1、.高中数学经典例题、错题详解丹东市第一中学高一十六班 数学 2【例 1】 设 M=1、2、3 ，N=e、g、h ，从 M 至 N 的四种对应方式，其中是从M 到 N 的映射是（ ）ABCND123egh映射的概念:设 A、B 是两个 集合，如果按照某一个确定的对应关系 f，是对于集合A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有一个确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。函数的概念：一般的设 A、B 是两个非空数集，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应，这样的对应叫集合A 到集合 B 的
2、一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系：函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。映射与函数（特殊对应）的共同特点： 可以是“一对一”； 可以是“多对一”； 不1 2 3能“一对多”； A 中不能有剩余元素； B 中可以有剩余元素。4 5映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合 A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射
3、；（3）映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象，不要求 B 中的每一个元素都有原象；（ 4）唯一性：映射中集合 A 中的任一元素在集合 B 中的象都是唯一的；（5 ）一一映射是一种特殊的映射方向性上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点 不能 “一对多”，所以 A、B、D 都错误；只有 C 完全满3足映射与函数（特殊对应）的全部 5 个特点。本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例 2】 已知集合 A=R，B=(x 、y) x、yR,f 是从 A 到 B 的映射fx：（x+1 、x 2）,（1）求 在 B 中的对应元素；（2）（2、1）在 A 中
4、的对应元素【分析】（1）将 x= 代入对应关系，可得其在 B 中的对应元素为（ 2+1、 1）；（2）由题意得：x+1=2,x 2=1 得出 x=1， 即（ 2、1）在 A 中的对应元素为 1【例 3】 设集合 A=a、b，B=c、d、e ，求：（1）可建立从 A 到 B 的映射个数（ ）；（2）可建立从 B 到 A 的映射个数（ ）【分析】 如果集合 A 中有 m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则集合 A 到集合 B的映射共有 nm 个；集合 B 到集合 A 的映射共有 mn 个，所以答案为 23=9；3 2=8丹东市第一中学高一十六班 数学 3【例 4】 若函数 f(x)为奇函数，且
5、当 x0 时，f(x)=x-1,则当 x0 时，有（ ）A、f(x) 0 B、f(x) 0 C、f(x) f(-x)0 D、f(x)-f(-x) 0奇函数性质：1、图象关于原点对称； 2、满足 f(-x) = - f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调性一致；4、如果奇函数在 x=0 上有定义,那么有 f(0)=0； 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）偶函数性质：1、 图象关于 y 轴对称； 2、满足 f(-x) = f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调性相反；4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有 f(x)=0；5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的）基本性质：唯一一个同时
6、为奇函数及偶函数的函数为其值为 0 的常数函数(即对所有 x，f(x)=0)。通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如 x + x2。两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。两个偶函数的乘积为一个偶函数。两个奇函数的乘积为一个偶函数。一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。两个偶函数的商为一个偶函数。两个奇函数的商为一个偶函数。一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。一个偶函数的导数为一个奇函数。一个奇函数的导数为一个偶函数。两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数
