1、第 三 章 微分中值定理与导数的应用,一、罗尔(Rolle)定理,定理(Rolle),若函数f ( x ) 满足,（1）在闭区间a,b上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b),例如,3. 1 微分中值定理,几何解释:,若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等，且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，,注, Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；,这三个条件只是充分条件，而非必要条件,如：y=x2在-1,2上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使,但定理的条件又都是必须的，即为了保证结
2、论成立 三个条件缺一不可。,例如,又例如,在0,1上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件,再例如,在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；,另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，,如,在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而,但却不易找到使,但根据定理，这样的点是存在的.即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用.,例1不求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数,判断方程f (x)=0有几个实根，以及其所在范围。解：f(
3、1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件。在 (1, 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1是f (x)=0的一个实根。在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也是 f (x)=0的一个实根。f (x) =0是二次方程，只能有两个实根，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,推论 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。,证明：在区间I上任取两点x1，x2(x1x2)，应用拉格朗日中值定理，就得f(x2)f(x1)f (x)(x
4、2x1) (x1x x2)。 由假定，f (x)0，所以f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。,证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有f(x)f(0)f (x)(x0)，0xx。,又由0xx，有,三、柯西(Cauchy)中值定理,Cauchy定理又称为广义微分中值定理,结构图,Lagrange定理,特例,Rolle定理,推广,Cauchy定理,拉格朗日中值定理又称微分中值定理.,第二节 洛必达法则,定义,例如,定理,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方
5、法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 .,步骤:,0.,=,例8,解,步骤:,步骤:,例9,解,1洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其它求极限的方法结合使用。例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简捷。,应注意的问题：,2本节定理给出的是求未定式的一种方法。当定理条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但定理条件不满足时，所求极限却不一定不存在。,所以不能用洛必达法则。,但其极限是存在的：,第三节 泰勒(Taylor)公式,多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构 简单，因此无论是数值计算还是理
6、论分析都比较方便 从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，这是其它函数所不具备的优点 。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值。,一、问题的提出,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计.,二、泰勒(Taylor)中值定理,-拉格朗日型余项,-佩亚诺型余项,麦克劳林(Maclaurin)公式,三、简单的应用,解,代入公式,得,常用函数的麦克劳林公式,解,第四节 函数单调性与曲线凹凸性,导数符号与单调性 单调性的判定步骤凹凸与拐点的定义二阶导数符号与凹凸性凹凸与拐点的判定步骤,一、单调性的判别法,函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究 函数的性态时，首先
