1、四柱坐标系与球坐标系简介,1,2,1.柱坐标系(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,用(,)(0,02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(,z)(zR)表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组(,z)之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(,z)叫做点P的柱坐标,记作P(,z),其中0,02,-z+.(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(,z)之间的变换公式为 =cos, =sin, = .,1,2,做一做1已知点M的直角坐标为(0,1,5),求它的柱坐标.解:设点M的柱坐标为(
2、,z),根据题意,得 0=cos, 1=sin, =5, 所以2=2cos2+2sin2=1,易知= 2 .故点M的柱坐标为 1, 2 ,5 .,1,2,2.球坐标系(1)定义:建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为.设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为.这样点P的位置就可以用有序数组(r,)表示.这样,空间的点与有序数组(r,)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,)叫做点P的球坐标,记作P(r,),其中r0,0,00,所以= 5
3、3 .故点M的柱坐标为 2, 5 3 ,4 .,探究一,探究二,探究三,探究四,探究二直角坐标与球坐标的互化由球坐标求直角坐标,只需代入公式 =sincos, =sinsin, =cos 计算即可;由直角坐标化为球坐标,可先设点M的球坐标为(r,),利用r2=x2+y2+z2,tan = ,cos = 求出r,即可.要特别注意由直角坐标求球坐标时,和的取值,要先弄清楚它们终边所在的位置.,探究一,探究二,探究三,探究四,典例提升2将点M的直角坐标化为球坐标,点P的球坐标化为直角坐标.(1)M(1, 3 ,2);(2)P 2, 6 , 3 .思路分析:利用相关公式代入进行转化求值.,探究一,探究
4、二,探究三,探究四,解:(1)设点M的球坐标为(r,),则由 =sincos, =sinsin, =cos, 得 1=sincos, 3 =sinsin, 2=cos, tan = 3 .00,= 3 .r= 1 2 +( 3 ) 2 + 2 2 =2 2 .2=2 2 cos ,cos = 2 2 .0,= 4 .点M的球坐标为 2 2 , 4 , 3 .,探究一,探究二,探究三,探究四,(2)设点P的直角坐标为(x,y,z),则有 =sincos=2sin 6 cos 3 = 1 2 , =sinsin=2sin 6 sin 3 = 3 2 , =cos=2cos 6 = 3 . 故点P的
5、直角坐标为 1 2 , 3 2 , 3 .,变式训练2将下列各点的球坐标化为直角坐标:B 8, 3 4 , ,C 0, 6 , 5 .解:设点B的直角坐标为(x,y,z).x=8sin 3 4 cos =8 2 2 (-1)=-4 2 , y=8sin 3 4 sin =0,z=8cos 3 4 =8 2 2 =-4 2 .点B的直角坐标为(-4 2 ,0,-4 2 ).设点C的直角坐标为(x,y,z),r=0,x=0,y=0,z=0.故点C的直角坐标为(0,0,0).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究三柱坐标系、球坐标系的应用柱坐标及球坐标问题可以统一化为
6、直角坐标问题来解决.典例提升3已知点P1的球坐标是 2 3 , 3 , 4 ,点P2的柱坐标是 6 , 6 ,1 ,求|P1P2|.思路分析:可先把两点坐标化为直角坐标,再用空间两点间的距离公式求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,解:设点P1的直角坐标为(x1,y1,z1),则 1 =2 3 sin 3 cos 4 = 3 2 2 , 1 =2 3 sin 3 sin 4 = 3 2 2 , 1 =2 3 cos 3 = 3 , 所以点P1的直角坐标为 3 2 2 , 3 2 2 , 3 .设点P2的直角坐标为(x2,y2,z2),则 2 = 6 cos 6 = 3 2 2 , 2 = 6
7、 sin 6 = 6 2 , 2 =1,探究一,探究二,探究三,探究四,所以点P2的直角坐标为 3 2 2 , 6 2 ,1 .故|P1P2|= 0+ 3 2 2 6 2 2 +( 3 1 ) 2 = 30 10 2 .,变式训练3已知点M的球坐标为 5, 2 , 3 4 ,求它的直角坐标及柱坐标.解:设点M的直角坐标为(x,y,z),柱坐标为(,z).点M的球坐标为 5, 2 , 3 4 , =5sin 2 cos 3 4 =51 2 2 = 5 2 2 , =5sin 2 sin 3 4 =51 2 2 = 5 2 2 , =5cos 2 =0, 故点M的直角坐标为 5 2 2 , 5 2
8、 2 ,0 .= 2 + 2 =5,= 3 4 ,z=0,点M的柱坐标为 5, 3 4 ,0 .,探究一,探究二,探究三,探究四,探究四易错辨析易错点:将球坐标和柱坐标与直角坐标互化公式混淆而致误典例提升4已知点M的直角坐标为(1,1, 2 ),求它的球坐标.错解:点M的球坐标为 2 , 4 , 2 .错因分析:球坐标和柱坐标与直角坐标互化的公式记忆混淆,错用公式 =cos, =sin, =.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,正解:设点M的球坐标为(r,).r= 2 + 2 + 2 = 1 2 + 1 2 +( 2 ) 2 =2,z=rcos = 2 ,cos
9、= 2 2 .0,= 4 .又tan = =1,00,= 4 .点M的球坐标为 2, 4 , 4 .,1 2 3 4 5,1.若点M的直角坐标为(-1,- 3 ,3),则它的柱坐标是 ()A. 2, 3 ,3 B. 2, 2 3 ,3 C. 2, 4 3 ,3 D. 2, 5 3 ,3 解析:设点M的柱坐标为(,z).= (1 ) 2 +( 3 ) 2 =2,tan = 3 ,结合点M的坐标知= 4 3 ,z=3,点M的柱坐标为 2, 4 3 ,3 .答案:C,1 2 3 4 5,2.若点M的直角坐标为(-1,-1, 2 ),则它的球坐标为 ()A. 2, 4 , 4 B. 2, 4 , 5
10、4 C. 2, 5 4 , 4 D. 2, 3 4 , 4,1 2 3 4 5,解析:设点M的球坐标为(r,).由坐标变换公式,得r= 2 + 2 + 2 =2,cos = = 2 2 .0,= 4 .tan = = 1 1 =1,02,x0,= 5 4 .点M的球坐标为 2, 4 , 5 4 .答案:B,1 2 3 4 5,3.若点P的直角坐标为( 2 , 6 ,3),则它的柱坐标是.答案: 2 2 , 3 ,3,1 2 3 4 5,4.柱坐标满足方程=2的点所构成的图形是.答案:以z轴所在直线为轴,以2为底面半径的圆柱侧面,1 2 3 4 5,5.将点M的球坐标 8, 3 , 5 6 化为直角坐标.解:设点M的直角坐标为(x,y,z).x=8sin 3 cos 5 6 =-6,y=8sin 3 sin 5 6 =2 3 ,z=8cos 3 =4,点M的直角坐标为(-6,2 3 ,4).,
