1、【解析版】浙江省慈溪市、余姚市 2015 届高三上学期期中联考 数学理试题【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体， ，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、向量、导数、函数方程，简单的线性规划、数列、三角函数的性质等；考查学生解决实际问题的能力。 一选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）【题文】1已知 ，且 ，则(,)23sintanA B C D3444343【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2【答案解析
2、】B 由 得 cos =- 则 故选 B。3sin5(,)25tan【思路点拨】根据同角三角函数求出余弦，再求出正切。【题文】2设全集 , ， ，则 UR1,AxxR1,234UCAA B C D434, 1,234【知识点】集合及其运算 A1【答案解析】B 由 则 ，12,xx1UAx，所以 故选 B。1,234UCA34【思路点拨】先求出 A 的补集，再求结果。【题文】3已知 ，且 ,则,abRbA B C D21alg()0ab1()ab【知识点】不等式的概念与性质 E1【答案解析】D 由 0ab 排除 A 和 B,当 0a-b1 时排除 C，故选 D.【思路点拨】利用排除法找出反例求结
3、果。【题文】4在 中，设三边 的中点分别为 ，则BC,B,EFDCFAA B C D12DA12【知识点】单元综合 F4【答案解析】A 如图，= ( )， = ( + )，所以 故选 AEC12ABF12CBAECFABD【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则即可求出 = ( )， 12C= ( + )，所以 FED【题文】5在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题 p是“甲射中目标” ， q是“乙射中目标 ”，则命题 “至少有一位运动员没有射中目标”可表示为A. p B. pq C. pq D. q【知识点】命题及其关系 A2【答案解析】B 命题p ：甲没射中目标，q ：乙没射
4、中目标；“至少有一位运动员没有射中目标” 就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”；所以可表示为（p）（q ） 故选 B【思路点拨】 “至少一位运动员没有射中目标 ”就是指“甲没射中目标，或乙没有射中目标”，而p 为：甲没射中目标，q 为：乙没射中目标，所以便将命题“至少一位运动员没射中目标”表示为：（p ）（q） 【题文】6函数 的图象2lgxyA关于 轴对称 B关于原点对称 C关于直线 对称 D关于 轴对称x yxy【知识点】函数的奇偶性 B4【答案解析】B ，2lxy其定义域为（-，-2）（2 ，+ ），f（-x）=x 2lg =-x2lg =-f（x），函x数为奇函数，函数的图象关于原点对
5、称，故选：B【思路点拨】先判断出函数为奇函数，再根据奇函数的图象的性质得到答案【题文】7将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到一个关于sin(2)yxx8轴对称的图象，则 的一个可能取值为yA B C D 343844【知识点】函数 的图象与性质 C4sin()yAx【答案解析】C 函数 y=sin（2x+）的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到：f (x)8=sin(2x+ +)由于函数图象关于 y 轴对称，所以 +=k+ （kZ ）当 k=0 时，=442故选：C4【思路点拨】首先对函数进行平移变换，再利用对称性求解【题文】8设函数 的零点为 ， 的零点为 ，若()fx1()42x
6、g2x，则 可以是120.5xA B C D2()1fx()xfe21()ln)fx4【知识点】函数与方程 B9【答案解析】D 选项 A：x 1=1，选项 B：x 1=0，选项 C：x 1= 或- ，32选项 D：x 1= ；g （1）=4+2-2 0 ，g（0）=1-20，g（ ）=2+1-20，4g（ ）= + -20，则 x2（ ， ），故选 D24【思路点拨】首先确定选项 A、B 、C 、D 中的零点为 x1，从而利用二分法可求得x2（ ， ），从而得到答案14【题文】9已知 为等比数列，且 ， 则na472a568a10aA5 B C7 D 57【知识点】等比数列及等比数列前 n 项
