1、21.1 向量的概念自主学习知识梳理1向量与数量(1)向量：既有_，又有_的量叫向量(2)数量：只有_，没有_的量叫数量2向量的几何表示(1)有向线段具有_的线段，叫做有向线段，它包含三个要素：_、_、_.线段 AB的长度叫做有向线段 的长度，记作_AB (2)向量的几何表示法以 A 为_，以 B 为_的有向线段记作 .AB 如果有向线段 表示一个向量，通常我们就说向量 .AB AB (3)用字母表示向量通常在印刷时，用黑体小写字母 a，b，c表示向量，在手写时用带箭头的小写字母 ， ， a b ，表示向量也可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 ， .c AB CD 3与向量有关的概
2、念(1)零向量：长度等于_的向量叫做零向量，记作_ (2)单位向量：长度为_的向量叫做单位向量(3)相等向量：_且_的向量叫做相等向量(4)平行向量(共线向量 )：如果向量的基线互相_或_，则称这些向量共线或平行记法：向量 a 平行于 b，记作_规定：零向量与_平行(5)位置向量：任给一定点 O 和向量 a，过点 O 作有向线段 a，则点 A 相对于点 O 的位置被向量OA a 所惟一确定，这时向量 ，又常叫做 A 相对于点 O 的位置向量OA 自主探究谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识对点讲练知识点一 向量的有关概念例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由若 ab，则 a
3、一定不与 b 共线；若 ，则 A、B 、C、D 四点是平行四边形的四个顶点；AB DC 在平行四边形 ABCD 中，一定有 ；AB DC 若向量 a 与任一向量 b 平行，则 a0；若 ab，bc，则 ac ；若 ab，bc，则 ac .回顾归纳 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可变式训练 1 判断下列命题是否正确，并说明理由(1)若向量 a 与 b 同向，且| a|b|，则 ab；(2)若向量|a| | b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a| | b|，且 a 与 b 的方向相同，则 ab；
4、(4)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反知识点二 向量的表示方法例 2 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向向西偏北 50走了 200 km到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点(1)作出向量 、 、 ； (2)求| |.AB BC CD AD 回顾归纳 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点变式训练 2 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1.(1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 ba；(2)在图中画一个以 A 为起点的向量
5、 c，使|c| ，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？5知识点三 相等向量与共线向量例 3 如图所示，ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点(1)写出与 共线的向量；EF (2)写出与 的模大小相等的向量；EF (3)写出与 相等的向量EF 回顾归纳 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线变式训练 3 如图所示，四边形 ABCD 和 BCED 都是平行四边形，(1)写出与 相等的向量：_；BC (2)写出与 共线的向量：_.BC 1向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑2向量
6、不能比较大小，但向量的模可以比较大小如 ab 没有意义，而|a|b| 有意义3共线向量与平行向量是同一概念规定：零向量与任一向量都平行. 21.1 向量的概念答案知识梳理1(1)大小 方向 (2) 大小 方向2(1)方向 起点 方向 长度 | |AB (2)起点 终点3(1)零 0 (2)1 (3) 长度相等 方向相同 (4)平行 重合 a b 任一向量自主探究解 任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也就是共线向量两向量平行与两向量共线实质是一样的长度相等且方向相同的向量叫做相等向量相等向量一定是共线向量，而共线向量不一定是相等向量对点讲练例 1 解 两个向量不相等，可能是长度
7、不同，方向可以相同或相反，所以 a 与 b 有共线的可能，故不正确. ，A、B 、 C、D 四点可能在同一条直线上，故不正确在平行四边形 ABCD 中，|AB DC | |， 与 平行且方向相同，故 ，正确零向量的方向是任意的，与任一向量平行，AB DC AB DC AB DC 正确ab，则|a| |b|，且 a 与 b 方向相同；bc ，则| b|c|且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 方向相同且模相等，故 ac ，正确若 b0，由于 a 的方向与 c 的方向都是任意的，ac 可能不成立；b0 时，ac 成立，故 不正确变式训练 1 解 (1)不正确因为向量是不同于数量的一种量它由两个
8、因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故(1)不正确(2)不正确由| a| b|只能判断两向量长度相等，并不能判断方向(3)正确|a| | b|，且 a 与 b 同向由两向量相等的条件可得 ab.(4)不正确因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不确定例 2 解 (1)向量 、 、 如图所示AB BC CD (2)由题意，易知 与 方向相反，故 与 共线，AB CD AB CD 又| | |，AB CD 在四边形 ABCD 中，AB CD.四边形 ABCD 为平行四边形 ， | | |200 km.AD BC AD BC 变式训练 2 解 (1)根据相等向量的定义，
9、所作向量与向量 a 平行，且长度相等( 作图略)(2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为 的圆(作图略) 5例 3 解 (1)因为 E、F 分别是 AC、AB 的中点，所以 EF BC.又因为 D 是 BC 的中点，12所以与 共线的向量有： ， ， ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD BC CB (2)与 模相等的向量有： ， ， ， ， .EF FE BD DB DC CD (3)与 相等的向量有： 与 .EF DB CD 变式训练 3 (1) ，AD DE (2) ， ， ， ， ， ，CB AD DA DE ED AE EA 高考试题 库