7、关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。,从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量 在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），曲线就是上升（下降）的,这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性 ？回答是肯定的。,定理,例1,解,例2,解,单调减区间为,单调增区间为,二、单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间
8、的分界点,单调区间求法:,在 f 的定义域上求 f 的零点及 f 不存在的点； 2. 用 f 的零点及 f 不存在的点将 f 的定义区间划分为子区间； 3. 根据 f 在各子区间内的符号确定 f 的单调性。 4. 二、三两步可借助于表格方式完成。,例3,解,(, 1),(1, 2),(2, ),说明:一般地，如果f (x)在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处均为正(或负)时，那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的。,例4讨论函数yx3的单调性。解：函数的定义域为 (, )。 y3x2，当x0时，y0。因为当x0时，y0。所以函数yx3在区间(, 0及0, )内都是单调增加的。
9、因此函数在整个定义域(, )内是单调增加的。,注 利用导数符号与单调性之间的关系可证明一些不等式。,因为当x1时，f (x)0，所以f(x)在1, )上f(x)单调增加。因此当x1时，f(x)f(1)=0，即,三、曲线的凹凸性与拐点,定义: 若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。,图形上任意弧段（ ） 位于所张弦的上方。,图形上任意弧段（ ）位于所张弦的下方。,问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?,的中点,的中点,定义,四、曲线凹凸的判定,定理1,例6,解,注意到,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,2.拐点的求法,例8,解,凹凸与拐点的判定步骤,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点
10、,拐点,第五节 函数的极值与最大值最小值,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,一、函数极值的定义,设函数f(x)在区间(a, b)内有定义，x0(a, b),f(a)和 f(b)是否为极值？,个极小值；函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数 取得极值的点称为极值点,极值的定义：,二、函数的极值,取得极值的必要条件：,观察极值与切线的关系：,在极值点处，如果函数曲线有切线，则切线是水平的,定理1
11、 （必要条件）设函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得 极值，那么f (x0)0,驻点：使导数为零的点(即方程f (x) 0的实根)叫函数f(x)的驻点,应注意的问题：可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但反过来，函数f(x)的驻点却不一定是极值点,观察函数f(x)x在x0处的导数与极值情况,在 x=0处， f (0)0.,但函数在x=0无极值,定理2（第一充分条件）设函数f(x)在点x0的一个邻域内连 续，在x0的左右邻域内可导(1) 如果在x0的某一左邻域内f (x)0，在x0的某一右邻域内f (x)0，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果在x0的左右邻域内f (x)不改
12、变符号，那么函数f(x)在 x0处没有极值,取得极值的第一充分条件：,取得极值的第一充分条件的几何意义：,f (x)0,f (x)0,f (x)0,f (x)0,在极小值点附近,在极大值点附近,例1 求函数f(x)1(x2)2/3的极值,解 (1)当x 2时，,(2)函数无驻点， x2是不可导点； (3)列表判断：,f (x),f (x),(-，2),2,(2，+ ),+,-,不存在,1,极大值,函数f(x)在x2取得极大值，极大值为f(2)1,确定极值点和极值的步骤：,(1)求出导数f (x)；(2)求出f(x)的全部驻点和不可导点；(3)列表判断（考察f (x)的符号在每个驻点和不可导点的
13、左右邻近的情况，以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理 2 确定对应的函数值是极大值还是极小值）；(4)确定出函数的所有极值点和极值,函数f(x)的极大值为f(1)10，极小值为f(3) 22,例2 求函数f(x)x 33x 29x 5的极值,解 (1)f (x)3x 26x 93(x1)(x3)(2)令3(x1)(x3)0，得驻点x 11，x 23(3)列表判断：,(3, ),22,(,1),1,(1, 3),3,f (x),0,0,f(x),10,极大,极小,x,应注意的问题：如果函数f(x)在驻点x 0处的二阶导数f (x 0) 0，那么点x 0一定是极值点，并且可以按二阶导
14、数f (x 0)的符来判定f(x 0)是极大值还是极小值但如果f (x 0)0，定理3就不能应用,定理2 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x 0处具有二阶导数 且f (x 0)0，f (x 0)0，那么(1)当f (x 0)0时，函数f(x)在x 0处取得极小值,讨论：函数 f 1(x)x 4，f 2(x)x 3在点x0是否有极值？,f 1(x)4x 3， f 1(0)0，,f 1(x)12x 2， f 1(0)0,当x0时， f 1(x)0 f 1(0)为极小值,f 2(x)3x 2， f 2(0)0，,f 2(x)6x ， f 2(0)0,f 2(x)0， f 2(0)不是极值,(2)