7、。一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数【分析】 f(x)为奇函数，则 f(-x) = -f(x)，当 X0 时，f(x) = -f(-x) = -(-x) 1 = -x+10,所以 A 正确，B 错误；f(x)f(-x)=（x-1）（-x+1）0，故 C 错误；f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）0,故 D 错误【例 5】 已知函数 f(x)是偶函数，且 x0 时，f(x)= ，求：（1）f(5)的值；x（2）f(x)=0 时 x 的值；（3）当 x0 时，f(x)的解析式【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用【分析及解答】 （1）根据题意，由偶函数的性质
8、 f(x)= f(-x)，可得 f(5)= f(-5)= =）（ ）（ 5-132丹东市第一中学高一十六班 数学 4（2）当 x0 时，f(x)=0 可求 x，然后结合 f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的 x，即当 x0 时， =0 可得 x=1；又 f(1)= f(-1)，所以当 f(x)=0 时，x=11（3）当 x0 时，根据偶函数性质 f(x)= f(-x)= =)(x1【例 6】 若 f(x)=ex+ae-x 为偶函数，则 f(x-1) 的解集为（ ）e2A.（2，+） B.（0,2） C.（-，2） D.（-，0）（2，+）【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合
9、法；函数的性质及应用【分析及解答】 根据函数奇偶性的性质先求出 a 值，结合函数单调性的性质求解即可f(x)=e x+ae-x 为偶函数， f(-x)=e -x+aex= f(x)= ex+ae-x，a=1，f(x)=e x+e-x 在（0，+）上单调递增，在（- ，0）上单调递减，则由 f(x-1) =e+ ， -1 x-11， 求得 0 x 2 故 B 正确e12【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出 a 值是解题关键【例 7】 函数 f(x)= 是定义在 (-1,1)上的奇函数，且 f( )= ， （1）确定函数 f(x)21xba25的解析式；（2）证明 f(x
10、)在 (-1,1)上为增函数；（3）解不等式 f(2x-1)+ f(x) 0【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用【分析及解答】 （1） 因为 f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以 f(0)=0，可得 b=0，由 f( )= ，所以 = ，得出 a=1，所以 f(x)= 2152)1(a521x（2） 根据函数单调性的定义即可证明任取-1 x 1x 21，f(x 1)f(x2)= =21x2)1(22x因为-1 x 1x 21，所以 x1-x20，1x 1x20，所以 f(x1)f(x2) 0，得出 f(x1) f(x 2)，即 f(x)在(-1,1)上为增函数（3）
11、根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f” ，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= 0，f(2x-1) f(x)，由于 f(x)为奇函数，所以 f(2x-1) f( x)，因为 f(x)在(-1,1)上为增函数，所以 2x-1x ， 1因为-1 2x-11 ，-1 x1 ，联立 得 0 x ，所以解不等 2 3 1 2 3 3式 f(2x-1)+ f(x) 0 的解集为（ 0， ）【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调丹东市第一中学高一十六班 数学 5性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。
12、【例 8】 定义在 R 上的奇函数 f(x)在（0，+）上是增函数， 又 f(-3)=0，则不等式 x f(x) 0 的解集为（ ）【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用【分析及解答】 易判断 f(x)在（-，0）上的单调性及 f(x)图像所过特殊点，作出 f(x)草图，根据图像可解不等式。解： f(x)在 R 上是奇函数，且 f(x)在（0，+）上是增函数， f(x)在（- ，0）上也是增函数，由 f(-3)=0，可得 - f(3)=0，即 f(3)=0，由 f(-0)=-f(0)，得 f(0)=0 作出 f(x)的草图，如图所示： y3由图像得：x f(x) 0 或