7、和 D3【答案解析】D a 4+a7=2，由等比数列的性质可得，a 5a6=a4a7=-8a 4=4，a 7=-2 或 a4=-2，a 7=4,当 a4=4，a 7=-2 时，q 3=- ，12a 1=-8，a 10=1，a 1+a10=-7 当 a4=-2，a 7=4 时，q 3=-2，则 a10=-8，a 1=1a 1+a10=-7 综上可得，a 1+a10=-7 故选 D【思路点拨】由 a4+a7=2，及 a5a6=a4a7=-8 可求 a4，a 7，进而可求公比 q，代入等比数列的通项可求 a1，a 10，即可【题文】10已知函数 若三个正实数 互不相等，且满足lg,01,()2xf1
8、23,x，则 的取值范围是123()()fxffx13xA B C D0,4(0,)(5,6)(1,0)【知识点】函数与方程 B9【答案解析】B 作出函数 f（ x）的图象如图，不妨设 x1x 2 x3，则-lgx 1=lgx2=- x3+6（0 ，1）x 1x2=1，0- x3+61 则 x1x2x3=x3（10，12）故选：B【思路点拨】画出函数的图象，根据 f（x 1）=f（x 2）=f（x 3） ，不妨不妨设 x1x 2x 3，求出 x1x2x3 的范围即可【题文】二填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分把答案填在答卷中相应的位置）【题文】11 的值等于 3log【知
9、识点】对数 B7【答案解析】 = =123l123log【思路点拨】根据对数的性质求解。【题文】12函数 的最小正周期为 sin()yx【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】 数 y=3sin(3x+ )-3，其最小正周期 T= ，故答案为： 2 2323【思路点拨】利用正弦函数的周期公式即可求得答案【题文】13若函数 是幂函数，且满足 ，则 的值等于 ()f (4)ff1()f【知识点】幂函数 B8【答案解析】 设 f（x）=x a，又 f（4 ）=3f （2），4 a=32a，13解得：a=log 23，f（ ）=( )log23= 故答案为： 113【思路点拨】先设 f（x）=
10、x a 代入题设，求出 a 的值，求出函数关系式把 代入函数关12系式即可【题文】14若函数 满足： ，则 ()f 12()3fxx()f【知识点】函数及其表示 B1【答案解析】2 x- 函数 f（x）满足：2 f(x)+f( )=3x， 替换表达式中的 x，得到：112f( )+f(x)= ，两个方程消去 f（ ），可得 f（x）=2 x- 故答案为：2 x- 131 1【思路点拨】直接利用 替换表达式中的 x，得到方程，然后求解 f（x）即可x【题文】15在 中， “ ”是“ ” 的条件ABCsiniBA【知识点】充分条件、必要条件 A2【答案解析】充要条件 若 sinAsinB 成立，由
11、正弦定理 =2R，所以siniabABab，所以 AB 反之，若 AB 成立，所以 ab，因为 a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinAsinB，所以 sinAsinB 是 AB 的充要条件故答案为：充要条件【思路点拨】由正弦定理知 ，由 sinAsinB，知 ab ，所以 AB，反之亦sini然，故可得结论【题文】16已知非零实数 满足等式： ，则 16sinco【知识点】基本不等式 E62ab【答案解析】 16+ =16sincos16+ =8sin2141sin2=2+ |2|+| |2 =1sin2=1= 故答案为： 88414【思路点拨】原式可化简为 sin2=2+ ，由|2
12、|+| |2 =1 可知11828sin2=1 故可求得 【题文】17已知约束条件 若目标函数 恰好在点340,218,xy(0)zxay处取到最大值，则 的取值范围为 (2,)a【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案解析】( ， +) 作出不等式对应的平面区域，13当 a=0 时，z=x，即 x=z，此时不成立由 z=x+ay 得 y=- x+1az要使目标函数 z=x+ay（a0）仅在点（2，2 ）处取得最大值，则阴影部分区域在直线 y=- x+ 的下方，即目标函数的斜率 k=- ，满足 kk AC，即- -3，1az 1a1aa0，a ，即 a 的取值范围为( ， +)，故答案为：(
