1、第十一章 多边形及其内角和讲义要点突破 1一、多边形的概念（1）在同一平面内，由不在同一直线上的 n（n3 的整数）条线段首尾顺次相接而成的图形叫做 n 边形。注意：（1）有几条边就是几边形；三角形、四边形是最简单的多边形。（2）多边形相邻两边组成的角是它的内角，一个 n 边形有 n 个内角；（3）多边形的边和它邻边延长线组成的角是它的外角，一个 n 边形有 n 个外角，同一个顶点的内角和外角是互为邻补角。（4）连接多边形不相邻的两个顶点的线段是它的对角线，四边形有两条对角线，五边形有五条对角线，n 边形有 条对角线，从同一个顶点出发的对角线有 (n3)条。(3)2n（5）各个角相等，各条边都
2、相等的多边形是正多边形。（6）下面两图中，图（1）任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线同一侧，这样的图形我们称为凸多边形，而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画 BD 所在直线，整个 n 边形不都在这条直线的同一侧。我们称这样的多边形为凹多边形，今后我们课本提到的多边形，如果不加特别说明，一般指的是凸多边形。 ABCDABC图 1 图 2典例剖析：例 一个十二边形有几条对角线？思路探索：过十二边形的任意一个顶点可以画 9 条对角线，那么十二个顶点可以画 129条对角线，但每条对角线在每个顶点都数了一次，所以实际对角线的条数应该为129254（条）解析：十二边形的对角线共有 54
3、 条。规律总结：对于一个 n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律 条，牢记这个(3)2n公式，以后只要用相应的 n 的值代入即可求出对角线的条数，要记住这个公式只有在理解的基础之上才能记得牢。课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题 5 分，共 30 分）1、如图，在四边形 ABCD 中，B 的对角是_，C 的对角是_，BC 边的对边是_，CD 边的对边是_.ADBC2、从一个多边形的一个顶点出发，一共作了 15 条对角线，则这个多边形的边数是_。3、正三角形的每个内角为_。4、一个多边形共有 27 条对角线，则这个多边形的边数是_.5、若过 n 边形的一个顶点有 2m 条对角线，m 边形
4、没有对角线，k 边形有 k 条对角线，则（nk）m_。6、过 n 边形同一个顶点的对角线共有_条，这些对角线把 n 边形分成_个三角形；把在 n 边形边上的任一点（不是顶点）与各顶点连接起来，这些连线把 n 边形分成_个三角形；把 n 边形内任一点与各顶点连接起来，这些连线把 n 边形分成_个三角形。二、耐心选一选，你会开心（每题 5 分，共 30 分）7、下列图形中，是正多边形的是（ ）A、直角三角形 B、等腰三角形 C、长方形 D、正方形8、下列图形中，不是凸多边形的是（ ）A B C D9、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 8 个三角形，这个多边形的边数是（ ）A、8 B、9
5、C、10 D、1110、一个多边形的内角和等于 1440，这个多边形的边数为（ ）A、8 B、9 C、10 D、711、在平行四边形 ABCD 中，ABCD 的值可能是（ ）A、1234 B、1221 C、2211 D、212112、若多边形内角和增加 360，则它的边数（ ）A、增加 1 B、增加 2 C、增加 3 D、不变三、细心做一做，你会成功（共 40 分）13、我们知道各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，小明却说各边都相等的多边形就是正多边形，各角都相等的多边形也是正多边形，他的话对吗？为什么？14、试比较图中两个几何图形异同，请分别写出两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正
