《坐标系与参数方程》讲义.pdf

1、1 坐 标 系 与 参 数 方 程 一 、 选 考 内 容 坐 标 系 与 参 数 方 程 高 考 考 试 大 纲 要 求1 坐 标 系 ： 理 解 坐 标 系 的 作 用 . 了 解 在 平 面 直 角 坐 标 系 伸 缩 变 换 作 用 下 平 面 图 形 的 变 化 情 况 . 能 在 极 坐 标 系 中 用 极 坐 标 表 示 点 的 位 置 ， 理 解 在 极 坐 标 系 和 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 点 的 位 置 的 区 别 ，能 进 行 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 . 能 在 极 坐 标 系 中 给 出 简 单 图 形 （ 如 过 极 点 的 直

2、线 、 过 极 点 或 圆 心 在 极 点 的 圆 ） 的 方 程 .通 过 比 较 这 些 图形 在 极 坐 标 系 和 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 方 程 ， 理 解 用 方 程 表 示 平 面 图 形 时 选 择 适 当 坐 标 系 的 意 义 . 了 解 柱 坐 标 系 、 球 坐 标 系 中 表 示 空 间 中 点 的 位 置 的 方 法 ， 并 与 空 间 直 角 坐 标 系 中 表 示 点 的 位 置 的 方 法相 比 较 ， 了 解 它 们 的 区 别 .2 参 数 方 程 ： 了 解 参 数 方 程 ， 了 解 参 数 的 意 义 . 能 选 择 适 当 的 参 数

3、写 出 直 线 、 圆 和 圆 锥 曲 线 的 参 数 方 程 . 了 解 平 摆 线 、 渐 开 线 的 生 成 过 程 ， 并 能 推 导 出 它 们 的 参 数 方 程 . 了 解 其 他 摆 线 的 生 成 过 程 ， 了 解 摆 线 在 实 际 中 的 应 用 ， 了 解 摆 线 在 表 示 行 星 运 动 轨 道 中 的 作 用 .二 、 基 础 知 识 梳 理1 伸 缩 变 换 ： 设 点 P(x,y)是 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 任 意 一 点 ， 在 变 换 ,( 0),: ,( 0).x xy y 的 作 用 下 ， 点P(x,y)对 应 到 点 ( , )P x

4、 y ， 称 为 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 坐 标 伸 缩 变 换 ， 简 称 伸 缩 变 换 .2.极 坐 标 系 的 概 念 ： 在 平 面 内 取 一 个 定 点 ， 叫 做 极 点 ； 自 极 点 引 一 条 射 线 x 叫 做 极 轴 ； 再 选 定 一 个长 度 单 位 、 一 个 角 度 单 位 (通 常 取 弧 度 )及 其 正 方 向 (通 常 取 逆 时 针 方 向 )， 这 样 就 建 立 了 一 个 极 坐 标 系 .3 点 M 的 极 坐 标 ： 设 M 是 平 面 内 一 点 ， 极 点 与 点 M 的 距 离 OM 叫 做 点 M 的 极 径 ， 记 为

5、 ； 以 极 轴 x为 始 边 ， 射 线 OM为 终 边 的 XOM叫 做 点 M的 极 角 ， 记 为 .有 序 数 对 ),( 叫 做 点 M的 极 坐 标 ， 记 为 M ),( .极 坐 标 ),( 与 )Zk)(2k,( 表 示 同 一 个 点 .极 点 O 的 坐 标 为 )R)(,0( .4.若 0 ,则 0 ,规 定 点 ),( 与 点 ),( 关 于 极 点 对 称 ， 即 ),( 与 ),( 表 示 同 一 点 .如 果 规 定 20,0 ， 那 么 除 极 点 外 ， 平 面 内 的 点 可 用 唯 一 的 极 坐 标 ),( 表 示 ； 同 时 ， 极 坐 标),(

6、表 示 的 点 也 是 唯 一 确 定 的 .5 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 ： 2 2 2 , cos ,sin , tan ( 0)x y x yy xx 6.圆 的 极 坐 标 方 程 ：2在 极 坐 标 系 中 ， 以 极 点 为 圆 心 ， r 为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 r ；在 极 坐 标 系 中 ， 以 ( ,0)C a (a0)为 圆 心 ， a 为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 2 cosa ；在 极 坐 标 系 中 ， 以 ( , )2C a (a0)为 圆 心 ， a 为 半 径 的 圆 的 极 坐 标 方 程 是 2

