1、图形相似线段的比、黄金分割 及形状相同的图形知识要点要点 1 线段的比(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。(2) 成比例线段：四条线段 a、b、c 、d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，dcba那么这四条线段成比例线段，当 bc 时，有 ，称 b 为 a 与 d 的比例中项。d(3) 比例尺：比例尺图上距离：实际距离（4）两条线段被一组平行线所截的线段成比例。说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。要点 2 比例的性质比例的基本性质：0,02dcbacbadcbadcba
2、 、要点 3 黄金分割概念：若点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC、BC (ACBC)，若 ，我们称线段ACBAB 被点 C 黄金分割， C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比 。618.025说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若 AB1，.253,215BCA、相似多边形 相似三角形及三角形相似的条件知识要点相似多边形要点 1 各角对应相等 ， 各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。说明：(1
3、) 相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定；(2)判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者缺一不可。XS01相似三角形要点 2 三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。说明：(1) 相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例；(2) 两个三角形的相似比为 1时，这两个三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况；(3) ABC与A /B/C/相似和 ABC A /B/C/的含义有所不同，前者没有指明这两个相似三角形的对应关系，而后者表明了对应关系。 要点 3 三角形相似的判别方法方法 1：平行于三角形一
4、边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 方法 2：两角对应相等的两个三角形相似；方法 3：三边对应成比例的两个三角形相似；方法 4：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。引申 直角三角形除了具有以上 3 种判别方法，还有以下方法：一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。说明：(1) 相似三角形判定的三种判别方法中， “角角” “边边边”用的最广泛。在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例；(2) 要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边，公共边一般不是对应边。在找对应角时，公
5、共角、对顶角一般是对应角。相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小知识要点要点 1 测量旗杆高度的三种方法：(1) 方法 1：利用阳光下的影子 （如图 1）（还可利用结论：同一时刻： ） ；、(2)方法 2：利用标杆；（如图 2，本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形）(3)方法 3：利用镜子反射（如图 3，本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直）说明：在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用三角形相似的知识解决，根据实际情况，构造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边成比例计算出要求的目标。1 32要点 2 相似三角形与相
6、似多边形的性质相似三角形的性质：(1) 相似三角形对应高的比等于相似比；(2) 相似三角形对应角平分线的比等于相似比；(3) 相似三角形对应中线的比等于相似比；(4) 相似三角形周长的比等于相似比；(5) 相似三角形面积的比等于相似比的平方。说明：这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。相似多边形的性质：(1) 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；(2) 相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。要点 3 位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。
7、在已确定的两位似图形中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。两个位似图形的相似比又称为位似比。如图(1)、(2)、(3)、(4) 、(5)。位似图形的性质： (1) 对应边的比等于位似比；(2) 周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方；(3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。说明：(1) 位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；(2)判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点；(3)将一个图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边上，也可以在图形的顶点上。例题精讲：例 1
8、 若 ，则 _。413nmn变形 1：已知 ，求 及 的值。5cbacba例 2 已知 x：y ：z1：3：5，求 的值。zyx3变形 1：若 4x7y 5z，2x yz，那么 x：y：z（ ）A. 2：1：(3) B. 2：1：3 C. 2：( 1)：3 D. 3：2：1变形 2：若 ，且 xyz18，求 x，y，z。4例 3若点 C 是线段 AB 的分割点（ ACBC） ，AB16，则 AC_，BC_；如果 D 是线段 AB 的另一个黄金分割点，则 CD_。变形：如果线段上一点 P 把线段分割为两条线段 PA，PB. 当 PA2PBAB 时，则称点 P是线段 AB 的黄金分割点，现已知线段