13、0x3 或-3x0，0)(xf)(f x f(x) 0 的解集为：（ -3，0）（0，3） ，故答案为：（-3，0）（0，3）【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。【例 9】 已知 f（x+1 ）的定义域为-2,3 ，则 f（2x+1）的定义域为（ ）抽象函数定义域求法总结：（1）函数 y=fg(x)的定义域是（a，b） ，求 f（x）的定义域：利用 axb，求得 g（x）的范围就是 f（x）的定义域；（ 2）函数 y=f（x）的定义域是（a，b） ，求 y=fg(x)的定义域：利用 ag(x)b，求得 x 的范围就是 y=fg(x)的
14、定义域。【考点】 函数定义域极其求法 【分析及解答】 由 f（x+1 ）的定义域为-2,3 ，求出 f（x）的定义域，再由 2x+1 在函数 f（x）的定义域内求解 x 的取值集合，得到函数 f（2x+1 ）的定义域。解：由 f（x+1 ）的定义域是-2,3，得-1 x+14 ；再由-12x+14 0x 25 f（2x+1 ）的定义域是0， ，故选 A25【点评】 本题考查了复合函数定义域的求法，给出函数 fg(x)的定义域是（a，b） ，求函数 f（x）的定义域，就是求 x（a，b）内的 g(x)的值域；给出函数 f（x）的定义域是（a，b） ，只需由 ag(x) b，求解 x 的取值集合即
15、可。丹东市第一中学高一十六班 数学 6【例 10】 已知函数 f(x)=x7+ax5+bx-5，且 f(-3)= 5，则 f(3)= （ ） A. -15 B. 15 C.10 D.-10【考点】 函数的值；奇函数【分析及解答】 令 g(x)= x7+ax5+bx，则 g(-3)=解法 1：f(-3)= (-3)7+ a(-3)5+b(-3)-5=-（37+a35+3b-5）-10=- f(3)-10=5 ，f(3)=-15解法 2：设 g(x)= x7+ax5+bx，则 g(x)为奇函数，f(-3)= g(-3)-5=- g(3)-5g(3)=-10, f(3)= g(3)-5=-15【例
16、11】 已知二次函数 f（x）=x 2+x+a (a0)，若 f（m）0，则 f（m+1）的值为（ ）A.正数 B.负数 C.零 D.符号与 a 有关解法 1：因为 f(m)0.所以 m2+m ， 所以 f(m+1)0 答案为 A解法 2： f(x)=x+x+a=x(x+1)+a f(m)=m(m+1)+a0 m(m+1) -a ， a0，且 mm+1 m0,m+1 0 (m+1) 0 即：f(m+1)=(m+1)+(m+1)+a 0 f(m+1)0 选 A【例 12】 函数 f(x)= x 2-2xm 有两个零点，m 的取值范围（ ）解：令 f(x)= x2-2xm=0，则x 2-2x=m
17、，作 y=x 2-2x和 y= m 的图像要使 f(x)= x 2-2xm 有两个零点，则图像 y=x 2-2x 和 y= m 有两个交点【例 13】已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数，F(x)=a f(x)+b g(x)+2 在区间（0，+）上有最大值 5，那么 F(x)在区间（ -，0）上的最小值为（ ）解法 1：根据题意，得 af(x)+bg(x)在(0,+)上有最大值 3, 所以，af(x)+bg(x)在(-,0)上有最小值-3,故 F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(-,0)上有最小值-1.解法 2：F(x)=a f(x)+b g(x)+2 是由 G(x)=a f(x)+
18、b g(x)向上平移 2 个单位得到，由题意G(x)=a f(x)+b g(x)在（-，0 ） ， （0，+）上是奇函数，在（ 0，+ ）上有最大值 3，那么在（-，0）上有最小值 -3，那么 F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(-,0)上有最小值-1.【例 14】对于每个实数 x，设 f(x)取 y=x+1，y=2x+1，y=- x 三个函数中的最大值，21用分段函数的形式写出 f(x)的解析式，求出 f(x)的最小值为（ ）丹东市第一中学高一十六班 数学 7【例 15】已知函数 f(x)=x2+ax+3， （1）当 xR 时，f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围；（2）当 x-2
19、,2时，f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围解（2）函数 f(x)=x2+ax+3 对称轴 x=-a2，依题意得当-a2-2 时，当 x-2,2时，f(x)最小值a 即：f(-2)=4-2a+3a，无解当-2-a22，当 x-2,2时，f(x)最小值a 即：f(-a2)a，得-4a2当-a22 时，当 x-2,2时，f(x)最小值a 即：f(2)=4+2a+3a，得-7a-4综上所述得：-7a2解法 2：【例 16】下列各组函数表示相等函数的是（ ）A. y= 与 y=x+3 B. y= 与 y=x-1 39x212xC. y=x0(x0)与 y=1（x0 ） D. y=2x+1（xZ）与