15、令f (x)0， 求得驻点x 11，x 20，x 31(3)f (x)6(x 21)(5x 21)(4)因f (0)60，所以x0为 极小值点，极小值为 f(0)0(5)因f (1)f (1)0，用定 理 3 无法判别,例3 求函数f(x)(x 21)31的极值,解法一,(1)f (x)6x(x 21)2,同理，f(x)在1处也没有极值,因为在1的左右邻域内f (x)0，,所以f(x)在1处没有极值；,f (x),f(x),(1)f (x)6x(x 21)2,(2)令f (x)0，求得驻点x 11，x 20，x 31,(3)列表判断：,(-，-1),-1,(-1，0),0,(0，1),1,(1
16、，+ ),-,0,-,0,+,+,0,0,无极值,无极值,极小值,f (x)在x0处取得极小值，极小值为 f(0)0,解法二,极值与最值的关系：,最大值：f (b)， 最小值：f (x3),观察：,三、函数的最大值、最小值,最大值：f (x4)， 最小值：f (x3),观察：,设函数f(x)在闭区间a，b上连续，则函数的最大值和最小 值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得， 如果最大值不在区间的端点取得，则必在开区间(a，b)内取得， 在这种情况下，最大值一定是函数的极大值因此，函数在闭区 间a，b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点 的函数值中最大者同理，函数在闭区
17、间a，b上的最小值一定 是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者,极值与最值的关系：,设f(x)在(a，b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点) 为x1，x2， ，xn，则比较 f(a)，f(x 1)， f(x 2)， ，f(x n)，f(b) 的大小，其中最大的便是函数f(x)在a，b上的最大值，最小的 便是函数f(x)在a，b上的最小值,求最大值和最小值的步骤：(1)求出f(x)在(a，b)内的所有驻点和不可导点；(2)求出函数在上述点处和区间端点处的函数值；(3)比较上述函数值，找出最大的和最小的,最大值和最小值的求法：,例4 求函数y2x33x212x14在3, 4上的最
18、大值与最小值,解 f(x) 2x 33x 212x 14，f (x)6x 26x126(x2)(x1)，解方程f (x)0，得 x12，x21，由于f(3) 2(3)33(3) 212(3) 1423；f(2) 2(2)33(2) 212(2) 1434；f(1)2312147；f(4)24 334 2 12414142，比较可得f(x)在 x4取得它在3，4上的最大值f(4)142 ,在 x1取得它在3，4上的最小值f(1)7,例5 铁路线上AB段的距离为100km工厂C距A处为20km， AC垂直于AB为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂 修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上
19、每公里货 运的运费之比3:5为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最 省，问D点应选在何处？,最大值和最小值的应用：,解 设ADx (km)，则 DB100x ，,设从B点到C点需要的总运费为y，那么 y5kCD3kDB (k是正数)，,即,先求y对x的导数：,，,解方程y0，得x15,其中以y|x15380k为最小，因此当ADx15km时，总运费为最省,解 设ADx (km)，则 DB100x ，,设从B点到C点需要的总运费为y，那么 y5kCD3kDB (k是某个正数)，,即,如果f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个 驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么
20、，当f(x0)是极 大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时， f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值,特殊情况下的最大值与最小值：,应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函 数f(x)确有最大值或最小值，这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值,把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W 最大?其中,解 b 与h 有下面的关系： h 2d 2b 2，,例6,由于梁的最大抗弯截面模量在(0，d)内一定存在，而函数W
21、,在(0，d)内只有一个驻点，,W的值最大这时，,，,于是有,f (x)0，,曲线是凸的,1、函数的单调性与曲线的凹凸性,函数单调增加,曲线是凹的,y=f(x),f (x)0，,f (x)0，,y=f(x),函数单调增加,f (x)0，,复习：,3.6 与函数图像的描绘,函数单调减少,曲线是凹的,y=f(x),f (x)0，,f (x)0，,y=f(x),函数单调减少,曲线是凸的,f (x)0，,f (x)0，,x1,x2,x3,f(x3),(x2, f(x2),极大值,极小值,极小值点,极大值点,拐点,y=f(x),f(x1),f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,2、极值点
