1、【优化方案】2014-2015 学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入章末综合检测 新人教 A 版选修 1-2(时间：100 分钟，满分：120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014吉安高二检测)i 是虚数单位，则 的虚部是( )i1 iA. i B i 12 12C. D12 12解析：选 C. i1 i i1 i1 i1 i i.1 i2 12 122复数 zi i2i3i4 的值是( )A1 B0C1 Di解析：选 B.zii2i3i4i1i10.3复数 2abi(a，bR ，i 是虚数单
2、位)，则 a2b2 的值为( )(1 i2)A0 B1C2 D1解析：选 D. 2 i abi，(1 i2) 1 2i i22所以 a0，b1，所以 a2b2011.故选 D.4(2014邯郸质检)复数 的共轭复数是( )53 4iA. i B. i35 45 35 45C34i D34i解析：选 A. 53 4i 53 4i3 4i3 4i i，35 45 的共轭复数为 i.53 4i 35 455当 时，复数(cos sin )(cos sin )i 在复平面内的对应点在( )(4，34)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选 D.当 时，(4，34)cos sin sin(
3、 0，2 (4)cos sin sin 0，2 ( 4)复数对应点在第四象限6(2014安徽联考)已知 i 是虚数单位，若 z1ai ，z2 ai ， 为纯虚数，则实数 a( )z1z2A1 B0C1 D1 或1解析：选 D. z1z2 a ia i a i2a2 1 ，a2 1 2aia2 1a1.7(2013高考课标全国卷) 若复数 z 满足(3 4i)z |43i|，则 z 的虚部为( )A4 B45C4 D.45解析：选 D.z|4 3i|3 4i53 4i25 i.35 458在如图所示的复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 12i，2i,0 ，那么这个正方形的第四个顶点对
4、应的复数为( )A3i B3iC13i D13i解析：选 D. 12i 2i13i，OC OA OB 所以 C 对应的复数为13i.9一元二次方程 x2(5i)x4i0 有一个实根 x0，则( )Ax04 Bx01Cx04 或 x01 Dx0 不存在解析：选 D.由已知可得x (5i)x0 4i0，20Error!该方程组无解10已知复数 z112i，z21i，z3 34i ，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C ，若 (，R)，则 的值是 ( )OC OA OB A1 B2C3 D4解析：选 A. ，OC OA OB 34i( 12i)(1i)(2)i，Error!Error!1.二、填
5、空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分把答案填在题中横线上)11(2014高考四川卷)复数 _.2 2i1 i解析： (1 i)2 2i.2 2i1 i 21 i1 i1 i1 i答案：2i12若复数 1，ai,3a2i(a R)成等比数列，则 a 的值为_解析：依题意，得(ai)21(3a2i) ，即Error!，解得 a2.答案：213在复平面内，已知复数 zx i 所对应的点都在单位圆内，则实数 x 的取值范围是13_解析：z 对应的点 Z 都在单位圆内，(x， 13)|OZ|1，即 1.x2 ( 13)2x2 1，19x2 ，89 x .223 223故实数 x 的取值
6、范围是( ， )223 223答案： ( 223，223)14(2014西安高二检测)设 z2z1i 1(其中 1 表示 z1 的共轭复数) ，已知 z2 的实部是z z1，则 z2 的虚部为_解析：设 z1a bi(a，bR)，则 z2(abi) i(abi)(abi)(bai)(ab)(ba)i，因为 z2 的实部是1，所以 ab1，所以虚部 ba1.答案：115在复平面内，若复数 z 满足|z1|1iz|，则 z 在复平面内对应点的轨迹为_解析：设 zxyi(x 、yR)，|x 1 yi| ，x 12 y2|1 iz| |1i(xyi)| ，1 y2 x2则 .x 12 y2 1 y2
7、x2复数 zxyi 的对应点(x ，y)的轨迹为到点(1,0) 和(0,1)距离相等的直线答案：直线三、解答题(本大题 5 小题，每小题 10 分，共 50 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16计算： 2 014 . 23 i1 23i ( 21 i) 4 8i2 4 8i24 3i解：原式 1 007i23i 11 23i (22i) 4 8i2 4 8i24 3ii(i)1 00704 3iii00.17(2014黄冈高二检测)复平面内有 A，B，C 三点，点 A 对应的复数是 3i ，向量 对AC 应的复数是24i，向量 对应的复数是4i，求 B 点对应的复数BC 解：因
8、为向量 对应的复数是24i ，AC 向量 对应的复数是4i，BC 所以 表示的复数是AB (4i)(2 4i)23i，故 对应的复数为OB OA AB (3i)(2 3i)52i，所以 B 点对应的复数为 52i.18已知 为纯虚数，且(z1)( 1)|z|2，求复数 z.z 1z 1 z解：由(z 1)( 1)|z|2z 1.z z由 为纯虚数，z 1z 1 0z 10.z 1z 1 z 1z 1 z设 zabi(a ，bR)，代入，得 a ，a2b21.12a ，b .12 32z i.12 3219(2014九江高二检测)设复数 z1(a2 4sin2 )(1 2cos )i，aR，(0
9、，)，z2 在复平面内对应的点在第一象限，且 z 34i.2(1)求 z2 及|z2| ；(2)若 z1z2，求 与 a 的值解：(1)设 z2mni(m，nR)，则z (m ni)2m2n22mni34i，2即Error!解得Error!或Error!所以 z212i 或 z212i.又因为 z2 在复平面内对应的点在第一象限，所以 z212i 应舍去，故 z212i， |z2| .5(2)由(1)知(a2 4sin2)(12cos )i12i ，即Error!解得 cos ，12因为 (0，)，所以 ，3所以 a214sin214 4，34a2.综上， ，a2.320设 z1 是虚数，z2 z1 是实数，且1z21.1z1(1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围；(2)若 ，求证： 为纯虚数1 z11 z1解：(1)设 z1abi(a，bR 且 b0)，则 z2z11z1abi1a bi(a ) (b )i.aa2 b2 ba2 b2因为 z2 是实数，b0 ，于是有 a2b21，即|z1| 1，还可得 z22a.由1z21，得12a1，解得 a ，12 12即 z1 的实部的取值范围是 ， 12 12(2)证明： 1 z11 z1 1 a bi1 a bi1 a2 b2 2bi1 a2 b2 i.ba 1因为 a ， ，b0，12 12所以 为纯虚数
