1、 你的首选资源互助社区- 1 -例 1 判定以下关系是否正确()a(2)1，2，33，2，130(4)00(5)6分析 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集解 根据子集、真子集以及集合相等的概念知是正确的，后两个都是错误的说明：含元素 0 的集合非空例 2 列举集合1，2，3的所有子集分析 子集中分别含 1，2，3 三个元素中的 0 个，1 个，2 个或者 3 个解 含 有 个 元 素 的 子 集 有 ： ；含有 1 个元素的子集有1，2，3；含有 2 个元素的子集有1，2 ，1，3，2 ，3；含有 3 个元素的子集有1，2，3共有子集 8 个说 明 ： 对 于 集 合 ， 我 们
2、把 和 叫 做 它 的 平 凡 子 集 A例 已 知 ， ， ， ， ， 则 满 足 条 件 集 合 的 个 数 为 ababcdA_分析 A 中必含有元素 a，b，又 A 是a ，b，c，d真子集，所以满足条件的 A有：a ， b，a ，b，ca，b， d答 共 3 个说明：必须考虑 A 中元素受到的所有约束例 设 为 全 集 ， 集 合 、 ， 且 ， 则4 UMNU 分析 作出 4 图形答 选 C说明：考虑集合之间的关系，用图形解决比较方便 你的首选资源互助社区- 2 -点击思维例 5 设集合 Ax|x 54aa 2，a R ，By|y4b 24b2，bR ，则下列关系式中正确的是 B
3、ACD 分析 问题转化为求两个二次函数的值域问题，事实上x54aa 2(2a) 21 1，y4b 24b2(2b1) 211，所以它们的值域是相同的，因此 AB答 选 A说明：要注意集合中谁是元素M 与 P 的关系是 AM UP BMPC D 分析 可以有多种方法来思考，一是利用逐个验证(排除)的方法；二是利用补集的性质：M UN U( UP)P；三是利用画图的方法答 选 B说明：一题多解可以锻炼发散思维例 7 下列命题中正确的是 A U( UA)A 你的首选资源互助社区- 3 -BABC12A 若 ， 则 若 ， ， ， 则 D3x|B 若 ， ， ， ， 则 分析 D 选择项中 AB 似乎
4、不合常规，而这恰恰是惟一正确的选择支 选 择 支 中 ， 中 的 元 素 ， ， 即 是 集 合 的 子 集 ， 而 的 子A集 有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而1231232123B是由这所有子集组成的集合，集合 A 是其中的一个元素AB答 选 D说明：选择题中的选项有时具有某种误导性，做题时应加以注意例 8 已知集合 A2，4，6，8，9，B1 ，2 ，3，5，8，又知非空集合 C是这样一个集合：其各元素都加 2 后，就变为 A 的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 B 的一个子集，求集合 C分析 逆向操作：A 中元素减 2 得 0，2 ，4，6，7 ，则 C
5、 中元素必在其中；B中元素加 2 得 3，4 ，5，7，10，则 C 中元素必在其中；所以 C 中元素只能是 4 或7答 C4或7或4，7说明：逆向思维能力在解题中起重要作用例 9 设 S1，2 ，3，4，且 MxS|x 25x p0 ，若 SM1，4，则p_ 分析 本题渗透了方程的根与系数关系理论，由于 SM1 ，4，且 ，MSM 2 ，3 则由韦达定理可解答 p2 3 6说明：集合问题常常与方程问题相结合例 10 已知集合 S2，3，a 22a3，A|a1|，2， SAa3，求 a的值S 这个集合是集合 A 与集合 SA 的元素合在一起“补成”的，此外，对这类字母的集合问题，需要注意元素的
6、互异性及分类讨论思想方法的应用解 由补集概念及集合中元素互异性知 a 应满足 你的首选资源互助社区- 4 -()1a3 |2a3 a 2 或 (2)33 |1| a2 2在(1)中，由 得 a0 依次代入检验，不合，故舍去在(2)中，由 得 a3，a2，分别代入检验，a3 不合，故舍去，a 2 能满足 故 a2 符合题意说明：分类要做到不重不漏例 年 北 京 高 考 题 集 合 ， ， 1 (9)Mx| kZN24x| kZ ， 则42 AM NBC DM 与 N 没有相同元素分析 分别令 k，1，0，1 ，2，3 ，得 N ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，易 见 ， 454
7、72答 选 C说明：判断两个集合的包含或者相等关系要注意集合元素的无序性 你的首选资源互助社区- 5 -典型例题一例 1 下列图形中，满足唯一性的是（ ） A过直线外一点作与该直线垂直的直线B过直线外一点与该直线平行的平面C过平面外一点与平面平行的直线D过一点作已知平面的垂线分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键要注意空间垂直并非一定相关解：A过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面B过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和