22、、极值与拐点,观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两 侧(或两点间)曲线有什么特点？ 函数的图形有无渐近线？有无 对称性？,观察与思考：,观察函数的图形，在图形上有哪些关键的点？关键点的两侧(或两点间)曲线有什么特点？ 函数的图形有无渐近线？有无对称性？,观察与思考：,x=1是函数的间断点，,无极值点和拐点,画函数的图形都要考虑什么？,(1)确定函数的定义域；(2)观察函数y=f(x)是否具有奇偶性、周期性；(3)求出一阶、二阶导数为零的点和一阶、二阶导数不存在 的点；(4)列表， 确定曲线的单调性、极值点和极值，确定曲线的 凹凸性和拐点；(5)确定曲线有无渐近线；(6)确定一些特
23、殊点(曲线与坐标轴的交点等);(7)在直角坐标系中，描出所有关键性的点，画出渐近线，最后按照曲线的性态逐段描绘,描绘函数图形的一般步骤：,(4)计算特殊点：f(0)1； f(1)0.,解 (1)函数的定义域为(，)，(2) f (x)3x22x1(3x1)(x1)，f (x)6x22(3x1) 驻点为x 1/3和x1；二阶导数为零的点为x 1/3(3)列表分析：,f (x),f (x),f (x),(,-1/3),-1/3,(-1/3,1/3),1/3,(1/3， 1),(1， ),1,+,+,-,-,-,0,0,-,-,-,0,+,+,+,x,32/27 极大,0 极小,16/27 拐点,(
24、5)描点连线画出图形：,例1 画出函数yx 3x 2x1的图形,补充： f(3/2)5/8,(5)描点连线画出图形：,(4)计算特殊点：f(0)1； f(1)0,拐点,极大值,极小值,yx 3x 2x1,(3)列表：,解 (1)所给函数的定义域为(-，-3)(-3，+)；,(2),当x=3时，f (x)=0， 当x=6时， f (x)=0；,(-，-3),(-3，3),3,(3，6),6,(6，+),x,f (x),f (x),f (x),-,-,-,-,-,-,-,-,+,+,0,0,4 极大,11/3 拐点,例2,y=1,x = -3,(3,4),(-9,-8),(-1,-8),(-，-3
25、),(-3，3),3,(3，6),6,(6，+),x,f (x),f (x),f (x),-,-,-,-,-,-,-,-,+,+,0,0,4 极大,11/3 拐点,(4) x = -3是曲线的铅直渐近线，y = 1是曲线的水平渐近线；,(5)特殊点：f(0)=1,(6)绘图,补充f(-1)=-8， f(-9)=-8， f(-15)=-11/4；,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,(1),(2),(3),拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:,拐点,(4),3.7 曲 率,s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的 正向一致时s0，相反时s0,显然弧 s
26、是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函数,一、弧微分,设x, x+Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是,下面来求s(x)的导数及微分,1，,因为,因此,由于ss(x)是单调增加函数，从而,于是,ds ,弧微分公式,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。,),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1.曲率的定义,),) j,M1,M2,N1,N2,设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ,平均曲率：,曲
27、率：,曲率的计算公式：,设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数,于是,从而，有,因为tan a y ，所以,注意,(1) 直线的曲率,(2) 圆上各点处的曲率, 直线的曲率处处为零;, 圆上各点处的曲率等于半径的倒数., 圆的半径越小曲率越大.,例1 计算等边双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率,解,因此，y|x11，y|x12,曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为,例2 抛物线yax2bxc上哪一点处的曲率最大？,解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，,代入曲率公式，得,要使K 最大，只须2axb0，,抛物线的顶点因此，抛物线在顶点处的曲率最大，最大曲率为 K|2a| ,对应的点为,曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r 有如下关系：,曲线在M点的曲率中心,三、曲率圆与曲率半径,M,y=f(x),D,r,曲线在M点的曲率半径,曲线在M点的曲率圆,定义,例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2现在要用砂轮磨削其内表面 问用直径多大的砂轮才比较合适？,解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径,y0.8x ，y0.8， y|x00，y|x00.8,抛物线顶点处的曲率半径为,所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长，即直径不得超过 2.50单位长,0.8,把它们代入曲率公式，得,y0.4x 2 ,