7、sina ；7.直 线 的 极 坐 标 方 程 ：在 极 坐 标 系 中 ， )0( 表 示 以 极 点 为 起 点 的 一 条 射 线 ； )R( 表 示 过 极 点 的 一 条 直 线 .在 极 坐 标 系 中 ， 过 点 ( ,0)( 0)A a a ， 且 垂 直 于 极 轴 的 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是 cos a .8 参 数 方 程 的 概 念 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 曲 线 上 任 意 一 点 的 坐 标 中 x,y 都 是 某 个 变 数 t 的 函 数( ),( ),x f ty g t 并 且 对 于 t 的 每 一 个 允 许

8、值 ， 由 这 个 方 程 所 确 定 的 点 M(x,y)都 在 这 条 曲 线 上 ， 那 么 这 个 方 程就 叫 做 这 条 曲 线 的 参 数 方 程 ， 联 系 x,y 的 变 数 t 叫 做 参 变 数 ， 简 称 参 数 .相 对 于 参 数 方 程 而 言 ， 直 接 给 出点 的 坐 标 间 关 系 的 方 程 叫 做 普 通 方 程 .9 常 见 曲 线 的 参 数 方 程（ 1） 圆 2 2 2( ) ( )x a y b r 的 参 数 方 程 可 表 示 为 cos ,( )sin .x a ry b r 为 参 数 .（ 2） 椭 圆 2 22 2 1x ya b

9、 (ab0)的 参 数 方 程 可 表 示 为 cos ,( )sin .x ay b 为 参 数 .（ 3） 抛 物 线 2 2y px 的 参 数 方 程 可 表 示 为 22 ,( )2 .x pt ty pt 为 参 数 .（ 4） 经 过 点 ( , )O o oM x y ， 倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 参 数 方 程 可 表 示 为 cos ,sin .oox x ty y t （ t 为 参 数 ） .10 在 建 立 曲 线 的 参 数 方 程 时 ， 要 注 明 参 数 及 参 数 的 取 值 范 围 .在 参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 中 ， 必

10、 须 使x,y 的 取 值 范 围 保 持 一 致 .三 、 典 型 例 题 分 析考 点 1、 极 坐 标 与 直 角 坐 标 互 化例 题 1.1、 在 极 坐 标 中 ， 求 两 点 )4,2(),4,2( QP 之 间 的 距 离 以 及 过 它 们 的 直 线 的 极 坐 标 方 程 .例 1.2、 已 知 圆 C： 2 2( 1) ( 3) 1x y ， 则 圆 心 C的 极 坐 标 为 _( 0, 0 2 ) 答 案 ： （ 2(2, )3 ）3考 点 2、 极 坐 标 与 直 角 坐 标 方 程 互 化例 题 2.1、 已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 是 4sin

11、以 极 点 为 平 面 直 角 坐 标 系 的 原 点 ， 极 轴 为 x轴 的 正 半轴 ， 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 求 曲 线 C 直 角 坐 标 方 程 .解 ： 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 4sin 可 化 为 2 4 sin ,其 直 角 坐 标 方 程 为 2 2 4 0x y y ， 即2 2( 2) 4x y .例 2.2、 设 过 原 点 O的 直 线 与 圆 C ： 2 2( 1) 1x y 的 一 个 交 点 为 P ， 点 M 为 线 段 OP 的 中 点 .(1)求 圆 C 的 极 坐 标 方 程 ；(2)求 点 M 轨 迹 的 极 坐 标 方

12、 程 ， 并 说 明 它 是 什 么 曲 线 解 ： （ 1） 圆 2 2( 1) 1x y 的 极 坐 标 方 程 为 2cos ， （ 2） 设 点 P 的 极 坐 标 为 1 1( , ) ， 点 M 的 极 坐标 为 ( , ) ， 点 M 为 线 段 OP 的 中 点 ， 1 2 ， 1 ， 将 1 2 ， 1 代 入 圆 的 极 坐 标 方程 ， 得 cos 点 M 轨 迹 的 极 坐 标 方 程 为 cos ， 它 表 示 圆 心 在 点 1( ,0)2 ， 半 径 为 12 的 圆 .例 2.3、 在 极 坐 标 系 中 ， 求 圆 2 与 直 线 6sin3cos 的 位 置