8、该直线平行C过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条D过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条假设空间点 、平面 ，过点 有两条AA直线 、 都垂直于 ，由于 、 为相交直线，不妨设 、 所确定的平面ABABCBC为 ， 与 的交线为 ，则必有 ， ，又由于 、 、 都在平面 内，lll l这样在 内经过 点就有两条直线和直线 垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾故选 D说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知
9、直线的垂面也是有且仅有一个它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到典型例题二例 2 已知下列命题：（1 ）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；（2 ）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；（3 ）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；（4 ）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直上述命题正确的是（ ） A （1 ） 、 （2 ） B （2） 、 （3） C （3 ） 、 （4） D （2） 、 （4）分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单
10、应用应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系； 你的首选资源互助社区- 6 -（2 ）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；（3 ）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；（4 ）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性故选 D说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直如在正方体 中， 分别为棱 和 上的点， 为棱 上
11、1DCBAFE、 1ABGBC的点，且 ， ，求 1EFG1典型例题三例 3 如图，在正方体 中， 是 的中点， 是底面正方形1DCBAE1BO的中心，求证： 平面 ABCDOE1分析：本题考查的是线面垂直的判定方法根据线面垂直的判定方法，要证明 平E面 ，只要在平面 内找两条相交直线与 垂直11ACDO证明：连结 、 、 ，在 中，1B1 分别是 和 的中点，OE、 DB1/ 面 ，A1 为 在面 内的射影1又 ，D 1BA同理可证， C又 ， 、 面 ，11DA11ACD 平面 B 你的首选资源互助社区- 7 - ，EODB/1 平面 1AC另证：连结 ， ，设正方体 的棱长为 ，易证 、
12、 1DBaCEA又 ， OE在正方体 中易求出：1DB，aa262211 ，OBE322aaD22211 ，2121E O ， 、 平面 ，ACD11AC1D 平面 E说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用典型例题四例 4 如图，在 中， ， 平面 ，点 在 和 上的射影分ABC90SABCASC别为 ，求证： NM、 S分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想欲证 ，可证 面 ，为此须证 ，进而可转化为证明
13、SMNN平面 ，而已知 ，所以只要证A即可由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，B所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直 你的首选资源互助社区- 8 -证明： 面 ， 平面 ，SABCABC ，即 ， ，90S 平面 平面 NS ABC又 ， ，BC 平面 平面 ，S ，N又 ， ，AMAN 平面 C 平面 S另证：由上面可证 平面 SBC 为 在平面 内的射影NA ， CM说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的本题若改为下题，想想如何证：已知 所在平面， 为 的直径，
14、 为SAOABOC上任意一点（ 与 不重合） 过点 作 的垂面交 、 于点 ，求证：OBA、 SNM、SAN典型例题五例 5 如图， 为平面 的斜线， 为斜足， 垂直平面 于 点， 为平面ABBAHBC内的直线， ， ， ，求证： HCcoscos分析：本题考查的是线面角的定义和计算要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理证明：过 点作 垂直 于 点，连 DBCAD ，AH 在平面 内射影为 H ， ，BC 你的首选资源互助社区- 9 -在 中有： RtABHBAcos在 中有： D在 中
