高中数学经典例题.doc

1、高中数学经典例题讲解- 1 -高中数学经典例题讲解典型例题一例 1 下列图形中，满足唯一性的是（ ） A过直线外一点作与该直线垂直的直线B过直线外一点与该直线平行的平面C过平面外一点与平面平行的直线D过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键要注意空间垂直并非一定相关解：A过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面B过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行C过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线

2、都平行于平面所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条D过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条假设空间点 、平面 ，过点 有两条AA直线 、 都垂直于 ，由于 、 为相交直线，不妨设 、 所确定的平面ABABCBC为 ， 与 的交线为 ，则必有 ， ，又由于 、 、 都在平面 内，lll l这样在 内经过 点就有两条直线和直线 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾故选 D说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个它们都是“唯一性”命题，在空

3、间作图题中常常用到典型例题二例 2 已知下列命题：（1 ）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2 ）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3 ）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4 ）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直上述命题正确的是（ ） A （1 ） 、 （2 ） B （2） 、 （3） C （3 ） 、 （4） D （2） 、 （4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时

4、要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形高中数学经典例题讲解- 2 -解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；（2 ）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3 ）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4 ）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性故选 D说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直如在正方体 中， 分别为棱 和 上的点， 为棱 上1DCBAFE、 1ABGBC的点，且 ， ，求 1EF

5、G1典型例题三例 3 如图，在正方体 中， 是 的中点， 是底面正方形1DCBAE1BO的中心，求证： 平面 ABCDOE1分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明 平E面 ，只要在平面 内找两条相交直线与 垂直11ACDO证明：连结 、 、 ，在 中，1B1 分别是 和 的中点，OE、 DB1/ 面 ，A1 为 在面 内的射影1又 ，D 1BA同理可证， C又 ， 、 面 ，11DA11ACD 平面 B ，EO/1高中数学经典例题讲解- 3 - 平面 EO1ACD另证：连结 ， ，设正方体 的棱长为 ，易证 、 O1DBaCEA又 ， 在正方体 中易求出：1DB，a

6、aO262211 ，BE322aaD22211 ，2121EO ， 、 平面 ，ACD11AC1D 平面 OE说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用典型例题四例 4 如图，在 中， ， 平面 ，点 在 和 上的射影分ABC90SABCASC别为 ，求证： NM、 S分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想欲证 ，可证 面 ，为此须证 ，进而可转化为证明SMNN平面 ，而已知 ，所以只要证 即可由于图中线线垂直

7、、线A面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直证明： 面 ， 平面 ，ABCABC ，即 ， ，90S高中数学经典例题讲解- 4 - 平面 BCSA 平面 N 又 ， ，BC 平面 S 平面 ，C ，AN又 ， ，MAN 平面 S 平面 C另证：由上面可证 平面 SBC 为 在平面 内的射影NA ，S M说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的本题若改为下题，想想如何证：已知 所在平面， 为 的直径， 为SAOABOC上任意一点（ 与 不重合） 过点 作

8、的垂面交 、 于点 ，求证：OCBA、 SNM、SAN典型例题五例 5 如图， 为平面 的斜线， 为斜足， 垂直平面 于 点， 为平面ABBAHBC内的直线， ， ， ，求证： HCcoscos分析：本题考查的是线面角的定义和计算要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理证明：过 点作 垂直 于 点，连 DBCAD ，AH 在平面 内射影为 H ， ，BC 在 中有： Rt BAcos在 中有： DH高中数学经典例题讲解- 5 -在 中有： RtABDBAcos由、可得： cos说明：由此题结

9、论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角若平面的斜线与平面所成角为 ，则斜线与平面内其它直线所成角 的范围为 2，典型例题六例 6 如图，已知正方形 边长为 4， 平面 ， ， 分别ABCDGABCD2GFE、是 中点，求点 到平面 的距离ADB、 EF分析：此题是 1991 年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离为此要寻找过点 与平面 平行的直线，因为与平面平EF行的直线上所有点到平面的距离相等证明：连结 ， 和 分别交 于C、 B

10、DAC，连 ，作 于 OH、 GHK 为正方形， 分别为 的中ABDFE、 、点， ， 为 中点EF/AO ， 平面 ， 平面 与平面 的距离就是 点到平面 的距离GEFG ， CBD 面 ， ，A 平面 EFH 平面 ，OKG 又 ， ，EF 平面 即 长就是点 到平面 的距离B正方形边长为 4， ，2CG ， ， 2AHO3在 中， Rt 22高中数学经典例题讲解- 6 -在 中， RtGCH12GCOK说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如本题可用下列证法：延长 交CB的延长线于 ，连结 ，作 于 ，作 交

