1、,处于 S 态的氢原子,S 态的氢原子束流，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。,（一）Stern-Gerlach 实验,第八章 自旋,1 电子的自旋,一、电子的自旋的试验基础,钠原子光谱中的一条亮黄线 5893，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。,其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释,（二）光谱线精细结构,乌伦贝克（Uhlenbeck） 和哥德斯密特（ Goudsmit） 1925年根据上述现象提出了电子自旋假设,（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向
2、上的投影只能取两个数值：,（2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：,自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：,Bohr 磁子,二、电子自旋假设,（1）电子自旋回转磁比率,我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：,（2）电子轨道回转磁比率,则，轨道回转磁比率为：,可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍,三、回转磁比率,自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。 自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别,通常的力学量都可以表示为坐标和动量的函数,而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关，它是电子内部状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度（第四个变
3、量）。,与其他力学量一样，自旋角动量 也是用一个算符描写，记为,自旋角动量 轨道角动量 异同点,与坐标、动量无关,不适用,同是角动量,满足同样的角动量对易关系,（一）自旋算符,2 电子的自旋算符和自旋波函数,由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 /2 两个值,算符的本征值是,仿照,自旋量子数 s 只有一个数值,因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：,写成列矩阵,若已知电子处于Sz = /2或Sz = -/2的自旋态，则波函数可分别写为：,（二）含自旋的状态波函数,（1） SZ
4、的矩阵形式,电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示成了21 的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是 22 矩阵。,因为1/2 描写的态，SZ有确定值 /2，所以1/2 是 SZ 的本征态，本征值为 /2，即有：,矩阵形式,同理对1/2 处理，有,最后得 SZ 的矩阵形式,SZ 是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值/2。,（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵,（2）Pauli 算符,1. Pauli 算符的引进,因为Sx, Sy, Sz的本征值都是/2， 所以x,y,z的本征值都是1； x2,y2,Z2 的本征值都是1 。,即：,2. 反对易关系,证：,左
5、乘y,右乘y,同理可证:x, y 分量的反对易关系亦成立. 证毕,或,由对易关系和反对易关系还可以得到关于 Pauli 算符的如下非常有用性质：,y2=1,3. Pauli算符的矩阵形式,根据定义,求 Pauli 算符的 其他两个分量,令,X 简化为：,令：c = expi (为实），则,由力学量算符厄密性,得：b = c* (或c = b*),x2 = I,求y 的矩阵形式,从自旋算符与 Pauli 矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示：,写成矩阵形式,（1）归一化,波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即,（2）几率密度,表示 t 时刻在 r 点附近 单位体积内找到电子的几率
6、,表示 t 时刻 r 点处 单位体积内找到自旋 Sz= /2的电子的几率,表示 t 时刻 r 点处单位 体积内找到 自旋 Sz = /2 的电子的几率,在全空间找到Sz = /2的电子的几率,在全空间找到 Sz = /2 的电子的几率,（四）含自旋波函数的归一化和几率密度,波函数,这是因为，通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的，所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是，当这种相互作用很小时，可以将其忽略，则1 ,2 对 (x, y, z) 的依赖一样，即函数形式是相同的。此时可以写成如下形式：,求：自旋波函数(Sz),SZ 的本征方程,令,一般情况下，1 2，二者对(x, y, z)的依赖是不一样的。,（五）自旋波函数,因为 Sz 是 2 2 矩阵，所以在 S2, Sz 为对角矩阵的表象内，1/2, -1/2 都应是 21 的列矩阵。,代入本征方程得：,由归一化条件确定a1,所以,二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交,引进自旋后，任一自旋算符的函数 G 在 Sz 表象表示为22矩阵,算符 G 在任意态中对自旋求平均的平均值,算符 G 在 态中对坐标和自旋同时求平均的平均值是：,（六）力学量平均值,