13、， +)333【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出 a 的取值范围【题文】三解答题（本大题共 5 小题，共 72 分.解答写出文字说明证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中相应的位置上）【题文】18 （本小题满分 14 分）已知向量 ，其中(3sin,)(cos,in)xxab,2x（1 ）若 ，求 的值；2abx（2 ）设函数 ，求 的值域()f()f【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案解析】 （1） （ 2）3x1,（1 ）因为 ，所以 所以(sinco0)xab22(3sinco)4xab即 ,因为 ，所以 3sincox16,
14、x（2）因为 21cs2()3sincosisinxfxab， （1sin62x51,6,x所以当 即 时， 5xma()f当 即 时， , 所以 的值域为 。 32xin2()fx1,2【思路点拨】先利用向量的关系化简求出 x 值，再根据单调性最值。【题文】19 （本小题满分 14 分）已知关于 的不等式 的解集为230ax1xb或（1 ）求 的值；,a（2 ）当 时，解关于 的不等式 （用 表示） cRx2()0axcbxc【知识点】一元二次不等式的解法 E3【答案解析】 （1） （ 2）当 时，所求不等式的解集为,.ab2x当 时，所求不等式的解集为2c2xc当 时，所求不等式的解集为
15、。（1 ）已知得 是方程 的两个实数根，且 ,b230a1,0ba所以 即 3,21ba1,.（2）由（1）得原不等式可化为 即 2()0xc(2)0xc所以当 时，所求不等式的解集为cx当 时，所求不等式的解集为2c当 时，所求不等式的解集为 。 2【思路点拨】根据一元二次不等式求出 a,b 的值，讨论参数求出解集。【题文】20 （本小题满分 14 分）在 中，内角 的对应边分别为 ，已ABC, ,abc知sincosaBbC（1 ）求 的值；A（2 ）若 ，求 面积的最大值2【知识点】解三角形 C8【答案解析】 （1） （2）34AC1（1 ）由正弦定理得到： sinisincosBC因为
16、在三角形中， ()()所以 sin()sicosinsisincoBCBCBC所以 co因为 ，所以 即 (0,)iita1,(0,)所以 即 。 43A（2）由余弦定理得到： ,所以22cosbaB2ac所以 即2acc2当且仅当 即 时“=”成立 而 ，所以 面积的最大值为 。1sin24ABCSacacABC12【思路点拨】根据正弦定理余弦定理求出边角，利用均值不等式求出最值。【题文】21 （本小题满分 15 分）已知函数 ， 为常数2()fxa（1 ）当 时，求函数 在 上的最小值和最大值；2a()fx0,2（2 ）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围()fx,【知识点】函数的单
17、调性与最值 B3【答案解析】 （1）当 时， 最大值为 ，最小,2maxmin()6,()1ff0,x6值为 1。 （2） ,0（1 ）当 时， 所以a22 ,()11xfx2()3,1x当 时，,2xmaxmin6,()ff当 时， 所以 在 上的最大值为 ，最小值为01i()21()fx0,261。 （2）因为2,()1xaf而 在 上单调递增22(),14,axx()f0,)所以当 时， 必单调递增，得 即 1x()fx12a当 时， 亦必单调递增，得 即 00且 恒成立11aa故所求实数 的取值范围为 。 2,【思路点拨】先讨论去绝对值根据单调性求出最值，根据二次函数的单调性求出 a
18、值。【题文】22 （本小题满分 15 分）设数列 的前 项和为 ，且 ，nanS112,naSN（1 ）求 ；34a（2 ）求数列 的通项公式；n（3 ）若数列 满足： ，试证明：当 时，必有nb2111,2nnbanN ； 21()nn【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3【答案解析】 （1） （2） （3 ）略234,aa()n*N（1 ）由 分别代入递推式即可得 ,n34,a（2）因为 ，11,()nnSS所以 即 ， 1 1()22nnnnaa1()na1所以 ， 。3241134nAA()n*N（3）由（2）得211 11, 02()nn nbb b所以 是正项单调递增数列 nb当 时， N211 2()()nnnbb所以 ， 即 。112()nnb12()n21()n由得，当 时， ， ， ，21b23b21nb所以 2212311()()()nb即 所以221n1 13()nbn()()()3n所以 ， 即 121nb1nb(2)又当 ， 故当 时， 。nNn【思路点拨】用代入法求出，根据等比数列求出通项公式，利用求和比较证明。