11、于 ，连结 ，FEMMEBPGBN/MPN再作 于 ，可得 平面 ， 长即为 点到平面 的距离二是PNBFHEF转移法将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离三是体积法已知棱锥的体积和底面的面积求顶点到底面的距离，可逆用体积公式典型例题七例 7 如图所示，直角 所在平面外一点 ，且 ABCSSCBA(1)求证：点 与斜边 中点 的连线 面 ；SD(2)若直角边 ，求证： 面 分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直证明：(1)在等腰 中， 为 中点， SACDACS取 中点 ，连 、 BE ， ， D/BE又 ， 面 ， S 面 （ 、 是面 内两相交直线） (2) ， 又

12、 面 ， ACDS ， 面 SBA说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等典型例题八例 8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知： ， 求证： ba/b分析：由线面垂直的判定定理知，只需在 内找到两条相交直线与 垂直即可b高中数学经典例题讲解- 7 -证明：如图所示，在平面 内作两条相交直线 、 mn ， ， amna又 ，从而有 ， b/b由作图知 、 为 内两条相交直线 说明：本题的结论可以作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不

13、明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直典型例题九例 9 如图所示，已知平面 平面 = ， 为 、 外一点， 于 ，EFAAB于 ， 于 证明： ACDBD分析：先证 、 、 、 四点共面，再证明 平面 ，从而得到ABCDEFABCDEFBD证明： ， ， CAB/ 、 、 、 四点共面 ， ， ， ， 又 ， 平面 ACBEFD DEF说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直本题证明“ 、 、AB、 四点共面”非常重要，仅由 平面 ，就断定 ，则证明是无效ABCBDEF的典型例题十

14、例 10 平面 内有一半圆，直径 ，过 作 平面 ，在半圆上任取一点 ，SM连 、 ，且 、 分别是 在 、 上的射影SMBNHAMB(1)求证： ；S高中数学经典例题讲解- 8 -(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断(1)证明：连 、 如上图所示，AMB 为已知圆的直径， 平面 ， ， SMBSA ， 平面 平面 ， ANN 于 ， ， 平面 SSBSB 于 ，且 是 在平面 的射影， HHANH解(2)：由(1) 知， 平面 ， 平面 ， 平面 MASM

15、且 ， 平面 ，B图中共有 4 个线面垂直关系(3) 平面 ， 、 均为直角三角形SASB 平面 ， 、 均为直角三角形M 平面 ， 、 、 均为直角三角形NANNH 平面 ， 、 、 、 均为直角三角形HSB综上，图中共有 11 个直角三角形(4)由 平面 知， ， ， SMSAM由 平面 知， ， ， BB由 平面 知， ， ， A由 平面 知， ， NHN综上，图中共有 11 对互相垂直的直线说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2) 的答案，由 “线 面”可得到“线面内线” ，当“线 面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线 面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一

16、对直线典型例题十一例 11 如图所示， 在平面 内， 是 的斜线，90BACPA求 与平面 所成的角60PAB高中数学经典例题讲解- 9 -分析：求 与平面 所成角，关键是确定 在平面 上射影 的位置由PAPAAO，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定 位置，构造直CB角三角形则需用三垂线定理解：如图所示，过 作 于 连结 ，O则 为 在面 上的射影， 为 与平面 所成的角O作 ，由三重线定理可得 MCM作 ，同理可得 ABNABPN由 ， ， ，CP90PA可得 ， 、 分别为 、 在 内射影， ON所以点 在 的平分线上O设 ，又 ， ， ，aA60aA2145 aM2在 中，

17、，POA2cosPAO ，即 与 所成角为 4545说明：(1)本题在得出 在面 上的射影为 的平分线后，可由公式BC来计算 与平面 所成的角，此时 ， ，coscos 60PAPAO45CAO(2)由 与平面 上射影为 平分线还可推出下面结论：四面体 中，若PABC， ，则点 在面 上的射影为 的内心BPBCBC典型例题十二例 12 如图所示，在平面 内有 ，在平面 外有点 ，斜线 ，ASA，且斜线 、 分别与平面 所成的角相等，设点 与平面 的距离为 ，BCSSABcm4，且 求点 与直线 的距离Acm6SB高中数学经典例题讲解- 10 -分析：由点 向平面 引垂线，考查垂足 的位置，连

