1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十八)反 证 法(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.(2014山东高考)用反证法证明命题：“已知 a，b 为实数，则方程x2+ax+b=0 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程 x2+ax+b=0 没有实根B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根【解析】选 A.“方程 x2+ax+b=0 至少有一个实根”的反面是“方
2、程 x2+ax+b=0没有实根.”【补偿训练】(2015海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于 60时，应假设( )A.三个内角都不大于 60B.三个内角都大于 60C.三个内角至多有一个大于 60D.三个内角至多有两个大于 60【解析】选 B.三个内角至少有一个不大于 60，即有一个、两个或三个不大于 60，其反设为都大于 60，故 B 正确.2.命题“关于 x 的方程 ax=b(a0)的解是唯一的”的结论的否定是( )A.无解 B.两解C.至少两解 D.无解或至少两解【解析】选 D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”.3.实数 a，b，c 满足 a+2b+c=
3、2，则( )A.a，b，c 都是正数B.a，b，c 都大于 1C.a，b，c 都小于 2D.a，b，c 中至少有一个不小于【解析】选 D.假设 a，b，c 均小于 ，则 a+2b+c0，b0，c0，所以 + += + + 2+2+2=6.这与假设矛盾，所以假设不成立.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.(2015西安高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是 .【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.答案：“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否
4、定是 .【解析】 “最多”的反面是“最少” ，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.答案：“三角形中最少有两个内角是直角”7.(2015广州高二检测)用反证法证明命题：“已知 a，bN +，如果 ab 可被5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为 .【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证.命题“a，bN +，如果 ab 可被 5 整除，那么 a，b 中至少有 1 个能被 5 整除”的否定是“a，b 都不能被 5 整除”.答案：a，b 都不能被 5 整除8.(2015郑州高二检测)对于定义在实数集 R 上的函
5、数 f(x)，如果存在实数x0，使 f(x0)=x0，那么 x0叫做函数 f(x)的一个好点.已知函数 f(x)=x2+2ax+1不存在好点，那么 a 的取值范围是 .【解析】假设 f(x)=x2+2ax+1 存在好点，亦即方程 f(x)=x 有实数根，所以x2+(2a-1)x+1=0 有实数根，则 =(2a-1) 2-4=4a2-4a-30，解得 a- 或 a ，故当 f(x)不存在好点时，a 的取值范围是- 1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零.(2)若 a，b 为不相等的正实数且满足 f(a)=f(b)，求证 a+b0，n0，所以 m-11 矛盾，所以假设不成立，即 f(m)，
6、f(n)至少有一个不小于零.(2)由 f(a)=f(b)得 a3-a2=b3-b2，所以 a3-b3=a2-b2，所以(a-b)(a 2+ab+b2)=(a-b)(a+b)，因为 ab，所以 a2+ab+b2=a+b，所以(a+b) 2-(a+b)=ab2；(2)的假设正确.2.(2015衡水高二检测)设 a，b，c 是正数，P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR0”是“P，Q，R 同时大于零”的( )A.充分条件 B.必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件来源:学优高考网【解析】选 C.必要性显然，充分性：若 PQR0，则 P，Q，R 同时大于零或其中两个为负
7、，不妨设 P0，因为 P0 矛盾，所以 P，Q，R 同时大于零.【补偿训练】若ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不能确定【解析】选 B.分ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线 AD(点 D在 BC 上)，则ADB+ADC=，若ADB 为钝角，则ADC 为锐角.而ADCBAD，ADCABD，ABD 与ACD 不可能相似，与已知不符，只有当ADB=ADC=BAC= 时，才符合题意.二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设 .设全体质数为 p1，p
8、2，p n，令 p=p1p2pn+1.显然，p 不含因数 p1，p 2，p n.故 p 要么是质数，要么含有 的质因数.这表明，除质数 p1，p 2，p n之外，还有质数，因此原假设不成立.于是，质数有无限多个.【解析】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故 p 要么是质数，要么含有除 p1，p 2，p n之外的质因数.答案：质数只有有限多个 除 p1，p 2，p n之外4.(2015石家庄高二检测)设 a，b 是两个实数，给出下列条件：a+b=1；a+b=2；a+b2；a 2+b22.其中能推出“a，b 中至少有一个大于1”的条件是 (填序号).【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一
9、验证.【解析】若 a= ，b= ，则 a+b=1，但 a2，故不能推出.对于，即 a+b2，则 a，b 中至少有一个大于 1.反证法：假设 a1 且 b1，则 a+b2 与 a+b2 矛盾，因此假设不成立，故a，b 中至少有一个大于 1.答案：三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)来源:gkstk.Com5.(2015宜昌高二检测)已知函数 f(x)= ，如果数列a n满足a1=4，a n+1=f(an)，求证：当 n2 时，恒有 an0，所以当 n2 时，a n+12 时，a nan-1a2；而当 n=2 时，a 2= = = 3，来源:学优高考网 gkstk所以当 n2 时，a n3
10、；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当 n2 时，恒有 an3 成立.【一题多解】由 an+1=f(an)得 an+1= ，所以 =- + =-2 + ，所以 an+10 或 an+12.(1)若 an+10，则 an+103，所以结论“当 n2 时，恒有 an3”成立.(2)若 an+12，则当 n2 时，有 an+1-an= -an= = 0，所以 an+1a n，即数列a n在 n2 时单调递减.由 a2= = = 3，可知 ana 23，在 n2 时成立.综上，由(1)、(2)知：当 n2 时，恒有 an3 成立.6.先解答(1)，再通过类比解答(2)：(1)求证：tan = ；用反证法
11、证明：函数 f(x)=tanx 的最小正周期是 .(2)设 xR，a 为正常数，且 f(x+a)= ，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论.【解题指南】本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时，我们常用的思路是：由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法.【解析】(1)tan = = .假设 T 是函数 f(x)=tanx 的一个周期，且 0T，则对任意x +k，kZ，有 tan(x+T)=tanx，令 x=0 得tanT=0，而当 0T 时，tanT0 恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立.(2)由(1)可类比出函数 f(x)是周期函数，它的最小正周期是 4a.因为 f(x+2a)=f(x+a+a)= =- ，所以 f(x+4a)=f(x+2a)+2a=-=- =f(x).【拓展延伸】类比推理中的反证法(1)类比推理的一般步骤是：找出两类事物之间的相似性或一致性.用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).