6、方形、正五边形的对角线相等；不同点：正方形有两条对角线，正五边形有五条对角线。正方形 正五边形相同点：（1）_；（2）_；不同点：（1）_；（2）_；15、一个四边形截去一个角后就一定是三角形吗？画出所有可能的图形。16、动脑筋完成下表名称 四边形 五边形 六边形 n 边形图形由一个顶点所作的对角线条数过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形的个数图形中对角线的条数要点突破 2一、多边形的内角和n 边形的内角和等于（n2）180。证明思路：通过添加辅助线把多边形的内角和转化为三角形内角和问题，如过多边形一个顶点作对角线，把多边形分成(n2)个三角形；也可过一边上一点，连结各顶点，把多边形分成（n
7、1）个三角形；或者过多边形内部一点，连结各顶点，把多边形分成 n 边形。注意：要得到多边形内角和必须通过“三角形内角和定理”来完成，就是把一个多边形分成几个三角形；此公式可以已知边数求内角和，也可以已知内角和求边数。二、多边形的外角和多边形的外角和等于 360注意：多边形的外角和与它的边数无关。证明思路：多边形的每个顶点的一个外角和一个内角互为邻补角，因此多边形的所有内角和外角和为 n180，由于多边形的内角和为(n2)180，所以多边形的外角和为360。三、多边形的内角和外角和的作用由于多边形的内角和不随边数的多少而变化， ，因此运用多边形的内角和和外角和定理可以进行有关多边形的角度计算或证
8、明。典例剖析：例 （2007 年滨州）如图所示，分别以 n 边形的顶点为圆心，以单位 1 为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位 1A23A45An思路探索：单独一个个求扇形的面积是不可能的，因为每个扇形圆心角不知道多少，由于所有扇形的圆心角的和正好是多边形的外角和，而多边形的外角和为 360，因此所有扇形正好组成一个半径 1 的圆，所以图中阴影部分面积之和为 个平方单位。规律总结：有关多边形问题，常常考察对角线的条数，多边形的内角和，外角和等知识，熟记其中蕴含的规律性的东西，遇到这些问题的时候就会迎刃而解。课时达优：一、精心填一填，你会轻松（每题 5 分，共 30 分）1、二十边
9、形的外角和为_。2、在四边形 ABCD 中，若A90，BCD234，则B_，C_。3、一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是 2520，那么原多边形的边数是_。4、如图，则1234567 的度数为_。1326575、多边形的每个内角都等于 150，则从这个多边形一个顶点发出的对角线有_条。6、一个多边形的每一个外角的度数等于其相邻内角度数的 ，则这个多边形是_边形。13二、耐心选一选，你会开心（每题 5 分，共 30 分）7、下列可能是 n 边形内角和的是（ ）A、300 B、550 C、720 D、9608、n 边形的每个外角都为 24，则边数 n 为（ ）A、14 B、15 C、1
10、6 D、179、下列说法：四边形的四个内角，可以都是锐角；四边形的四个内角，可以都是钝角；四边形的四个内角，可以都是直角；四边形的四个内角，最多可以有两个钝角；四边形的四个内角，最多可以有两个锐角。其中正确的是（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个10、一个多边形的内角和是外角和的 n（n 是正整数）倍，则这个多边形的边数是（ ）A、n1 B、2n1 C、2n2 D、2n211、 （n1）边形的内角和比 n 边形的内角和大（ ）A、180 B、360 C、n180 D、n36012、多边形内角中，锐角最少应有（ ）A、3 个 B、2 个 C、1 个 D、0 个三、细心做一做，你会
11、成功（共 40 分）13、若一个多边形的内角和与外角和的比为 72，求这多边形的边数。14、已知五边形内角度数之比为 23456，求该五边形各外角对应度数之比。15、一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为 1190，则这个内角是多少度？11.3多边形及其内角和自测题夯实基础一、精心填一填，你会轻松（每题 5 分，共 30 分）1、边数最少的多边形是_，它的内角和与外角和分别等于_和_2、n 边形内角和与外角和之比是 52，则 n 3、四边形的四个内角之比是 1234，那么，这四个角分别是_4、两个多边形的边数之比为 12，内角和度数之比为 13，这两个多边形分别是_边形和_边形。5、若五边
