1、,第 二 十 六 讲. 全同粒子的交换不变性的后果(1) 两全同粒子的波函数若两全同粒子，它们的相互作用是变量可 分离型的，即,可以证明：若粒子自旋为 ，则 在 两粒子自旋交换时的对称性为 。若两 粒子都处于 态，而总角动量为 ，其交 换对称性为 ，则 应满足偶 (2) 由于全同粒子交换不变性，而使体系可 能处的状态数目不同.例：设有三个粒子处于（不同量子数单态）,A. 玻色子3个处 2个处 各处同一态 同一态 一个态B. 费米子1各处一个态,(3) 由于全同粒子交换不变性，而使体系的 几率分布不一样。(4) 由于全同粒子交换不变性，在散射时， 散射截面不一样。当两粒子散射时，粒子 散射到处，
2、即偏 转角 的散射几率为 ；粒子 1 如散 射到处，其偏转角为 ，散射几率为,A. 玻色子（自旋为0）散射几率为 （即 ， 分不出。由于， , 为偶）如自旋为1，非极化散射几率为,自旋 ， 自旋 自旋(5) 由于全同粒子交换不变性，使体系所处 的状态结构也不同元素周期表的规律正是由于电子为费米子, Pauli exclusion Principle 起作用的结果。,例：粒子处于一维谐振子势中。单粒子波 函数 相应能量为 对 个玻色子（ ），基态是所有粒 子都处于 态 , 每个粒子平均能量为,B. 费米子（自旋 ）自旋为 的费米子非极化的散射几率,但对 个无相互作用的费米子（ ）。基态是二个处于
3、 , 二个处于 ,N为偶,N为奇所以，每个粒子平均能量为,.定态微扰论这里讨论的是 与 无关设： ，要求其本征值和本征函数其中 很接近 ，且有解析解。而 是小量，为易于表达其大小的量级,（1）非简并能级的微扰论设： 的本征值和本征函数为 ，构成一正交，归一完备组。现求解即,求 ， 的步骤是通过逐级逼近来求 精确解，即将 ， 对 展开（即对 矩阵元展开）。从 ， 出发求 ， 。当 ，即 ， ，非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简 并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响 处理的结果）。,A. 一级微扰近似以 标积 以 （ ）标积,因此，在一级近似下,(归一化 准至一级)所以，在 这条能级为非
4、简并时，其能 量的一级修正恰等于微扰项 在无微扰状态 的平均值。,例1：考虑一个粒子在位势,准至一级修正的能量为,从这可以看到微扰论的应用限度。如 准到一级，可以看出， 完全是分立 能级。但事实上，当 时，粒子是自由的。因此，能级是连续的，可 取任何值。所以，要一级修正比较精确，则必须,即 经典和量子的差别: 经典粒子不能运动到区域中去。而在量子力学中，粒子有一定几率在,区域中。在这区域中，有 所以粒子受到的排斥力比处于 纯谐振子势中的粒子小。以至于，,事实上，由于 由 定理可证得 例2求氦原子的基态能量,设： 的基态为,即,于是以 方向为 Z 方向 ,所以,由于,所以，准至一级的能量为 B二
5、级微扰：当微扰较大时，或一级微 扰为零时，则二级微扰就变得重要了。由 项得,以 进行标积得,以 进行标积得,所以准至二级的能量和波函数,由准至二级的归一化波函数为,显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选 取 ， ，而且要求,这样取一级近似才可以满足精度要求。 例：刚体转子的斯塔克效应（Stark Effect）将体系置于外电场中，能级发生移动的现 象称为Stark Effect。设：转子的角动量为 ，电偶极为 ， 当置于均匀外电场中（取电场方向为z）,显然（有 重简并）由于,因此， 运算到 的本征态上，不改变其本征值 由递推关系,于是所以，尽管每一条能级 有 重简并。但是，对某一态 有相互作用
6、的是 那些同 能级。因此，如考虑未微扰的能级态 为 ，则只需要考虑 ， 。而 （ ）对 和 都没有任何影响。所 以， 可看作“没有简并”的态。从而可用非简并,微扰论来处理。,由这可看出，简并部分解除（同 不同 的能量不同，但 相同） 和 态仍 简并，即 重简并 条 （ 不简并，而其他的为二重简并）。,简并的解除，实际上是 的对称性被破 坏。如没有完全解除，那实际上对称性没有完全 被破坏。（2）碱金属光谱的双线结构和反常塞曼效应A碱金属光谱的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来自原 子核和其他电子提供的屏蔽库仑场作用， ， 价电子的哈密顿量为,取选力学量完全集 则 能量 与 无关。,所以,
7、 的本征值及径向波函数 是与 无 关。,（对 和 是简并的）一级微扰,对所以，一级微扰修正与 有关,前面已讨论过 因此，这即观测到的纳光谱的双线结构的原因。B反常塞曼效应：在较强磁场中( )， 原子光谱线分裂的现象（一般分为三条）， 称为正常塞曼效应。即使考虑自旋（而自旋轨 道耦合和 项可忽）也同样（因 ）。,当磁场较弱时， 与 引起的附 加能量可比较时，就不能忽略自旋轨道相互作 用项而仅考虑 项。这时，哈密顿量（在均匀外磁场下）取 方向为 方向，,则(忽略 )这时 （简并度为 ，即对 简并）选 ,是磁场为零时的能量本征方程的本征值。当置入弱磁场（均匀，取 方向），而引 起能级移动，在一级微扰下,所以，当放入弱磁场中，能级由 根据偶极跃迁选择定则, 有四条光谱线,所以，这时每条能谱线的多重态是偶数；多 重态的能级间距随不同能级而不同；而光谱线 也是偶数条。,（3）简并能级的微扰论当体系的一些能级是简并时，那考虑这些 能级所受的扰动影响时，就不一定能利用上述 公式，因这时初态不能确定处于那一个简并态 上，而一级波函数修正 当 （即与 简并的态）则分母为零。,
