1、2.1.4 函数的奇偶性(二)1巩固函数奇偶性的性质，并能熟练应用2能利用函数的奇偶性、单调性解决一些综合问题1定义在 R 上的奇函数，必有 f(0)0.2若奇函数 f(x)在 a， b上是增函数，且有最大值 M，则 f(x)在 b， a上是增函数，且有最小值 M.3若偶函数 f(x)在(，0)上是减函数，则有 f(x)在(0，)上是增函数4下列论断正确的为_(填序号)(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称；(3)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于 y 轴对称，
2、则这个函数为偶函数答案 (2)(4)5函数 f(x)| x|的奇偶性为_，单调递增区间为_，单调递减区间为_答案 偶函数 0，) (，06函数 f(x) x|x|的奇偶性为_，单调递增区间为_答案 奇函数 (，)对点讲练奇、偶函数的图象的性质【例 1】 设奇函数 f(x)的定义域为5,5，当 x0,5时，函数 y f(x)的图象如图所示，则使函数值 y0 时， f(x) x23 x1，求 f(x)的解析式分析 由奇函数的定义知 f(0)0，再由 f( x) f(x)可得当 x0， f(x) f( x)( x)23( x)1 x23 x1.又奇函数 f(x)在原点有定义， f(0)0. f(x)
3、Error!.规律方法 (1)在哪个区间求解析式， x 就设在哪个区间里(2)然后要利用已知区间的解析式进行代入(3)利用 f(x)的奇偶性把 f( x)写成 f(x)或 f(x)，从而解出 f(x)变式迁移 2 已知 f(x)是偶函数，且当 x1,0时， f(x) x1，试求函数 f(x)在 x1,1上的表达式解 任取 x0,1，则 x1,0，f( x) x1.又 f(x)是偶函数，所以 f(x) f( x) x1.所以 f(x)Error!函数奇偶性与单调性的综合运用【例 3】 设定义在2,2上的奇函数 f(x)在区间0,2上单调递减，若 f(m) f(m1)0，求实数m 的取值范围解 由
4、 f(m) f(m1)0，得 f(m) f(m1)， f(x)在2,2上为奇函数， f(1 m)f(x2)或 f(x1)f(x2)的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响变式迁移 3 设定义在2,2上的偶函数 g(x)，当 x0 时， g(x)单调递减，若 g(1 m)g(m)成立，求 m 的取值范围解 g(x)是定义在2,2上的偶函数，且在0,2上单调递减， g(x)在2,0上单调递增，又 g(1 m)g(m)，Error!，解得1 m .12奇偶函数的主要性质1奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，故可直接根据函数图象的对称性来判断函数的奇偶性画函数图象时首先判断奇偶性，作图比较方便2(1)根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数(2)偶函数的一个重要性质： f(|x|) f(x)，它能使自变量化归到0，)上，避免分类讨论3具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1)奇函数在 a， b和 b， a上具有相同的单调性(2)偶函数在 a， b和 b， a上具有相反的单调性高; 考 试! 题 库