18、、 ，推得 ，SDBDAC，又 ，故 、 、 、 为矩形的四个顶点BCD90ABC解：作 平面 ，垂足为 ，连 、 A ， ，S由三垂线定理的逆定理，有： ， ，B又 ， 为矩形BAD又 ， ， 为正方形，BAC 、 互相垂直平分C设 为 、 的交点，连结 ，OSO根据三垂线定理，有 ，则 为 到 的距离A在 中， ， ，SRtcm4cm321 c5因此，点 到 的距离为 AB5说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求(2)若点在直线所在平面外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则

19、这点与斜足的距离为点到直线的距离(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算典型例题十三例 13 如图， 是正方形， 垂直于平面 ，过 且垂直于 的平面交ABCDSABCDASC、 、 分别于点 、 、 ，求证： ， SBEFGSEG分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可欲证 ，可证 平面SBAEAE，为此须证 、 ，进而转化证明 平面 、 平面SBCBCAESCCAEFG证明： 平面 ， 平面 ，DBD高中数学经典例题讲解- 11 -

20、BCSA又 为正方形，D 平面 平面 ，E 又 平面 ，SCAFG 平面 B又 平面 ， ，同理可证 ESD说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性典型例题十四例 14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上已知： 在平面 内，点 ， ， ， ，垂足分别BACPABECPFO是 、 、 ， 求证： EFOFPO证明： ，PO 为 在

21、内的射影E ， ，AB平 面 同理可证： FC又 ， ， ，POPOE 说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知， 为平面 外一点， ，求 与平面 所成90ACBSACB60SCBASACB角典型例题十五高中数学经典例题讲解- 12 -例 15 判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打 “”号(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 （ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条

22、直线和这个平面垂直 （ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 （ ）(4)过点 垂直于直线 的所有直线都在过点 垂直于 的平面内 （ ）AaA(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 （ ）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行 异面，因此应打“”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，则该命题应打“” ，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“”号(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，

23、则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“” (4)前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点 垂直于直线 的平面惟一，因此，Aa过点 且与直线 垂直的直线都在过点 且与直线 垂直的平面内，该命题应打“”Aaa号(5)三条共点直线两两垂直，设为 ， ， 且 ， ， 共点于 ，abccO ， ， ，且 ， 确定一平面，设为 ，则 ，bc0a同理可知 垂直于由 ， 确定的平面， 垂直于由了确定的平面，该命题应打“”号说明：本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透

24、彻、相关知识能灵活运用典型例题十六例 16 如图，已知空间四边形 的边 ， ，引 ，ABCDABDCE为垂足，作 于 ，求证： EEAHH平 面分析：若证 ，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证 垂直平面BCDAH平 面 AH中两条相交直线即可BCD高中数学经典例题讲解- 13 -证明：取 中点 ，连 、 ，ABFCD ， C又 ， ， ，DABCF平 面又 ，平 面又 ， ， ，BECE平 面 AHD又 ， AHBC平 面典型例题十七例 17 如果平面 与 外一条直线 都垂直 ，那么 ab/a已知：直线 ， ， 求证： ab直 线分析：若证线面平行，只须设法在平面 内找到一条直线 ，使得 ，

25、由线面平行 /a判定定理得证证明：(1)如图，若 与 相交，则由 、 确定平面 ，设 abab/, aaba又(2)如图，若 与 不相交，则在 上任取一点 ，过 作 ， 、 确定平面 ，设 Ab/ a高中数学经典例题讲解- 14 -/,/ aaabab 又又 又典型例题十八例 18 如图，已知在 中， ，线段 ，ABC60ABCD平 面， 为垂足DAH平 面求证： 不可能是 的垂心分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明证明：如图所示，假设 是 的垂心，则 HDBCDCH ， ，A平 面A ， DC平 面又 ， ，B平 面 ，A平 面 ，这与已知 矛盾，C60C假设不成立，故 不可能是 的

26、垂心HD说明：本题只要满足 ，此题的结论总成立不妨给予证明9B典型例题十九例 19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ） 平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一个平面的两条直线互相平行垂直于不一个平面的两条直线互相平行A仅不正确 B 仅 、正确C仅 正确 D四个命题都正确高中数学经典例题讲解- 15 -分析：该命题就是平行公理，即课本中的公理 4，因此该命题是正确的； 如图，直线平面 ， ， ，且 ，则 ， ，即平面 内两条直交直线abcAcbbac， 都垂直于同一条直线 ，但 ， 的位置关系并不是平行另外， ， 的位置关系也bca bc可以是异面，如果把