9、 AB10，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，如图所示，那么线段 PB 的长约为（ ）A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82例 4、如图，D，E 分别为 ABC 的边 AB，AC 上一点，且ADEABC，F 为 AD 上一点，且AEFACD，(1) AD2AF AB 吗？请说明理由。(2) 若 AF4，AB9，求AD。变形：如图所示，已知梯形 ABCD，ADBC，若 EFBC，且所分成的梯形 AEFD 和梯形 EBCF 相似， AD4，BC9，求 EF 的长。例 5、如图 XS11 所示，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F，试证 A
10、EABAFAC 。 变形 1：如图 XS111，ABC 中， ，D 为 AB 上一点，若35,ACBEBDEBAC，则 _。BDA变形 2：如图 XS112，AOBCOD ，A C，下列各式正确的有（ ）个 ； ； ； 。COOBA. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例 6、如图 ZJ26，兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为 1m 的竹竿的影长为 0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2m，一级台阶高为 0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4m，则树高为（ ）A. 11
11、.5m B. 11.75m C. 11.8m D. 12.25m一、选择题1梯形两底分别为 m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A） （B ） （C） （D）2nmn2XS11 XS11-1 XS11-2ZJ262 题 4 题 5 题2如图，在正三角形 ABC 中，D，E 分别在 AC，AB 上，且 ，AEBE，则ACD31有（ ）（A）AED BED （B）AED CBD（C ）AEDABD （D）BAD BCD3P 是 RtABC 斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过点 P 作直线截 ABC，使截得的三角形与ABC 相似，满足这样条件的直线共有（
12、 ）（A）1 条 （B）2 条 （C ）3 条 （D）4 条4如图，ABDACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55如图，ABCD 是正方形，E 是 CD 的中点，P 是 BC 边上的一点，下列条件中，不能推出ABP 与ECP 相似的是（ ）（A）APBEPC （B ）APE90（C）P 是 BC 的中点 （D）BPBC236如图，ABC 中，ADBC 于 D，且有下列条件：（1）BDAC90；（2）BDAC；（3） ； （4） AB2BDBCAC其中一定能够判定ABC 是直角三角形的共有（ ）（A）3 个 （B）2 个 （C ）1 个 （D）0 个7如图，将
13、ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90，得ABF，连结 EF 交 AB 于 H，则下列结论中错误的是（ ）（A）AEAF （B）EF AF 12（C）AF 2FH FE （D ）FBFCHBEC8如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 AD 上任意一点，则有 （ ）（A）ABE 的周长CDE 的周长BCE 的周长（B）ABE 的面积CDE 的面积BCE 的面积（C）ABEDEC（D）ABEEBC9如图，直线 ab，AFFB 3 5，BCCD31，则 AEEC 为（ ） （A）512 （B）95 （ C）125 （D）326 题 7 题 8 题9 题10 题 11 题10如图，在
14、ABC 中，M 是 AC 边中点，E 是 AB 上一点，且 AE AB，连结 EM 并延长，交 BC 的41延长线于 D，此时 BCCD 为（ ）（A）21 （B）32 （ C）31 （D）5211如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD9 cm，宽 AB3 cm，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕 EF 的长分别为（ ）（A）4 cm、 cm （ B）5 cm 、 cm00（C）4 cm、2 cm （D）5 cm、2 cm3二、填空题12已知线段 a6 cm，b2 cm，则 a、b、ab 的第四比例项是 _cm，ab 与 ab 的比例中项是_cm13若 m 2，则 m
15、_cc14如图，在ABC 中，AB AC27，D 在 AC 上，且 BD BC 18，DEBC 交 AB 于 E，则DE_15如图， ABCD 中，E 是 AB 中点，F 在 AD 上，且 AF FD，EF 交 AC 于 G，则21AGAC_16如图，已知ABC，P 是 AB 上一点，连结 CP，要使ACPABC，只需添加条件_（只要写出一种合适的条件） 17如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC，EFBC，AB15，AF4，则 DE 的长等于_18如图，ABC 中，AB AC，AD BC 于 D，AEEC，AD18，BE15，则ABC 的面积是_16 题 17 题 18 题14 题 1
16、5 题三、证明题1、如图，在ABC 中，AB AC，延长 BC 至 D，使得 CDBC，CEBD 交 AD 于 E，连结 BE 交 AC 于F，求证 AFFC2、如图，ABCCDB90，ACa，BCb（1）当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时， ABCCDB？（2）过 A 作 BD 的垂线，与 DB 的延长线交于点 E，若ABCCDB求证四边形 AEDC 为矩形（自己完成图形） 3、如图，在矩形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，EF EC 交 AB 于 F，连结 FC（AB AE） （1）AEF 与EFC 是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设 k，是否存在这样的 k 值，使得AEFBFC，若存在，证明你的结论并求出BCAk 的值；若不存在，说明理由