15、有： tcs由、可得： coso说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角若平面的斜线与平面所成角为 ，则斜线与平面内其它直线所成角 的范围为 2，典型例题六例 6 如图，已知正方形 边长为 4， 平面 ， ， 分别ABCDGABCD2GFE、是 中点，求点 到平面 的距离ADB、 EF分析：此题是 1991 年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离为此要寻找过点 与平面 平行的直线，因为与平面平EF行的直线上所有点到平面的
16、距离相等证明：连结 ， 和 分别交 于C、 BDAC，连 ，作 于 OH、 GHK 为正方形， 分别为 的中ABDFE、 、点， ， 为 中点EF/AO ， 平面 ， 平面 与平面 的距离就是 点到平面 的距离GEFG ， CBD 面 ， ，A 平面 EFH 平面 ，OKG 又 ， ，EF 平面 你的首选资源互助社区- 10 -即 长就是点 到平面 的距离OKBGEF正方形边长为 4， ，2C ， ， 2AH3在 中， Rt 22在 中， tGC1GCOK说明：求点到平面的距离常用三种方法：一是直接法由该点向平面引垂线，直接计算垂线段的长用此法的关键在于准确找到垂足位置如本题可用下列证法：延
17、长 交CB的延长线于 ，连结 ，作 于 ，作 交 于 ，连结 ，FEMMEBPGBN/MPN再作 于 ，可得 平面 ， 长即为 点到平面 的距离二是PNBHHFEF转移法将该点到平面的距离转化为直线到平面的距离三是体积法已知棱锥的体积和底面的面积求顶点到底面的距离，可逆用体积公式典型例题七例 7 如图所示，直角 所在平面外一点 ，且 ABCSSCBA(1)求证：点 与斜边 中点 的连线 面 ；SD(2)若直角边 ，求证： 面 分析：由等腰三角形底边上的中线得到线线垂直，从而得到线面垂直证明：(1)在等腰 中， 为 中点， SACDACS取 中点 ，连 、 BE ， ， D/BE又 ， 面 ，
18、S 面 （ 、 是面 内两相交直线） (2) ， 又 面 ， ACDS ， 面 SBA说明：证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直 你的首选资源互助社区- 11 -等典型例题八例 8 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面已知： ， 求证： ba/b分析：由线面垂直的判定定理知，只需在 内找到两条相交直线与 垂直即可b证明：如图所示，在平面 内作两条相交直线 、 mn ， ， amna又 ，从而有 ， b/b由作图知 、 为 内两条相交直线 说明：本题的结论可以
19、作为判定线面垂直的依据，即当要证的直线与平面的垂直关系不明确或不易证出时，可以考虑证明与已知直线平行的直线与平面垂直典型例题九例 9 如图所示，已知平面 平面 = ， 为 、 外一点， 于 ，EFAAB于 ， 于 证明： ACDBD分析：先证 、 、 、 四点共面，再证明 平面 ，从而得到ABCDEFABCDEFBD证明： ， ， CAB/ 、 、 、 四点共面 ， ， ， ， 又 ， 平面 ACBEFD DEF说明：与线面平行和线线平行交替使用一样，线面垂直和线线垂直也常互为条件和结论即要证线面垂直，先找线线垂直；要证线线垂直，先找线面垂直本题证明“ 、 、AB 你的首选资源互助社区- 12
20、 -、 四点共面”非常重要，仅由 平面 ，就断定 ，则证明是无效CDEFABCBDEF的典型例题十例 10 平面 内有一半圆，直径 ，过 作 平面 ，在半圆上任取一点 ，SM连 、 ，且 、 分别是 在 、 上的射影SMBNHAMB(1)求证： ；S(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？分析：注意利用直线与直线、直线与平面垂直的有关知识进行判断(1)证明：连 、 如上图所示，AMB 为已知圆的直径， 平面 ， ， SMBSA ， 平面 平面 ， ANN 于 ， ， 平面 SSBSB 于 ，且 是 在平面 的射影， HH
21、ANH解(2)：由(1) 知， 平面 ， 平面 ， 平面 MASM 且 ， 平面 ，B图中共有 4 个线面垂直关系(3) 平面 ， 、 均为直角三角形SASB 平面 ， 、 均为直角三角形M 平面 ， 、 、 均为直角三角形NANNH 平面 ， 、 、 、 均为直角三角形HSB综上，图中共有 11 个直角三角形(4)由 平面 知， ， ， SMSAM由 平面 知， ， ， BB由 平面 知， ， ， A由 平面 知， ， NHN综上，图中共有 11 对互相垂直的直线说明：为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2) 的答案，由 “线 面”可得到“线面内线” ，当“线 面内线”且相交时
