1、【新课教学过程（二） 】3.2.1 几类不同增长的函数模型教学过程设计第一课时一、材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。1859 年，有人从欧洲带了几只兔子进入澳洲，由于澳洲茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只。可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分
2、之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。二、例题分析例 1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？分析：问题 1、依据什么标准来选取投资方案？日回报效益，还是累计回报效益？问题 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型？解：设第 x 天所得回报是 y 元，方案一可以用函数 进行描述；40(*)yxN方案二可以用函数 进行描述；10(*)xN方案三可以用函数 进行描述。1.42y问题
3、 3、三个函数模型的增减性如何？三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型。问题 4、要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？1、日回报效益分析：（1）三个方案所得回报的增长情况：（2）作出三个函数的图象：表 1y(元 )增 加 量 (元 )y(元 )增 加 量 (元 ) y(元 )增 加 量 (元 )1 40 10 0.42 40 0 20 10 0.8 0.43 40 0 30 10 1.6 0.84 40 0 40 10 3.2 1.65 40 0 50 10 6.4 3.26 40 0 60 10 12.8 6.47 40 0 70 10 25.6 12
4、.88 40 0 80 10 51.2 25.69 40 0 90 10 102.4 51.210 40 0 100 10 204.8 102.4 x(天 ) 方 案 一 方 案 二 方 案 三函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点。我们看到，底为 2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多，从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？（3）根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资 5 天以下选方案一，投资 58 天选方案二，投资 8 天以上选方案三？由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但是方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不
5、同。可以看到，尽管方案一、方案二在第 1天所得回报分别是方案三的 100 倍和 25 倍，但它们的增长量是成倍增加的，从第 7 天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所 无法企及的，从每天所得回报看，在第 14 天，方案一最多，在 58 天，方案二最多；第 9 天开始 ，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30 天，所得回报已超过 2 亿元。2、累计回报效益分析：天数回报/元方案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440二 10 30 60 100 150 210 2
6、80 360 450 550 660三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8因此，投资 8 天以下（不含 8 天） ，应选择第一种投资方案；投资 810 天，应选择第01002003004005006000 5 10 15方 案 一 回 报(元 )方 案 二 回 报(元 )方 案 三 回 报(元 )线 性 (方 案 一回 报 (元 )多 项 式 (方 案二 回 报 (元 )指 数 (方 案 三回 报 (元 )二种投资方案；投资 11 天（含 11 天）以上，刚应选择第三种投资方案。例 2、某公司为了实现 1000 万元利润的目标，
7、准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且资金 y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过 5 万元，同时资金不超过利润的 25%。现有三个奖励模型： ，其中哪个模型能符合公司的要xxy02.1,log,25.07求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5 万元，同时奖金不超过利润的 25%，由于公司总的利润目标为 1000 万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间10， 1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可。（1）借助计算机作出函数的图象：对数增长
8、模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。通过观察函数图象得到初步结论：按对数模型进行奖励时符合公司的要求。（2）列表计算确认上述判断：模型奖金/万元利润0.25yx1.02xy7log1yx10 2.5 1.02 2.1820 5 1.04 2.54来源:_st.Com 800 4.95 4.44810 5.04 4.442 1000 4.55来源:高 $考试(题库 :_ST（3）问题：当 10，1000时，奖金是否不超过利润的 25%呢？ 来源: st*.Comx我们来看函数 的图象：7()log10.25fx综上所述，模型 确实能符合公司的要求。7log1yx三、学习水平反馈：P98，练
9、习 1，2。四、课堂小结确定函数模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其他学科的密切联系，从而体会数学的实用价值，享受数学的应用美。五、课后作业：P98，练习 2。教学反思：第二课时一、探究：对数函数 ，指数函数 与幂函数)1(logaxy )1(ayx在区间 上增长差异的具体情况。)0(nxy),(特例引入：探究对数函数 ，指数函数 与幂函数 在区间xy2l xy22xy上的增长差异情况。),(策略一：表格计算（学生可用计算器完成）x 1 2 3 4 5 6 7 8 y22 4 8 16 32 64
10、128 256 x1 4 9 16 2536来源:高$考 试(题库 :_S T49 64 y2log0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 策略二：用几何画板作出函数的图象进行比较。来源:高考 试题库一般结论：在区间 上，随着 x 的增大， 的增长速度越来越快（指数爆炸） ，),0()1(ayx会超过并远远大于 的增长速度（直线上升） ，而 的增长速)0(ny )1(logaxy度则会越来越慢（对数增长） 。因此，总会存在一个 ，当 时，有0x0。xnalog二、学生探究对数函数 ，指数函数 与幂函数)10(logaxy )10(ayx在区间 上的衰减情况。)(nxy,特例探究：探究对数函数 ，指数函数 与幂函数 在区间xy21logxy)2(2xy上的增长差异情况。),0(策略一：表格计算（学生可用计算器完成）x 1 2 3 4 5 6 7 8 y)(4816324125612x1 95694y2log0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 策略二：用几何画板作出函数的图象进行比较。一般结论：在区间 上，随着 x 的增大， 的衰减速度比较快，会超),0()10(logaxy过 的衰减速度，而 的衰减速度则会越来越慢。因此，总)10(ayx )0(nxy会存在一个 ，当 时，有 。0xaanlog练习：P101高考试!题?库