13、 关 系 .考 点 3、 参 数 方 程 与 直 角 坐 标 方 程 互 化例 题 3.1、 已 知 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为 sin10 cos102yx （ 为 参 数 ） ， 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 为 sin6cos2 （ 1） 将 曲 线 1C 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ， 将 曲 线 2C 的 极 坐 标 方 程 化 为 直 角 坐 标 方 程 ；（ 2） 曲 线 1C ， 2C 是 否 相 交 ， 若 相 交 请 求 出 公 共 弦 的 长 ， 若 不 相 交 ， 请 说 明 理 由 解 ： （ 1） 由 sin10 cos102yx

14、得 10)2( 22 yx 曲 线 1C 的 普 通 方 程 为 10)2( 22 yx ， sin6cos2 ， sin6cos22 ， sin,cos,222 yxyx yxyx 6222 ， 即 10)3()1( 22 yx ， 曲 线 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为10)3()1( 22 yx （ 2） 圆 1C 的 圆 心 为 )0,2( ， 圆 2C 的 圆 心 为 )3,1( ， 10223)30()12(C 2221 C 4两 圆 相 交 ， 设 相 交 弦 长 为 d ， 因 为 两 圆 半 径 相 等 ， 所 以 公 共 弦 平 分 线 段 21C C ， 222 )

15、10()223()2( d 22d 例 3.2、 在 椭 圆 2 2 116 12x y 上 找 一 点 ， 写 出 椭 圆 的 参 数 方 程 并 在 椭 圆 上 找 这 一 点 到 直 线 2 12 0x y 的距 离 的 最 小 值 解 ： 设 椭 圆 的 参 数 方 程 为 4cos2 3sinxy ， 4cos 4 3sin 125d 4 5 4 5cos 3sin 3 2cos( ) 35 5 3 ， 当 cos( ) 13 时 ， min 4 55d ， 此 时 所 求 点 为(2, 3) .例 题 3.3、 已 知 直 线 l经 过 点 (1,1)P ,倾 斜 角 6 ， 写

16、出 直 线 l的 参 数 方 程 ; 设 l与 圆 422 yx 相 交 与 两 点 ,A B， 求 点 P到 ,A B两 点 的 距 离 之 积 .解 ： （ 1） 直 线 的 参 数 方 程 为 1 cos 61 sin 6x ty t ， 即 31 211 2x ty t （ 2） 把 直 线 31 211 2x ty t 代 入 422 yx ， 得 2 2 23 1(1 ) (1 ) 4, ( 3 1) 2 02 2t t t t ，1 2 2t t ， 则 点 P 到 ,A B两 点 的 距 离 之 积 为 2例 题 3.4、 求 直 线 41 5 31 5x ty t （ 为 参

17、 数t ） 被 曲 线 2 cos( )4 所 截 的 弦 长 .解 ： 将 方 程 41 531 5x ty t ， 2 cos( )4 分 别 化 为 普 通 方 程 ： 3 4 1 0x y ，2 2 2 10, 2 10x y x y d 1 1圆 心 C（ ， ） ， 半 径 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 ，2 252 2 1 1 72 2 .2 100 5r d 弦 长 考 点 4： 利 用 参 数 方 程 求 值 域例 题 4.1、 已 知 点 ( , )P x y 是 圆 2 2 2x y y 上 的 动 点 ， 求 2x y 的 取 值 范 围 .例 题 4.2、 在

18、曲 线 1C ： ）yx 为 参 数 (sincos1 上 求 一 点 ， 使 它 到 直 线 2C ： 12 2 2 (11 2x t ty t 为 参 数 ）的 距 离 最 小 ， 并 求 出 该 点 坐 标 和 最 小 距 离 .解 ： 直 线 C2化 成 普 通 方 程 是 x+y+2 2 -1=0， 设 所 求 的 点 为 P（ 1+cos ,sin ),则 C 到 直 线 C2 的 距 离d= 2 |122sincos1| =|sin( + 4 )+2|， 当 234 时 ， 即 = 45 时 ， d取 最 小 值 1 此 时 ， 点 P 的坐 标 是 （ 1- 22 ， - 22

