1、幂函数知能提升1判定幂函数例 1 已知函数 ， 为何值时， 是221()mfxx()fx（1）二次函数；（2）幂函数。分析：根据函数的定义解题。解析：（1）若 为二次函数，则 ，解得 。()fx210m132m（2）若 为幂函数，则 ，解得 。来源:高$考 试(题库 :_ST f2评注：对于第（2）小题，要防止下面的错误：“ ，得 ，因为21当 时， 不是有理数，所以 不可能为幂函数。”尽管中学阶段1m21m()fx研究的幂函数为有理指数幂，但定义中的幂指数为任意实数，所以它是幂函数。2确定定义域和值域例 2 求下列函数的定义域和值域：（1） ；来源:高$考试(题库 :_ST25yx（2） 。
2、7分析：幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义；值域要在定义域范围内求解。解析：（1）函数 的定义域为实数集 ，值域为 。25yxR0,)（2）函数 的定义域为 ，值域为 。70y评注：幂函数的概念、图象、性质是解决该类问题的关键。3求函数的解析式例 3 已知幂函数 的图象经过点 ，那么这个幂函数的解析式为()yfx(2,)。_分析：有关幂函数的解析式，一般采用待定系数法，即设出解析式后，利用已知条件，求出待定系数，然后求解。解析：设所求函数的解析式为 ，则 ，()yfx2n ， 。12n12yx评注：幂函数的形式是 （ 为常数），要求幂函数，只要解出 即可。4研究函数的单调性、
3、奇偶性例 4 已知函数 ，求证：1()fx（1） 在定义域上为增函数；来源:+s|t.Com()f（2）满足等式 =1 的实数 的值至多只有一个。 来源:高$考试( 题库 :_STfxx分析：（1）用定义证；（2）用反证法。解析：（1）函数的定义域为 ，任取 ， ，且 ，则(0,)1x2(0,)1x221212()fxfxx122，21122()0x 在定义域上为增函数。f（2）假定满足 =1 的实数 的值至少有 2 个，设为 ， ，且 ，则应有()fxx1x212x，这与 在它的定义域上为增函数的结论 相矛盾，故12()fxf ()ff满足等式 =1 的实数 的值至多只有一个。fx评注：至多
4、、至少类型的证明题，其证法常常从反面入手。5创新应用例 5 点 在幂函数 的图象上，点 在幂函数 的图象上，问当(2,)()fx12,4()gx为何值时，有：x（1） ；()fgx（2） ；（3） 。()fxg分析：由幂函数的定义，求出 与 的解析式，再利用图象判断即可。()fxg解析：设 ，则由题意得 ， ，即 ；()fx222()fx设 ，则由题意得 ， ，即 。g1()4g在同一坐标系中作出 与 的图象，如图 2 所示：)fxg()fx()fx()g()gyxO图 2111由图象可知：（1）当 或 时， ；x()fxg（2）当 时， ；x()fg（3）当 且 时， 。来源:!s t.Com10x()fx评注：函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用，注意本题中 的定义域为()gx，所以（3）中不包含 这一元素。0xx高考试题库