22、，可得到直角三角形；当“线 面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线 你的首选资源互助社区- 13 -典型例题十一例 11 如图所示， 在平面 内， 是 的斜线，90BACPA求 与平面 所成的角60PAB分析：求 与平面 所成角，关键是确定 在平面 上射影 的位置由PAPAAO，可考虑通过构造直角三角形，通过全等三角形来确定 位置，构造直CB角三角形则需用三垂线定理解：如图所示，过 作 于 连结 ，O则 为 在面 上的射影， 为 与平面 所成的角O作 ，由三重线定理可得 MCM作 ，同理可得 ABNABPN由 ， ， ，CP90PA可得 ， 、 分别为 、 在 内射影， ON所以点 在
23、 的平分线上O设 ，又 ， ， ，aA60aA2145 aM2在 中， ，POA2cosPAO ，即 与 所成角为 4545说明：(1)本题在得出 在面 上的射影为 的平分线后，可由公式BC来计算 与平面 所成的角，此时 ， ，coscos 60PAPAO45CAO(2)由 与平面 上射影为 平分线还可推出下面结论：四面体 中，若PABC， ，则点 在面 上的射影为 的内心BPBCBC典型例题十二 你的首选资源互助社区- 14 -例 12 如图所示，在平面 内有 ，在平面 外有点 ，斜线 ，ABCSAC，且斜线 、 分别与平面 所成的角相等，设点 与平面 的距离为 ，BCSSA cm4，且 求
24、点 与直线 的距离Acm6S分析：由点 向平面 引垂线，考查垂足 的位置，连 、 ，推得 ，SDBDAC，又 ，故 、 、 、 为矩形的四个顶点BCD90ABC解：作 平面 ，垂足为 ，连 、 A ， ，S由三垂线定理的逆定理，有： ， ，B又 ， 为矩形BAD又 ， ， 为正方形，BAC 、 互相垂直平分C设 为 、 的交点，连结 ，OSO根据三垂线定理，有 ，则 为 到 的距离A在 中， ， ，SRtcm4cm321 c5因此，点 到 的距离为 AB5说明：由本例可得到点到直线距离的作法：(1)若点、直线在确定平面内，可直接由点向直线引垂线，这点和垂足的距离即为所求(2)若点在直线所在平面
25、外，可由三垂线定理确定：由这点向平面引垂线得垂足，由垂足引直线的垂线得斜足，则这点与斜足的距离为点到直线的距离(3)处理距离问题的基本步骤是：作、证、算，即作出符合要求的辅助线，然后证明所作距离符合定义，再通过解直角三角形进行计算典型例题十三例 13 如图， 是正方形， 垂直于平面 ，过 且垂直于 的平面交ABCDSABCDASC、 、 分别于点 、 、 ，求证： ， SBEFGSEG 你的首选资源互助社区- 15 -分析：本题考查线面垂直的判定与性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想由于图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可欲证 ，可证 平面SBAEAE，为此须证 、 ，进而转化证
26、明 平面 、 平面SBCBCAESCCAEFG证明： 平面 ， 平面 ，DBD 又 为正方形， B 平面 CAS 平面 ，E 又 平面 ，FG 平面 SB又 平面 ，C ，同理可证 AESDA说明：(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直(2)本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性典型例题十四例 14 如图，求证：如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上已知： 在平面 内，点 ， ， ， ，垂足分
27、别BACPABECPFO是 、 、 ， 求证： EFOFPO证明： ，PO 为 在 内的射影E ， ，AB平 面 你的首选资源互助社区- 16 - OEAB同理可证： FC又 ， ， ，PPOE 说明：本题是一个较为典型的题目，与此题类似的有下面命题：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线，使斜射线和这个角两边的夹角相等，则斜射线在平面内的射影，是这个角的平分线所在的直线由此结论和上一个例题很容易求解下面这道题：已知， 为平面 外一点， ，求 与平面 所成90ACBSACB60SCBASACB角典型例题十五例 15 判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打 “”号(1)一条直线和一个平面平行
28、，它就和这个平面内的任何直线平行 （ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 （ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 （ ）(4)过点 垂直于直线 的所有直线都在过点 垂直于 的平面内 （ ）AaA(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 （ ）解：(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行 异面，因此应打“”号(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，则该命题应打“” ，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则