27、直线 平移到平面 外，此时与 的位置关系仍是垂直，但此时， ，b的位置关系是异面如图，在正方体 中，易知 ，1DCBAABCD平 面/1，但 ，因此该命题是错误的ABCD平 面/11该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的综上可知、正确应选 B典型例题二十例 20 设 ， 为异面直线， 为它们的公垂线abAB(1)若 ， 都平行于平面 ，则 ；(2)若 ， 分别垂直于平面 、 ，且 ，则 cAB/分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明 ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明 /图 图证明：(1)如图 1，在 内任取一点 ，设直线 与点 确定的平面与平面

28、的交线为PaP，a设直线 与点 确定的平面与平面 的交线为bPb ， ， ，/a/b高中数学经典例题讲解- 16 -又 ， ， ， ，aABbaABb (2)如图 2，过 作 ，则 ， /则 又 ， 垂直于由 和 确定的平面bABbB ， ， ， c c 也垂直于由 和 确定的平面c故 AB/说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直如题中，通过作出辅助线 ，构造出平面，即由相B交直线 与 确定的平面然后借助于题目中的其他垂直关系证得b典型例题二十一例 21 如图，在正方体 中， 为异面直线 与 的公垂线，1DCBAEFDA

29、1C求证： 1/BDEF分析：证明 ，构造与 、 都垂直的平面是关键由于 是 和1/BDEFEF1BDEFAC的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用DA1证明：连结 ，由于 ， ，1C1/AC EF又 ， ，DA11 C平 面 ， ，11B平 面1DCBA平 面高中数学经典例题讲解- 17 - 1CAB四边形 为正方形，D ， ，11 1B ，CA平 面而 ， DB11平 面11CA同理 ， ， 11平 面由、可知： /BDEF典型例题二十二例 22 如图，已知 为 外一点， 、 、 两两垂直，PACPBC，求 点到平面 的距离aCPBA分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步

30、求出垂线段的长解：过 作 于 点，连 、 、 ，PABCO平 面AOBC ， ， P ，aA ， ， 为 的外心BC 、 、 两两垂直，P ， 为正三角形，aA2BC ， O36aAOP32因此点 到平面 的距离 PABCa高中数学经典例题讲解- 18 -说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函数知识(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法

31、之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结典型例题二十三例 23 如图，已知在长方体 中，棱 ， ，求直线1DCBA51A2B和平面 的距离1CB1DA分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解解：如图， ，且 ， ，BC/1 11BCDA平 面1BCDA平 面 1/DAB平 面从而点 到平面 的距离即为所求1过点 作 于 ，1E ，且 ，1ABC平 面 BAE1平 面 1又 ， 11BCDAE平 面即线段 的长即为所求，在 中， ，Rt113602511 高中数学经典例题讲解- 19 -直线 到平面 的距离为 1

32、CB1DA360说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解典型例题二十四例 24 、 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为ADBC， ， ， 求线段 的长30cm8BC分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线 、 所成的角、垂直关ADBC系转化到某一个或某几个平面内，应用平面几何有关知识计算出 之长解：如图，在平面 内，过 作 ，过 作 ，两线交于 ABC

33、E/ABE/E ，BCAE/ 就是 、 所成的角，D30 ，四边形 是矩形连 ，D ， ，且 ，CBEC 平 面 ， ， AE/平 面DE平 面A在 中，得 ， DRt34)(34cmABC说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段20典型例题一例 1 解不等式：（1） 01523x；（2） 0)2(5)4(3xx分析：如果多项式 )(xf可分解为 n个一次式的积，则一元高次不等式 f（或 0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：（1）原不等式可化为 0)3(52x把方程 的

34、三个根 3,25,01xx顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为 3025xx或（2 ）原不等式等价于 2450)2(45)(32xx或原不等式解集为 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图典型例题二例 2 解下列分式不等式：（1 ） 213x； （2 ） 127342x分析：当分式不等式化为 )0()或gf时，要注意它的等价变形 ()0)(xfxgf21 0)(0)()(0)(0)( xgfxfxgfxgfxgf 或或

35、（1 ）解：原不等式等价于 0)2()(160)2(165)()(30232xxxxx用“穿根法”原不等式解集为 ,),(。（2 ）解法一：原不等式等价于 027312x212307307)(13(22xxxx或或 或原不等式解集为 ),(),3,(。解法二：原不等式等价于 0)2(13x)(1)2(xx用“穿根法”原不等式解集为 ),2()1,3,(典型例题三例 3 解不等式 242x22分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0(a二是根据绝对值的性质： axaxax.,或 ，因此本题有如下两种解法解法一：原不等式 240202 xx或即 12x或