20、 y=2x-1（xZ）解：A. y= =x+3（x3）与 y=x+3 定义域不同，不是相等的函数；392丹东市第一中学高一十六班 数学 8B. y= -1=|x|-1 与 y=x-1 对应关系不同，不是相等的函数；2xC. y=x0=1（x0）与 y=1（x0）是相等函数；正确 D. y=2x+1，xZ 与 y=2x-1，xZ 对应关系不同，不是相等函数【例 17】函数 y=4x2-mx+5 在区间-2,+）上时增函数，在区间（-，2 上是减函数，则 f(1)=（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25解：由已知中函数的单调区间，可得函数 y=4x2-mx+5 的图像关于直线 x=-2 对称
21、，因为函数 y=4x2-mx+5 在区间-2,+）上时增函数，在区间（-，2 上是减函数，故函数y=4x2-mx+5 的图像关于直线 x=-2 对称，故 ，m=-16，y=4x 2+16x+5，f(1)=258m【例 18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为：_（1） 、 ， （2） 、3)5()(xf 5(xg1)(xxf（3） 、 ， （4） 、 ，f2)( 334f3)(g（5） 、 ，25)(xf 5)(xg【例 19】函数 在区间-2，+ ）上递增，则 a 的取值范围3142af_【例 20】函数 在区间(-，4上是减函数，则实数 a 的取值2)()(2xxf范围是（ ） A.a
22、3 B.a3 C. a-3 D. a5 E. a-3【例 21】已知 是定义在（-2,2）上的减函数，并且 0，求)(f )21()(mff实数 m 的取值范围【例 22】若集合 ， ，则 AB=（ RxA,12 RxyB,2）A.x-1x 1 B. x0x1 C. xx0 D.设 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， =2x2-x,则 =（ ）)(f )(f)1(fA.-3 B. -1 C. 1 D.3函数 = 则 的值为（ ）)(xf,32x)3(f丹东市第一中学高一十六班 数学 9(3,0)-1yx【例 23】已知 ,那么 等于（ ）)0(1)2(2xxf )(f【例 24】已知集合
23、 ， ，若 BA=B，实数 a 的值为（ 3A） A.3 B. 6 C. 8 D.10【例 25】函数 的定义域为（ ）xy)1(A.xx0 B. xx1 C. xx10 D. x0x1【例 26】下列判断正确的是（ ） A.函数 是奇函数 B.函数2)(xf 12xf是非奇函数C.函数 是偶函数 D.函数 =1 即是奇函f1)( )(xf 数又是偶函数【例 27】 的单调区间是（ ）432xyA.(-，- B.- ，+) C.-4, - D. - ，132【例 28】设 是奇函数，且在区间（0，+）内是增函数，又 =0， 则 (xf )3(f0 的解集是（ ）A.x-3x0 或 x3 B.x
24、0x3 或 x-3)(fC. xx-3 或 x3 D. x-3 x0 或 0x【例 29】函数 ， =7，则 =_3)(35cbaxf )(f)(f【思考】1、已知二次函数 y=x2-2x-3，试问 x 取哪些值时 y=0？代数法：求方程 x2-2x-3=0 的根， x1=-1 x2=3几何法：求函数函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴的交点的横坐标（ -1，3） ，此时，-1 与 3也称为函数 y=x2-2x-3 的零点 零点的定义：对于函数 ，我们把使 =0)(xfy)(xf的实数 x 叫做函数 的零点。 注意：零点指的是一个实数！)(xfy丹东市第一中学高一十六班 数学 10方程
25、（a0）的根： 0 时，有两个不相等的实数根2cbxa acb42x1、x2，函数 （a0）的图象与 x 轴有两个交点（x1、0） ， （x2，0） ，cxy2函数的零点为 x1、x2； =0 时，有两个相等的实数根 x1=x2，函数b42（a0）的图象与 x 轴有一个交点（x 1、0） ，函数的零点为 x1；cbxy20 时，没有实数根，函数 （a0）的图象与 x 轴没有4 cbxy2交点，函数没有零点。 （即：函数 的零点就是方程 的实数根，也就)(xf )(f是函数 的图象与 x 轴的交点的横坐标。方程 有实根 函数)(fy x的图象 x 轴有交点 函数 有零点）)(xfy函数零点存在性
26、定理：如果函数 在区间a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有)(xfy0 即f(2)f(3)1 C.m2 D.10，得出 m1 C.-10 ，即 a 时 81-有 f(0)*f(1)1 于是有 a1 ；当 1+8a=0,即 a=-1/8 时 方程变形为1/4x 2-x-1=0 即 x2+4x+4=0 得 x=-2 不合题意，（错）； 综上 a17、若集合 A=x12x+13，B=x(x-2)/x 0，则 AB=（ ）A. x-1 x 0 B. x00，x+13x，得出 x1/2 ；当 x0 的解集是全体实数的条件时（ ）A.c1/4 D.c1/410、 的定义域为_182y解： -2x