19、 ）6一 、 选 择 题1 若 直 线 的 参 数 方 程 为 1 2 ( )2 3x t ty t 为 参 数 ， 则 直 线 的 斜 率 为 （ ）A 23 B 23C 32 D 322 下 列 在 曲 线 sin2 ( )cos sinxy 为 参 数 上 的 点 是 （ ）A 1( , 2)2 B 3 1( , )4 2 C (2, 3) D (1, 3)3 将 参 数 方 程 222 sin ( )sinxy 为 参 数 化 为 普 通 方 程 为 （ ）A 2y x B 2y x C 2(2 3)y x x D 2(0 1)y x y 4 化 极 坐 标 方 程 2 cos 0 为

20、 直 角 坐 标 方 程 为 （ ）A 2 0 1y y 2x 或 B 1x C 2 0 1y 2x 或 x D 1y 5 点 M 的 直 角 坐 标 是 ( 1, 3) ， 则 点 M 的 极 坐 标 为 （ ）A (2, )3 B (2, )3 C 2(2, )3 D (2,2 ),( )3k k Z 6 极 坐 标 方 程 cos 2sin2 表 示 的 曲 线 为 （ ）A 一 条 射 线 和 一 个 圆 B 两 条 直 线 C 一 条 直 线 和 一 个 圆 D 一 个 圆二 、 填 空 题1 直 线 3 4 ( )4 5x t ty t 为 参 数 的 斜 率 为 _。2 参 数

21、方 程 ( )2( )t tt tx e e ty e e 为 参 数 的 普 通 方 程 为 _。3 已 知 直 线 1 1 3: ( )2 4x tl ty t 为 参 数 与 直 线 2 :2 4 5l x y 相 交 于 点 B ， 又 点 (1,2)A ，则 AB _。74 直 线 12 2 ( )11 2x t ty t 为 参 数 被 圆 2 2 4x y 截 得 的 弦 长 为 _。5 直 线 cos sin 0x y 的 极 坐 标 方 程 为 _。三 、 解 答 题1 已 知 点 ( , )P x y 是 圆 2 2 2x y y 上 的 动 点 ，（ 1） 求 2x y

22、的 取 值 范 围 ；（ 2） 若 0x y a 恒 成 立 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 。2 求 直 线 1 1: ( )5 3x tl ty t 为 参 数 和 直 线 2 : 2 3 0l x y 的 交 点 P 的 坐 标 ， 及 点 P与 (1, 5)Q 的 距 离 。3 在 椭 圆 2 2 116 12x y 上 找 一 点 ， 使 这 一 点 到 直 线 2 12 0x y 的 距 离 的 最 小 值 。8一 、 选 择 题1 D 2 3 31 2 2y tk x t 2 B 转 化 为 普 通 方 程 ： 2 1y x ， 当 34x 时 ， 12y 3 C 转 化

23、为 普 通 方 程 ： 2y x ， 但 是 2,3, 0,1x y 4 C 2 2( cos 1) 0, 0, cos 1x y x 或5 C 2(2,2 ),( )3k k Z 都 是 极 坐 标6 C 2cos 4sin cos ,cos 0, 4sin , 4 sin 或 即则 ,2k 或 2 2 4x y y 二 、 填 空 题1 54 4 5 53 4 4y tk x t 2 2 2 1,( 2)4 16x y x 22 ( )( ) 42 222 2 tt tt t tyx ex e e y yx xy ye e x e 3 52 将 1 32 4x ty t 代 入 2 4 5

24、x y 得 12t ， 则 5( ,0)2B ， 而 (1,2)A ， 得 52AB 4 14 直 线 为 1 0x y ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 1 222d ， 弦 长 的 一 半 为 2 22 142 ( )2 2 ，得 弦 长 为 145 2 cos cos sin sin 0,cos( ) 0 ， 取 2 三 、 解 答 题1 解 ： （ 1） 设 圆 的 参 数 方 程 为 cos1 sinxy ，2 2cos sin 1 5sin( ) 1x y 5 1 2 5 1x y 9（ 2） cos sin 1 0x y a a (cos sin ) 1 2sin( ) 142 1aa 2 解 ： 将 1 5 3x ty t 代 入 2 3 0x y 得 2 3t ，得 (1 2 3,1)P ， 而 (1, 5)Q ， 得 2 2(2 3) 6 4 3PQ 3 解 ： 设 椭 圆 的 参 数 方 程 为 4cos2 3sinxy ， 4cos 4 3sin 125d 4 5 4 5cos 3sin 3 2cos( ) 35 5 3 当 cos( ) 13 时 ， min 4 55d ， 此 时 所 求 点 为 (2, 3) 。