12、形 ABCDE 中，ABC，D 的外角为 75，D 的外角与E 互余，则B 的度数是_6、一个多边形恰好有三个角是钝角，这个多边形最多有_条边二、耐心选一选，你会开心（每题 5 分，共 30 分）7、四边形具有而三角形不具有的性质是（ ）A、稳定性 B、不稳定性 C、内角和是 180 D、无对角线8、下列结论正确的是（ ）A、在平面内，由四条线段组成的图形叫四边形B、由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫四边形C、在平面内，由不在同一直线上的四条线段组成的图形叫四边形D、在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次连接所组成的图形叫四边形9、若 n 边形恰好有 n 条对角线，则 n 为（ ）A
13、、4 B、5 C、6 D、710、一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为 2000，则这个内角是（ ）A、20 B、160 C、200 D、14011、一个多边形的内角和的度数是外角和的 2 倍，这个多边形是（ ）A、三角形 B、四边形 C、六边形 D、八边形12、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 1800，你知道原多边形的边数为（ ）A、11 B、12 C、13 D、11 或 12 或 13综合创新三、细心做一做，你会成功（共 40 分）13、如图，四边形 ABCD 中，A = 50，ABC = 105，BCD = 90，1、2、3、4 中哪个角是四边形 ABCD 的外
14、角？求出它的度数D 15、已知，如图，六边形 ABCDEF 的各个角都相等，请判断 ABBC 与 DEEF 的大小，并说明你的理由AFEDCB第一课时1、D A AD AB 2、18 3、60 4、9 5、 12 6、n3 n2 n1 n 7、D（点拨：正多边形的内角和边长都相等） 8、A（点拨：凸多边形的每个内角都小于180） 9、C（点拨：可以分成 n2 个三角形） 10、C（点拨：代入内角和公式180（n2） ） 11、D（点拨：平行四边形的对角相等） 12、B（点拨：正多边形的边数每增加一条边，则内角和增加 180） 13、答：他的话不正确，如菱形的各边都相等，但不是正多边形，矩形的各
15、角都相等，但也不是正多边形。 14、相同点：各边都相等，外角和都相等；不同点：内角和不相等，边数不等。15、五边形 四边形 三角形16、名称 四边形 五边形 六边形 n 边形图形由一个顶点所作的对角线条数1 2 3 n3过一个顶点的对角线把多边形分成的三角形的个数2 3 4 n2图形中对角线的条数 2 5 9 (3)第二课时：1、360 2、60 90 3、16 4、540 5、9 6、八 7、C（点拨：多边形的内角和是 180的倍数） 8、B（点拨：n 个外角和为 360） 9、A（点拨：要保证四边形的内角和为 180，所以不能 4 个锐角或四个钝角） 10、C（点拨:因为多边形的外角和为
16、360，所以多边形的边数为 1） 11、A（多边形每增加一个边，内角和增加 180） 12、C（点拨：如果四个钝角，那么四边形内角和超过 360）13、九边形 14、1411852 15、70 16、他俩说得都不对，可改为：各内角都等于 108，四个内角之比为 3456本节自测：1、三角形 180 360 2、7 3、36，72，108 ，144 4、四 八 5、140 6、6 7、B（点拨：多边形中，只有三角形具有稳定性） 8、D（点拨：四边形的定义有两个关键点，一是不在同一直线上的四条线段，二是首尾顺次相接） 9、B（点拨：n 边形有 条对角线，据此列出方程） 10、B（点拨：这个多边形的内角和大于(3)2n2000，且为 180的倍数，而这个角就是内角和与 2000的差） 11、C（点拨：任意多边的外角和都是 360） 12、D（点拨：一个多边形截去一个角后，角的个数可能增加一个，可能减少一个，也可能角的个数不变）13、4 是四边形 ABCD 的外角，4 的度数为 6515、ABBCDEEF，提示：分别作 AB、CD、EF 的延长线和反向延长线，可得到四个等边三角形