36、或或 3或 21故原不等式的解集为 3x解法二：原不等式等价于 24)(2x即 )2(42x 31x故或 典型例题四例 4 解不等式 0412562x分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于 x二次式的商，由商的符号法则，它等价于下列两个不等式组： 0412562x或 0415622x所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集也可用数轴标根法求解解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：0412,562x 或 041,5622x;)6(,或 ;)6(,；2,51x或 ,251x或或23,51x或 2或 6x原不等式解集是 651x， 或， 或 解法二：原不等式化为 0)6(2x画数

37、轴，找因式根，分区间，定符号 )6(251x符号原不等式解集是 6512xx， 或， 或 说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组的解的并集，否则会产生误解解法二中， “定符号”是关键当每个因式 x的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含的区间符号，其他各区间正负相间在解题时要正确运用典型例题五例 5 解不等式 xx223分析：不等式左右两边都是含有 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0 再解解：移项整理，将原不等式化为 0)1(3(2x由 012x恒成立，知原不等式等价于 )(解之，得原不等式的解集为 321xx或

38、 说明：此题易出现去分母得 )(22的错误解法避免误解的方法是移项使一边为再解另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理典型例题六例 6 设 Rm，解关于 x的不等式 032mx24分析：进行分类讨论求解解：当 0m时，因 03一定成立，故原不等式的解集为 R当 时，原不等式化为 0)1(mx；当 时，解得 x；当 0m时，解得 31当 时，原不等式的解集为 mx1；当 0m时，原不等式的解集为 x3说明：解不等式时，由于 Rm，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解因为当 0m时，原不等式化为 3，此时不等式的解集为 ，所以解题时应分

39、 0m与 两种情况来讨论在解出 02x的两根为 x31， 12后，认为 13，这也是易出现的错误之处这时也应分情况来讨论：当 时， ；当 时， 典型例题七例 7 解关于 x的不等式 )0(12axax分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解解：原不等式 ;)1(2,0)1(22xax或 .01,(2x由 0a，得： ;01)(2,)1(2axx.1,2)(xa由判别式 84)(a，故不等式 0)(22a的解是xa2121当 0时， 1a， 12a，不等式组(1)的解是 121xa，不等式组(2) 的解是 x当 2a时，不等式组(1)无解， (2)的解是 x25综上可知，当

40、20a时，原不等式的解集是 ,21a；当 2时，原不等式的解集是,2a说明：本题分类讨论标准“ 20a， ”是依据“ 已知 0a及(1)中 2ax， 1，(2)中2ax， 1”确定的解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热点一般地，分类讨论标准（解不等式）大多数情况下依“不等式组中的各不等式的解所对应的区间的端点”去确定本题易误把原不等式等价于不等式 )1(2xax纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法典型例题八例 8 解不等式 31042x分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可解答：去掉绝对值号得 31042x，原不等式等价于不

41、等式组 06143104322 xx.32,5)(5xx或原不等式的解集为 32501x或 说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解典型例题九例 9 解关于 x的不等式 0)(322ax分析：不等式中含有字母 a，故需分类讨论但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程 0)(322a的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母 a，故需比较两根的大小，从而引出讨论26解：原不等式可化为 0)(2ax(1)当 2a（即 1或 ）时，不等式的解集为： 2ax或；(2)当 2a（即 10）时，不等式的解集为：

42、axx或2；(3)当 2a（即 0或 1）时，不等式的解集为： axR且说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根 1， 2，因此不等式的解就是 x小于小根或 x大于大根但 a与 2两根的大小不能确定，因此需要讨论 a， 2， 2a三种情况说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负，求出相应的方程的根；(2)结合使用韦达定理，本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 ， b， c的关系也用 ， 表示出来；(3)注意解法 2 中用“变换”的方法求方程的根典型例题十

43、二例 12 若不等式 122xbxa的解为 )1()3(， ，求 a、 b的值分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于 a、 b式子解： 043)1(22x，1，原不等式化为 0)()2(2baxba依题意 34210ba， 25说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解27典型例题十三例 13 不等式 02bxa的解集为 21x，求 a与 b的值分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为 21x，不等式 02bxa需满足条件 0a， ， 02bxa的两根为 1x， 2解法一：设 2x的两根为 ， 2，由韦达定理得：ax2

44、1由题意： 1a ， b，此时满足 0， 0)2(42ab解法二：构造解集为 1x的一元二次不等式：0)2(1x，即 02，此不等式与原不等式 02bxa应为同解不等式，故需满足： ba 1a， b说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好典型例题四例 4 设 Rx，比较 x1与 的大小解：作差 )(2，1）当 0x时，即 012x， x1；2）当 x，即 时，2x， x1；283）当 01x但 ，即 01x或 时， 012x， 说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号此时要注意分类合理恰当典型例题五典型例题七典型例题十一例 11