1、1主要性质等和性：等差数列 na若 则mpqmnpqa推论：若 则22nknkna12132a即：首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列 na若 则mpqmnpqa推论：若 则22()nknknaa12132即：首尾颠倒相乘，则积相等其它性质1、等差数列中连续 项的和，组成的新数列是等差m数列。即：等差，公差为232,msss则有d()m2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如： （下标成等差数列）14710,a3、 等差，则 ， ，nb2na1， 也等差。knpq4、等差数列 的通项公式是 的一次函数，即：( )nadc0等差数列 的前 项和公式是一个没有常数项的n的二次函
2、数，即： ( )2nSAB0d5、项数为奇数 的等差数列有：1s奇偶 nsa奇 偶 中21()nn项数为偶数 的等差数列有：，1nsa奇偶 sd偶 奇1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即： 等比，公比为232,mmss。q2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如： （下标成等差数列）14710,a3、 等比，则 ， ，nb2na1k也等比。其中 04、等比数列的通项公式类似于 的指数函数，n即： ，其中nacq1a等比数列的前 项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即： ()nscq5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。221()nnsa6、
3、则,m0则ns()n则,msn证明方法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法： 1()nad常 数2、中项法： 2na证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法： 1()naq常 数2、中项法： 12,0)nnna（ ）设元技巧三数等差： ,ad四数等差： 3,3ad三数等比： ,aq或四数等比： 23,联系1、若数列 是等差数列，则数列 是等比数列，公比为 ，其中 是常数， 是 的公差。nanCdCdna2、若数列 是等比数列，且 ，则数列 是等差数列，公差为 ，其中 是常数且0naloganlogq， 是 的公比。0,qn数列的项 与前 项和 的关系：nanS1()2nnsa数列求和的常用
4、方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果 等差， 等比，那么 叫做差比数列）nanbnab即把每一项都乘以 的公比 ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等q比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列 和 （其中 等差）1na1nana可裂项为： ，11()nnd311()nnnada等差数列前 项和的最值问题：1、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最大值。na10dnS（）若已知通项 ，则 最大 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数
5、时 最大；2npq2qpnS2、若等差数列 的首项 ，公差 ，则前 项和 有最小值na10dn（）若已知通项 ，则 最小 ；nS1na（）若已知 ，则当 取最靠近 的非零自然数时 最小；2npq2qpnS数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知 （即 ）求 ，用作差法： 。nS12()naf na1,()2nnaS已知 求 ，用作商法： 。12()nfA n(),2)nf已知条件中既有 还有 ，有时先求 ，再求 ；有时也可直接求 。SaSana若 求 用累加法：1()nafn 1221()()()nn a。(2已知 求 ，用累乘法： 。()nfn 112nnaa ()已
6、知递推关系求 ，用构造法（构造等差、等比数列） 。a特别地， （1）形如 、 （ 为常数）的递推数列都可以用待1nkb1nnkb,定系数法转化为公比为 的等比数列后，再求 ；形如 的递推数列都可以除a1nnka以 得到一个等差数列后，再求 。nkn（2）形如 的递推数列都可以用倒数法求通项。1nakb4（3）形如 的递推数列都可以用对数法求通项。1kna（7） （理科）数学归纳法。（8）当遇到 时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段形式。qdnn11或数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先
7、合并在一起，再运用公式法求和。 （3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）.n（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 和公式的推导方法）.n（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ； ；1()1nn1()()knk ， ；2(kk 211()kk ； ；(1)2(1)(2)nnn()!n 1)1二、解题方
8、法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 naS求由（ 时 ， ， 时 ， ）SnaSnn21 13、求差（商）法如 ： 满 足 an n25112解： a514时 ， ， an 22221时 ，得 ： n an1 n421()练习5数 列 满 足 ， ， 求aSaannnn11534（ 注 意 到 代 入 得 ： Snnn1 1又 ， 是 等 比 数 列 ，Snn144naS2311时 ， 4、叠乘法例 如 ： 数 列 中 ， ， ， 求anan n11解： an n2131 123， 又 ， n5、等差型递推公式由 ， ， 求 ， 用 迭 加 法afaan n110()fann2233
9、1时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()ffn12()() afn03()练习数 列 ， ， ， 求aannnn112（ ）a236、等比型递推公式cdcdn1 010、 为 常 数 ， ， ，可 转 化 为 等 比 数 列 ， 设 axnnacn1令 ， ()xdc16 是 首 项 为 ， 为 公 比 的 等 比 数 列adcadcn11 n n1 adccnn11练习数 列 满 足 ， ， 求aannn11934（ ）an847、倒数法例 如 ： ， ， 求aannn112由 已 知 得 ： 11annn 21an112an为 等 差 数 列 ， ， 公 差 为12ann数列前 n 项和的
10、常用方法：1、公式法：等差、等比前 n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如 ： 是 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 求adan kn1解： 由 1 01aadkkk 11dknkn7 111231daaann练习求 和 ： 23123n（ ， ）aSnn3、错位相减法：若 为 等 差 数 列 ， 为 等 比 数 列 ， 求 数 列 （ 差 比 数 列 ） 前 项babnnn n和 ， 可 由 求 ， 其 中 为 的 公 比 。Sqqnn如 ： xx123413nxn24121： Snxxn12时 ，Snn312时 ，4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。aaSnnn1212相 加111ann练习已 知 ， 则fxffff()()()()22341（ 由 fxxx()11122228 原 式 ffff()()()12131413）深圳一模9深圳二模10广州一模广州二模11韶关调研12
