1、二极坐标系,1,2,1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标系内一点的极坐标的表示:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.,1,2,名师点拨(1)极点的极坐标:极点的极径=0,极角可以是任何实数.所以极点的极坐标为(0,)(R),
2、也就是说极点有无数个极坐标.(2)点的极坐标的多样性:平面内给定一点,可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标(,)的定义,对于给定的点的无数个极坐标,它们的极径相等,且极角相差2的整数倍,即为(,+2k)(kZ).,1,2,做一做1在极坐标系中,已知点P 3, 3 ,则当-20时,点P的另外一种极坐标形式为.答案: 3, 5 3,1,2,2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件:极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合;极轴与x轴的正半轴重合;两种坐标系取相同的长度单位.(2)互化公式直角坐标化为极坐标 2 = 2 + 2 , tan= (0) .极坐标化为直角坐标 =cos
3、, =sin .,1,2,做一做2将点的极坐标(,-2)化为直角坐标为()A.(,0)B.(,2)C.(-,0)D.(-2,0)解析:x=cos(-2)=,y=sin(-2)=0,所以极坐标(,-2)化为直角坐标为(,0).答案:A,做一做3将点的直角坐标(-2,2 3 )化为极径是正值,极角在0到2之间的极坐标是()A. 4, 2 3 B. 4, 5 6 C. 4 3 , 6 D. 4 3 , 3 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究一极坐标系中同一个点的坐标表示1.写点的极坐标要注意顺序:极径在前,极角在后,不能把顺序颠倒了.2.点的极坐标是不唯一的,但若限制0,00,00,00,0,2
4、),1 2 3 4 5,解析:如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意:极角是以x轴正方向为始边,按照逆时针旋转得到的.答案:(1) 3, 11 6 (2) 3, 7 6 (3) 3, 5 6,1 2 3 4 5,4.关于极坐标系的下列叙述:极轴是一条射线;极点的极坐标是(0,0);点(0,0)表示极点;点M 4, 4 与点N 4, 5 4 表示同一个点;动点M(5,)(R)的轨迹是以极点为圆心,以5为半径的圆.其中,正确的序号是.,1 2 3 4 5,解析:设极点为O,极轴就是射线Ox,正确;极点O的极径=0,极角是任意实数,极点的极坐标应为(0,
5、)(R),错误;给定极坐标(0,0),可以在极坐标平面内确定唯一的一点,即极点,正确;点M与点N的极角分别是1= 4 ,2= 5 4 ,二者的终边互为反向延长线,错误;由于动点M(5,)(R)的极径=5,极角是任意角,故点M的轨迹是以极点O为圆心,5为半径的圆,正确.答案:,1 2 3 4 5,5.将下列各点由极坐标化为直角坐标或由直角坐标化为极坐标(0,02).(1)(2,);(2)(-1,-1).解:(1)x=cos =2cos =-2,y=sin =2sin =0,所以点(2,)所对应的直角坐标为(-2,0).(2)= 2 + 2 = (1 ) 2 +(1 ) 2 = 2 .tan = = 1 1 =1.又(-1,-1)在第三象限,所以= 5 4 .故点(-1,-1)的极坐标为 2 , 5 4 .,