29、该命题应打“”号(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“” (4)前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点 垂直于直线 的平面惟一，因此，Aa过点 且与直线 垂直的直线都在过点 且与直线 垂直的平面内，该命题应打“”Aaa号(5)三条共点直线两两垂直，设为 ， ， 且 ， ， 共点于 ，abccO ， ， ，且 ， 确定一平面，设为 ，则 ，bc0a同理可知 垂直于由 ， 确定的平面， 垂直于由了确定的平面，该命题应打“”号说明：本题是利
30、用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用典型例题十六例 16 如图，已知空间四边形 的边 ， ，引 ，ABCDABDCE 你的首选资源互助社区- 17 -为垂足，作 于 ，求证： EBEAHBCDAH平 面分析：若证 ，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证 垂直平面BCDAH平 面 AH中两条相交直线即可BCD证明：取 中点 ，连 、 ，F ， 又 ， ， ，CDFA平 面又 ，C平 面BD又 ， ， ，BEDE平 面 H又 ， AH平 面典型例题十七例 17 如果平面 与 外一条直线 都垂直 ，那么 ab/a已知：直线
31、 ， ， 求证： ab直 线分析：若证线面平行，只须设法在平面 内找到一条直线 ，使得 ，由线面平行 /a判定定理得证证明：(1)如图，若 与 相交，则由 、 确定平面 ，设 abab/, aaba又(2)如图，若 与 不相交， 你的首选资源互助社区- 18 -则在 上任取一点 ，过 作 ， 、 确定平面 ，设 aAb/a a/,/ aaabab 又又 又典型例题十八例 18 如图，已知在 中， ，线段 ，ABC60ABCD平 面， 为垂足DAH平 面求证： 不可能是 的垂心分析：根据本题所证结论，可采用反证法予以证明证明：如图所示，假设 是 的垂心，则 HDBCDCH ， ，A平 面A ，
32、DC平 面又 ， ，B平 面 ，A平 面 ，这与已知 矛盾，C60C假设不成立，故 不可能是 的垂心HD说明：本题只要满足 ，此题的结论总成立不妨给予证明9B 你的首选资源互助社区- 19 -典型例题十九例 19 在空间，下列哪些命题是正确的（ ） 平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一个平面的两条直线互相平行垂直于不一个平面的两条直线互相平行A仅不正确 B 仅 、正确C仅 正确 D四个命题都正确分析：该命题就是平行公理，即课本中的公理 4，因此该命题是正确的； 如图，直线平面 ， ， ，且 ，则 ， ，即平面 内两条直交直线abcAcbbac， 都垂直
33、于同一条直线 ，但 ， 的位置关系并不是平行另外， ， 的位置关系也bca bc可以是异面，如果把直线 平移到平面 外，此时与 的位置关系仍是垂直，但此时， ，b的位置关系是异面如图，在正方体 中，易知 ，1DCBAABCD平 面/1，但 ，因此该命题是错误的ABCD平 面/11该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的综上可知、正确应选 B典型例题二十例 20 设 ， 为异面直线， 为它们的公垂线abAB(1)若 ， 都平行于平面 ，则 ；(2)若 ， 分别垂直于平面 、 ，且 ，则 cAB/分析：依据直线和平面垂直的判定定理证明 ；证明线与线的平行，由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线
34、面垂直的性质证明 / 你的首选资源互助社区- 20 -图 图证明：(1)如图 1，在 内任取一点 ，设直线 与点 确定的平面与平面 的交线为PaP，a设直线 与点 确定的平面与平面 的交线为bPb ， ， ，/a/b又 ， ， ， ，aABAB (2)如图 2，过 作 ，则 ， a/则 又 ， 垂直于由 和 确定的平面bABbB ， ， ， c c 也垂直于由 和 确定的平面c故 AB/说明：由第(2)问的证明可以看出：利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造出平面，使所证线皆与该平面垂直如题中，通过作出辅助线 ，构造出平面，即由相B交直线 与 确定的平面然后借助于题目中的其他垂直关系
35、证得b典型例题二十一例 21 如图，在正方体 中， 为异面直线 与 的公垂线，1DCBAEFDA1C求证： 1/BDEF 你的首选资源互助社区- 21 -分析：证明 ，构造与 、 都垂直的平面是关键由于 是 和1/BDEFEF1BDEFAC的公垂线，这一条件对构造线面垂直十分有用DA1证明：连结 ，由于 ， ，1C1/AC EF又 ， ，DA11 C平 面 ， ，11B平 面1DCBA平 面 A四边形 为正方形，1DC ， ，1B1B ，A1平 面而 ， D1平 面11CA同理 ， ，1BC 1平 面由、可知： 1/DEF典型例题二十二例 22 如图，已知 为 外一点， 、 、 两两垂直，PA
