1、 (时间：120 分钟；满分：160 分)一、填空题(本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分把答案填在题中横线上)1已知命题 p：若实数 x，y 满足 x2y 20，则 x，y 全为 0；命题 q：若 ab，则 b 0b 时，1a1b0， ，q 假 假，真1a 1b 1a1b答案：2已知命题 p：x 0R ，sinx 01，则 p 为_解析：存在性命题的否定是全称命题答案：xR，sin x13双曲线的渐近线为 y x，且过点 M(2，1)，则双曲线的方程为_22解析：依题设双曲线为 y 2 (0) ，将点 M 代入，得 1.x22答案： y 21x224下列命题的否定是真命题的有_
2、个p：xR，x 2x 0；14q：所有的正方形都是菱形；r：x 0R， x 2x 020；20s：至少有一个实数 x，使 x210.解析：因为 p、q 均为真命题，所以 p、 q 都是假命题又因为 r、s 均为假命题，所以 r、 s 都是真命题答案：25如图所示，正方体 ABCDABC D中，M 是 AB 的中点，则sin ， 的值是_DB CM 解析：以 D 为原点，DA，DC，DD所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系( 图略) ，设正方体的棱长为 1，B(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1 ，0)，12所以 (1,1,1) ， (1， ，0)DB CM 12故 co
3、s ， DB CM ，11 1 12 1012 12 12 12 122 02 1515则 sin ， .DB CM 21015答案：210156已知 M 是抛物线 x28y 上一点，若以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆恰好过抛物线顶点，则该圆的周长是_解析：由抛物线定义可知，圆 M 过焦点 F(0,2)，故其圆心 M 又在直线 y1 上，所以圆心坐标为 M(2 ，1) ，半径 r3，圆 M 的周长为 6.2答案：67若椭圆 1(ab0)的离心率为 ，则双曲线 1 的离心率为x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2_解析：椭圆的离心率 e1 ，所以 ，故双曲线的离心率 e2 1 b2a2
4、 32 b2a2 14 .1 b2a2 52答案：528已知正四棱锥 PABCD 的体积为 12，底面边长为 2 ，则侧面与底面所成二面角3的大小为_解析：设正四棱锥底面中心为 O，取 AB 的中点 E，连结 OE、PE、PO(图略) ，则PEO 为所求二面角的平面角，由已知可得PO3， OE ，tan PEO ，PEO60.3POOE 3答案：609已知点 A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，5) ，若 P(x，1,3)在平面 ABC 内，则 x 的值为_解析：由已知设 a b c ，OP OA OB OC 故有Error!，解得Error!.答案：1110给出以下结论：“x0
5、或 y0”是“x 2y 20”的充要条件；qp 为真命题是“pq”为真命题的必要条件；命题“a、b 都是偶数，则 ab 是偶数”的否命题是“a、b 都是偶数，则 ab 不是偶数” 其中正确结论的序号是_答案：11已知抛物线 y2ax 与直线 y1x 有惟一公共点，则该抛物线的焦点到准线的距离为_解析：将 x1y 代入抛物线方程，得 y2aya0，依题意有 a 24a0，所以a4，抛物线方程为 y24x.故焦点到准线距离为：p2.答案：212已知椭圆 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F 2(c,0)若椭圆上存x2a2 y2b2在点 P 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为_asin
6、 PF1F2 csin PF2F1解析：由 1，又|PF 1|PF 2|2a，asinPF1F2 csinPF2F1 sinPF1F2sinPF2F1 ac |PF2|PF1|PF 1| ，|PF 2| .2aca c 2a2a c又|PF 2| PF1|0，e 22e10 ， 10，m2.即 m 的取值范围是(，2)(2 ，)(2)由已知得，p 为真命题时，m ，即 Am|m 12 12q 为真命题时，m 240 ，2m2，即 Bm|2m2 若“pq”为真命题， “pq”为假命题，则 p 与 q 一真一假mA RB m|m2或 mB RA m|2m 12故 m 的取值范围是2， (2 ，)1
7、218(本小题满分 16 分)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC BCCC 12，AC BC，点 D 是 AB 的中点(1)求证：AC 1平面 CDB1；(2)求点 B 到平面 CDB1 的距离；(3)求二面角 BB 1CD 的余弦值解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则 A(2,0,0)，B(0,2,0) ，C(0,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)，D (1,1,0)设平面 CDB1 的法向量为 n( x，y，z)由Error!，得Error!.取 z1，得 n (1，1,1)又 (2,0,2)，AC1 n2020，AC1 n.AC1 AC 1平面 C
8、DB1，AC 1平面 CDB1.(2)设 B 到平面 CDB1 的距离为 h，则h .|nCB |n| 23 233(3)显然平面 BCB1 的一个法向量为 (2,0,0)，CA cosn， ，CA nCA |n|CA | 232 33二面角 BB 1CD 的余弦值为 .3319(本小题满分 16 分)在ABC 中，已知 B(3,0) ，C (3,0)，D 为直线 BC 上的一个点， 0， ABC 的垂心为 H，且 3 .AD BC AH HD (1)求点 H 的轨迹 M 的方程；(2)若过点 C 且斜率为 的直线与轨迹 M 交于点 P，设 Q(t,0)点是 x 轴上任意一点，12求当CPQ
9、为锐角三角形时 t 的取值范围解：(1)设 H(x，y )是曲线上任意一点 0， AD BC.AD BC 点 H 在线段 AD 上，又 3 ，AH HD 4 ， A 点的坐标为( x,4y)AD HD H 为ABC 的垂心，所以 ， 0.AC BH AC BH (3x， 4y)， (x 3，y) ，AC BH (3x ，4y)(x 3，y)0.化简整理得 1.x29 4y29所以 H 点的轨迹方程为 1(y0) x29 4y29(2)过点 C 且斜率为 的直线方程为 y (x3)，12 12由Error!，得 P(0， )32要使CPQ 为锐角三角形，则三个内角均为锐角，所以 0， 0， 0P
10、Q PC QP QC CP CQ 三式同时成立Error!，解得 t 的取值范围为( ，0)3420(本小题满分 16 分)已知椭圆 E 的方程是 1(ab0)，其左顶点为(2,0)，x2a2 y2b2离心率 e .12(1)求椭圆 E 的方程；(2)已知倾斜角为 45且过右焦点的直线 l 交椭圆 E 于 A、B 两点，若椭圆上存在一点P，使 ( )，试求 的值OP OA OB 解：(1)由已知得 a2，e ，c1，b ，ca 12 3故椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)得右焦点 F(1,0)，因此直线 l 的方程为 yx1.代入椭圆方程并整理得 7x28x80.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)则 x1x 2 ，87y 1y 2(x 1 1)(x 21)(x 1 x2)2 .67 ( )OP OA OB (x 1x 2，y 1y 2)( ， )，87 67P 点坐标为( ， )，87 67代入椭圆方程得： 1.14 64249 13 36249 2 ， .74 72高:考试 题-库