27、2+12x-180，2x 2-12x+180， （x-3） 20，则 X=3，即：定义域为311、若不等式 ax2+bx+20 的解集为 x-1/20 的解集为（ -3,4） ，求 b x2+2ax-c-3b0 成立，)(xf baf)(则必有_ A. 在 R 上是增函数 B. 在 R 上是减函数 f )(xfC.函数 是先增加，后减少 D.函数 是先减少，后增加)(xf )(xf解：利用函数单调性定义，在定义域上任取 x1，x 2R，且 x10baf)(所以 f(a)-f(b)f(1)，则 f(x)在R 上时减函数；（2）若 f(x)满足 f(-2)=f（2），则函数 f(x)不是奇函数；（
28、3）若函数 f(x)在区间（-，0）上是减函数，在区间（0，+）也是减函数，则 f(x)在 R 上也是减函数；（4）若 f(x)满足 f（-2）=f(2)，则函数 f(x)不是偶函数；其中正确的是_21、函数 f(x)=xx-2，（1）求作函数 Y=f(x)的图象；（2）写出函数 f(x)的单调区间并指出在各区间上是增函数还是减函数？（不必证明）（3）已知 f(x)=1,求 x 的值丹东市第一中学高一十六班 数学 1422、函数 F(x)是定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)=x(2-x)，（1）画出函数 f(x)的图象（不列表）；（2）求函数 f(x)的解析式；（3）讨论方程 f(
29、x)-k=0 的根的情况23、已知 f(x)的定义域为-2,3，则 f(2x-1)的定义域为（ ）A.0,5/2 B.-4,4 C.-5,5 D.-3,724、已知函数 且 f(a)=10,则 a=（ ）)0(163)(2xaxfA.-4 B.-1 C.1 D.-4 或 125、已知函数 f(x)=x7+ax5+bx-5,则 f(3)=( ) A.-15 B.15 C.10 D.-1026、若函数 f(x)=4x2-kx-8 在区间5,8上是单调函数，则 k 的取值范围是（ ）A.(-,0 B.40，64 C.(- ,4064，+) D.(64,+ )27、已知二次函数 f(x)=x2+x+a
30、(a0)，若 f(m)0,则 f(m+1)的值为（ ）A.正数 B.负数 C.零 D.符号与 a 有关28、函数 f(x)=x 2-2x-m 有两个零点，m 的取值范围_29、已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数，h(x)=af(x)+bg(x)+2,在区间（0，+）有最大值 5，那么 h(x)在区间（0，+）的最小值为_30、对于每个实数 x，设 f(x)取 y=x+1,y=2x+1,y=-2x 三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出 f(x)的解析式，求出 f(x)的最小值丹东市第一中学高一十六班 数学 15由方程组 y=x+1,y=2x+1,解得 x=0,y=1,得到交点 A(0,
31、1) ；由方程组 y=x+1,y=-2x,解得 x=-1/3,y=2/3,得到交点 B(-1/3,2/3) ；由方程组 y=2x+1,y=-2x,解得 x=-1/4,y=1/2,得到交点 C(-1/4,1/2). 由图像容易看出：1）x-1/3 时，三直线的最大值是 y=-2x,所以在此时 f(x)=-2x; 2)-1/3x0 时，三直线的最大值是 y=x+1,所以此时的 f(x)=x+1; 3)x0 时，三直线中最大值是 y=2x+1,所以此时的 f(x)=2x+1. 所以 f(x) =-2x；(x-1/3) ,x+1；(-1/3x0) ,2x+1. (x0) 1)考察函数的图像（由射线线段
32、射线组成的折线）可以看出函数的最小值是 x=1/3时的 y=2/3.31、已知函数 f(x)=x2+ax+3，（1）当 XR 时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围；（2）当 X-2,2时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围；（3）若对一切 a-3，3，不等式 f（x）a 恒成立，那么实数 x 的取值范围是什么？1）f（x）a 即 x2+ax+3-a0，要使 xR 时，x 2+ax+3-a0 恒成立，应有=a 2-4（3-a）0，即 a2+4a-120，解得-6a2；（2）当 x-2，2时，令 g（x）=x 2+ax+3-a，当 x-2，2时，f（x）a 恒成立，转化为 g（x） mi
33、na，分以下三种情况讨论：当-a/2-2，即 a4 时，g（x）在-2，2上是增函数，g（x）在-2，2上的最小值为 g（-2）=7-3a，a4 7-3a0,解得 a 无解当-a/2-2，即 a4 时，g（x）在-2，2上是递减函数，g（x）在-2，2上的最小值为 g（2）=7+a，a-4 7+a0 解得-7a-4当-2a/22 时，即-4a4 时，g（x）在-2，2上的最小值为 34)2(2a-4a2，解得-4a2，综上43a-所述，实数 a 的取值范围是-7a2；丹东市第一中学高一十六班 数学 16（3）不等式 f（x）a 即 x2+ax+3-a0令 h(a)=(x-1)a+x2+3，要使 h(a) 0 在-3,3上恒成立，只需 即 解得：x0 或 x-30)3(h0362x
