1、1数列解题方法1、基础知识：数列：1数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 2数列的项的性质： 有序性 ； 确定性 ； 可重复性 3数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成 a1，a 2，a 3，a n， （） ，简记作 an 其中 an 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法4数列的一般性质：单调性 ；周期性 5数列的分类：按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；按相邻项的大小关系分：递增数列
2、、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列6数列的通项公式：如果数列a n的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的函数关系可以用一个公式 a =f（n） （nN +或其有限子集1 ，2，3，n） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项等差数列等差
3、数列的定义等差数列的通项等差数列的性质等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的定义等比数列的通项等比数列的性质等比数列的前 n 项和2项公式在形式上未必唯一7数列的递推公式：如果已知数列a n的第一项（或前几项） ，且任一项 an 与它的前一项 an-1（或前几项 an-1，a n-2，）间关系可以用一个公式 an=f（a ） （n=2，3，） 1（或 an=f（a ,a ）(n=3，4，5，)，）来表示，那么这个公式叫做这个数列2的 递推公式 8数列的求和公式：设 Sn 表示数列a n和前 n 项和，即 Sn= =a1+a2+an，如果 Sni与项数 n 之间的函数关系可以用一个公式 Sn=
4、 f（n） （n=1，2，3，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 9通项公式与求和公式的关系：通项公式 an 与求和公式 Sn 的关系可表示为： 1()n2naS等差数列与等比数列：等差数列 等比数列文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义1nad1(0)naq分类递增数列： 0d递减数列： 常数数列： 递增数列： 11aaq， 或 ，递减数列： 00q， 或 ，摆动
5、数列：常数数列： 1通项1()()n madpnqad其中 1, （1nnmnaqaq0）前n项和21()()2nSpq其中 1,dpqa1()nnSqa中项 ,abcbc成 等 差 的 充 要 条 件 :2,abcbac成 等 比 的 必 要 不 充 分 条 件 ：3主要性质等和性：等差数列 na若 则mpqmnpqa推论：若 则22nknkna12132a即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列 na若 则mpqmnpqa推论：若 则22()2()nknknaa12132即：首尾颠倒相乘，则积相等其它性质1、等差数列中连续 项的和，组成的新数列m是等差数列。即：等差，公差为232,mss
6、s则有d()m2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： （下标成等差数列）14710,a3、 等差，则 ， ，nb2na21n， 也等差。knpq4、等差数列 的通项公式是 的一次函数，即： ( )nadc0等差数列 的前 项和公式是一个没有常n数项的 的二次函数，即： ( )2nSAB0d5、项数为奇数 的等差数列有：1s奇偶 nsa奇 偶 中21()nn项数为偶数 的等差数列有：，1nsa奇偶 sd偶 奇1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即： 等232,mmss比，公比为 。q2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如： （下标成等差数列
7、）14710,a3、 等比，则 ， ，nb2na21nk也等比。其中 0k4、等比数列的通项公式类似于 的指数函数，n即： ，其中nacq1aq等比数列的前 项和公式是一个平移加振幅的 的指数函数，即： (1)nsc5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。421()nnsa6、 则,m0则ns()n则,msn证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法： 1()nad常 数2、中项法： 2na证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法： 1()naq常 数2、中项法： 12,0)nnna（ ）设元技巧三数等差： ,ad四数等差： 3,3ad三数等比： ,aq或四数等比： 23,
8、联系1、若数列 是等差数列，则数列 是等比数列，公比为 ，其中 是常数， 是nanCdCd的公差。n2、若数列 是等比数列，且 ，则数列 是等差数列，公差为 ，其中n0naloganlogaq是常数且 ， 是 的公比。a0,1aq数列的项 与前 项和 的关系：nnS1()2nnsa数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果 等差， 等比，那么 叫做差比nanbnab数列）即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同次项相减，nbq转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消
9、，只余有限几项，可求和。适用于数列 和 （其中 等差）1na1nana5可裂项为： ，11()nnada11()nnda等差数列前 项和的最值问题：1、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最大值。na10dnnS（）若已知通项 ，则 最大 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最大；2npq2qpnS2、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最小值na10dnn（）若已知通项 ，则 最小 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最小；2npq2qpnS数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 （即 ）求 ，用作差法：
10、。nS12()naf na1,()2nnaS已知 求 ，用作商法： 。12()nfA n(1),2)nf已知条件中既有 还有 ，有时先求 ，再求 ；有时也可直接求 。SaSana若 求 用累加法：1()nafn 1221()()()nnn。(2)已知 求 ，用累乘法： 。(nfn 112nnaa ()已知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。a特别地， （1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都1nkb1nnkb,k可以用待定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 ；形如 的na1nnka递推数列都可以除以 得到一个等差数列后，再求 。nk6（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。
11、1nakb（3）形如 的递推数列都可以用对数法求通项。1n（7） （理科）数学归纳法。（8）当遇到 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段qadann11或形式。数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公n式的推导方法）.（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常
12、选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）.n（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()1nn1()()kk ， ；2(kk 211()kk ； ；(1)2(1)(2)nnn()!n 1)1二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 naS求由（ 时 ， ， 时 ， ）SnaSnn21 13、求差（商）法如 ： 满 足 an n25112解： a514时 ， ， an 22221时 ，71212得 ： na an1 n421()练习数 列 满 足 ， ， 求aSaannnn115
13、34（ 注 意 到 代 入 得 ： Snnn 1 1又 ， 是 等 比 数 列 ，Snn144naS2311时 ， 4、叠乘法例 如 ： 数 列 中 ， ， ， 求anan n11解： an n2131 123， 又 ， n5、等差型递推公式由 ， ， 求 ， 用 迭 加 法afaan n110()fann22331时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()ffn12()() afn03()练习数 列 ， ， ， 求aannnn112（ ）a236、等比型递推公式8acdcdn1 010、 为 常 数 ， ， ，可 转 化 为 等 比 数 列 ， 设 axnnacn1令 ， ()xdc1 是 首
14、项 为 ， 为 公 比 的 等 比 数 列acadcn1 dcn n11 adnn11练习数 列 满 足 ， ， 求aannn11934（ ）an847、倒数法例 如 ： ， ， 求aannn112由 已 知 得 ： 11annn 21an112an为 等 差 数 列 ， ， 公 差 为12ann数列前 n 项和的常用方法：1、公式法：等差、等比前 n 项和公式92、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如 ： 是 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 求adan kn1解： 由 1 01aaddkkk 11dknkn 1123aaadnn练习求 和 ： 123123n（ ， ）aSnn3、错位相减法：若 为 等 差 数 列 ， 为 等 比 数 列 ， 求 数 列 （ 差 比 数 列 ） 前 项babnnn n和 ， 可 由 求 ， 其 中 为 的 公 比 。Sqqnn如 ： xxn123413nxn24121： Sn nxxn12时 ，Snn312时 ，4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。aaSnnn1212相 加111annn10练习已 知 ， 则fxffff()()()()211213141（ 由 fxxx()112222 原 式 ffff()()()1234）
