )()232a解 (1)01x1f|x由 ， 得 或
7、， 的 定 义 域 是 或 2x(2)01 0f(x)x|301由 得 的 定 义 域 是 2313a6当 时 ， 得 ， 定 义 域 为 ，当 时 ， 得 ， 的 定 义 域 为 ，若 函 数 的 定 义 域 是 一 切 实 数 a0xaf()0a0y【 例 5】 ax21求实数 a 的取值范围解 x00a4a222 ， R为所求 a 的取值范围12、求下列函数的值域：(1)y5x 21 ()y3 x4(3)yx 25x6，x1，1)(4)yx 25x6，x1，3(5)y 6 32x(9)y|x2|x1|解 (1)xR，5x 211，值域 y1(2)x43y33y562 ， ， 值 域 x4
8、521() ， ， 在 区 间 ， 上 为 减 函 数 ， 如 图 值 域 ， ，5214()y)214)yx ， ， 如 图 ， 当 时 ， 当 时 ， 值 域 ， 5214143.2xyxyminmax(7)y 82x3 41527(5)y5(x+)y|y 故 值 域 且 211251x()R(6)定义域为 R ， 由 ， 解 得 ，又 ， 解 得 ， 值 域 ，y3xx00y33)22112112x(7)解：定义域 x1 且 x2由 去 分 母 整 理 得 ：4253x(y4)x 23(y4)x(2y5)0 当 y40 时，方程有实根，0，即 9(y4) 24(y4)(2y5)0化简得
9、y220y640，得y4 或 y16当 y4 时，式不成立故值域为 y4 或 y16(8)x130xtt0解 法 一 由 ， 得 ， 设 ， 则 13413x 那 么 xy23t(t1)(0)2t24函数 y 在 t0 时为增函数(见图 223)8 故 所 求 函 数 值 域 为 解 法 二 1272413(t)3y()x2 ， 即 2y462(13)xy272(9)解：去掉绝对值符号，f(x)3() 21x 其图像如图 224 所示由图 224 可得值域 y3，3求函数值域的方法：1观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等2求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数
10、的图像性质结合对称轴的位置处理假如求函数 f(x)ax 2bxc(a0)，在给定区间m，n的值域(或最值)，分三种情况考虑：(i)xn25()fx(m)fxn(i)m()f()ami in当 对 称 轴 时 ， 如 图 甲 ， ， 当 对 称 轴 ， 时 ， 如 图 乙 ， ，ba ba2 2ff()(i)x25()fxf()fxmax main是 ， 两 值 较 大 者 当 对 称 轴 时 ， 如 图 丙 ， ， ba3y(c0)y分 离 常 数 法 ： 型 如 既 约 分 式 ， 的 值 域 为 ，axbcdac(如例 5)可做公式用94y(a)y x12判 别 式 法 ： 型 如 、 不
11、 同 为 零 ， 不 能 约 为型 如 可 将 函 数 解 析 式 转 化 为 关 于 的 二 次 方 程 ， 用 判 别 式axbcaxbcd122法求 y 的范围(如例 67)5a型 如 ， 可 利 用 换 元 法 或 配 方 法 将 原 函 数 化c为二次函数求值域但要注意中间量 t 的范围(如例 68)6分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来利用有界变量的范围，求函数 y 的值域(如例66)7图像法(如例 69)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解【 例 7】 (1)fx)24xf(1)(2)f0( 7已 知
12、 ， 求 已 知 求 2解 1xxf()2()4()42由 得 ， 2解 (2)f(7)10，ff(7)f(10)100说明 本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号 f(x)的意义求分段函数值时，要注意在定义域内进行【例 8】根据已知条件，求函数表达式(1)已知 f(x)3x 21，求f(x1)，f(x 2)(2)已知 f(x)3x 21，g(x)2x1，求 fg(x) (3)fx)6x7已 知 求 f(x)(4)已知 f(x)是二次函数且 f(0)2，f(x1)f(x)x1，求 f(x)(5)设周长为 a(a0)的等腰三角形，其腰长为 x，底边长为 y，试将 y 表示为 x 的函数，并求它
13、的定义域和值域(1)分析：本题相当于 xx1 时的函数值，用代入法可求得函数表达式解 f(x)3x 21f(x1)3(x1) 213x 26x2f(x2)3(x 2)213x 41(2)分析：函数 fg(x)表示将函数 f(x)中的 x 用 g(x)来代替而得到的解析式，仍用代入法求解解 由已知得 fg(x)3(2x1) 2112x 212x4(3)f(x)67x1f(x)分 析 ： 已 知 ， 可 将 右 端 化 为 关 于 的 表 达 式 ， 然 后 用 代 替 ， 就 可 求 得 表 达 式 这 种 方 法 叫 凑 配法(或观察法)解 法 一 f(1)x4(x1)2(1)2 10解 法
14、二() tx1t令 ， 则 ，x(t1) 2 代入原式有 f(t)(t1) 26(t1)7t 24t12 (t1)即 f(x)x 24x12 (x1)说明 解法二是用的换元法注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解解 设 f(x)ax 2bxc(a0)由 f(0)2，得 c2由 f(x1)f(x)x1，得恒等式 2ax(ab)x1abfx22 ， 比 较 等 式 两 边 的 同 次 幂 的 系 数 得 ， ， 故 所求 函 数 1233说明 待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握(5)解：2xya，ya2x 为所求函数式三角形任意两边之和大于第三边，得 2x2xa，又y0， ， 由 得 函 数 的 定 义 域 为 ，2x4a 2x0x()a42由 ， 得 ，即 得 函 数 的 值 域 为 ， aa422x0xy()说明 求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义