36、BCPBC，求 点到平面 的距离aCPBA 你的首选资源互助社区- 22 -分析：欲求点到平面的距离，可先过点作平面的垂线，进一步求出垂线段的长解：过 作 于 点，连 、 、 ，PABCO平 面AOBC ， ， P ，aA ， ， 为 的外心BC 、 、 两两垂直，P ， 为正三角形，aA2BC ， O36aAOP32因此点 到平面 的距离 PABCa说明：(1)求点到平面距离的基本程序是：首先找到或作出要求的距离；然后使所求距离在某一个三角形中；最后在三角形中根据三角形的边角关系求出距离(2)求距离问题转化到解三角形有关问题后，在三角形中求距离常常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理及有关三角函
37、数知识(3)点到平面距离是立体几何中一个重要内容，高考命题中出现较多，应充分注意，除了上面提到方法之外，还有其他一些方法，比如以后学习的等积法，希望同学们在学习过程不断总结典型例题二十三例 23 如图，已知在长方体 中，棱 ， ，求直线1DCBA51A2B和平面 的距离1CB1DA 你的首选资源互助社区- 23 -分析：求线面距离，其基本方法是在线上选一点，作出点面距，距离然后根据求点面距的有关方法求解解：如图， ，且 ， ，BC/1 11BCDA平 面1BCDA平 面 1/DAB平 面从而点 到平面 的距离即为所求1过点 作 于 ，1E ，且 ，1ABC平 面 BAE1平 面 1又 ， 11
38、BCDAE平 面即线段 的长即为所求，在 中， ，Rt113602511 直线 到平面 的距离为 1CB1DA说明：本题考查长方体的性质，线面距离的概念等基础知识以及计算能力和转化的数学思想，解答本题的关键是把线面距离转化为点面距离，进而转化为点线距离，再通过解三角形求解，这种转化的思想非常重要，数学解题的过程就是将复杂转化为简单，将未知转化为已知，从而求解典型例题二十四例 24 、 分别为两条异面直线上的两条线段，已知这两条异面直线所成的角为ADBC， ， ， 求线段 的长30cm8BC分析：首先依据题意，画出图形，利用平移，将异面直线 、 所成的角、垂直关ADBC系转化到某一个或某几个平面
39、内，应用平面几何有关知识计算出 之长解：如图，在平面 内，过 作 ，过 作 ，两线交于 ABCE/ABE/E ，BCAE/ 你的首选资源互助社区- 24 - 就是 、 所成的角，DAEBC30 ，B四边形 是矩形连 ，DE ， ，且 ，CC 平 面 ， ， BAE/ E平 面DE平 面A在 中，得 ， DRt34)(34cmABC说明：解决空间问题，常常将空间关系转化一个或几个平面上来，只有将空间问题归化到平面上来，才能应用平面几何知识解题，而平移变换是转化的重要手段 你的首选资源互助社区25典型例题一例 1 解不等式：（1） 01523x；（2） 0)2(5)4(3xx分析：如果多项式 )(
40、xf可分解为 n个一次式的积，则一元高次不等式 f（或 0)(xf）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况解：（1）原不等式可化为 0)3(52x把方程 的三个根 3,25,01xx顺次标上数轴然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分原不等式解集为 3025xx或（2 ）原不等式等价于 2450)2(45)(32xx或原不等式解集为 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：各一次项中 x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” ，但注意“奇穿偶不穿” ，其法如下图典型例题二例 2 解下列分式不等式：（1 ） 213x； （2 ） 1
41、27342x分析：当分式不等式化为 )0()或gf时，要注意它的等价变形 你的首选资源互助社区26 0)(0)(xgfxgf 0)(0)()()()( xgfxfxfff 或或（1 ）解：原不等式等价于 0)2()(160)2(165)()(30232xxxxx用“穿根法”原不等式解集为 ,),(。（2 ）解法一：原不等式等价于 027312x212307307)(13(22xxxx或或 或原不等式解集为 ),(),3,(。解法二：原不等式等价于 0)2(13x)(1)2(xx用“穿根法”原不等式解集为 ),2()1,3,(典型例题三 你的首选资源互助社区27例 3 解不等式 242x分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义)0(a二是根据绝对值的性质： axaxax.,或 ，因此本题有如下两种解法解法一：原不等式 240202 xx或即 12x或或或 3或 21故原不等式的解集为 3x解法二：原不等式等价于 24)(2x即 )2(42x 31x故或 典型例题四例 4 解不等
