1、天津市河西区教育中心 朱育红,“空间与图形” 教材与教学研究 （一）,思考 对于这一领域，写出你认为最重要的核心词；写出1个你最关心的话题。 时间：2分钟。 全体交流。,2,3,核心是发展空间观念,在“空间与图形”领域的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。,核心是发展空间观念,空间观念主要表现在： (1)根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体； (2)想象出物体的方位和相互之间的位置关系； (3)描述图形的运动和变化； (4)依据语言描述画出图形。,4,几何直观主要指利用图形描述和分析数学问题。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形
2、象，使得探索解决问题的思路清晰、合理预测结果。几何直观不仅在“空间与图形”领域的学习中发挥不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。,5,核心是发展空间观念,推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）出发，按照规定的法则证明（包括逻辑和运算）结论。在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。,6,核心是发展空间观念,内容结构
3、的变化：,几何计算,图形性质 及度量,7,一、图形的认识,（一）图形及其基本性质 1. 所涉及的图形及图形的性质： 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球的直观认识长方体、正方体的面、棱的特征长方体、正方体的展开图圆柱侧面展开图。,8,（一）图形及其基本性质 1. 所涉及的图形及图形的性质：长方形、正方形的直观认识和有关边、角的性质（观察、测量、折叠）角、直角、锐角、钝角、周角、平角的认识，角比大小，用量角器量角、画角直线、线段、射线及其表示，两点确定一条直线，两条直线相交于一点，直线段最短线段的平行和垂直的认识，用三角尺画直角，用“推”的方法画平行线,一、图形的认识,9,（一）图形及其基本性质 1.
4、 所涉及的图形及图形的性质：平行四边形、梯形的描述定义及高，平行四边 形的不稳定性三角形及其边、角、高的认识，三角形的不稳定性，三角形的按角、边分类，三角形内角和（测量、撕、折叠），三角形三边关系（测量）圆的认识，用圆规画圆。,一、图形的认识,10,（一）图形及其基本性质 2. 呈现特点 (1) 注重图形与现实世界的密切联系。 在现实情境中抽象出图形（从具体到抽象）。 (2)从立体到平面（从整体到局部）。,一、图形的认识,11,一上:认识立体图形,北师大版,人教版,苏教版,12,一下:认识平面图形,北师大版,人教版一上,苏教版,13,下面关于图形的初步认识（长方形、正方形、三角形、圆） 2个教
5、学设计，您更欣赏哪个？ 您的依据是什么？小组讨论时间：5分钟。,案例研讨1,14,长方形、正方形、三角形、圆：课例1,探索从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中能得到哪些平面图形？ 教师演示从立体图形得到相应平面图形的过程，介绍平面图形的名称，并强调面在体上。 学生描出平面图形。 认识交通标志中的平面图形。,15,长方形、正方形、三角形、圆：课例2,出示由4种图形拼成的有趣的小船（每种图形若干个），让学生进行分类。引导学生认识每种图形的名称。学生分别从正方体、长方体、三棱柱、圆柱中得到正方形、长方形、三角形、圆。 寻找生活中“存在”的平面图形。拼图游戏。,16,对长方形等图形的认识,1. 认识平面图
6、形。 2. 面与体的关系。 3. 空间观念和思考能力。,学生的实际、数学意义、挑战性的,17,二下:初步认识角,北师大版,人教版,苏教版,18,四上：线的认识,北师大版,人教版,苏教版,19,四上：平行、垂直、角的进一步认识,北师大版,人教版,苏教版,20,四下：三角形再认识、平行四边形、梯形,北师大版,人教版,苏教版,21,六上：圆,北师大版,人教版,苏教版,22,2. 呈现特点 (3)在观察、操作、思考、交流、想象的过程中，体会图形的特征，认识某些图形的基本性质。,23,一上,24,一下有趣的图形,动手做一,动手做二,动手做三,动手做四,钉子板 上围图形,图形 欣赏,折纸,拼搭 七巧板,2
7、5,26,27,28,29,二下:发现长方形、正方形的特征,30,四下：发现三角形内角和的特征,31,四下：发现三角形三边之间的关系,32,五下:认识长方体、正方体的特征,33,六上:认识圆的特征,34,2. 呈现特点 (4)在解决现实问题、设计图案等活动中应用所学的内容。,35,It was an Elephant!,生活中的垂直现象,36,（二）在观察物体等活动中，增加了视图和阴 影的内容，更好地发展空间观念。,一、图形的认识,37,一下：辨认从两个方向观察的实物,观察物体,38,辨认从正面、上面、侧面观察的实物，以及3、4个立方块搭成的几何体。,观察物体 二上,39,二上:,40,观察物
8、体 三上,从三个方向观察由4个正方体搭成 的物体（辨认、在方格纸上涂色、在活 动中“还原”）,41,42,从不同方向观察几个实物（辨认）。体会不同方向观察对象形状的变化,观察物体 四下,43,五下:展开与折叠,44,五下:发展空间观念，探索规律,45,五个小立方块搭成的几何体的辨认、方格纸上的三视图、还原；阴影的初步感受。,六上:,46,47,48,内容结构的变化：,图形性质 及度量,图形与变换,49,二、图形与变换,认识生活情境中的变换现象，从变换的角度欣赏图形、设计图案，体验变换在现实生活中的广泛应用是本部分内容学习的主要目标。,50,三下 认识轴对称图形,51,三下：感知镜面对称现象,5
9、2,三下：认识平移与旋转的现象,53,三下：欣赏与设计,54,四上：图形的平移与旋转90,55,六上:探索图形之间的变换关系,56,六上：设计与欣赏,57,六上：圆广泛的对称性,对称一个图形经过某种变换与另一个图形重合。 轴对称、中心对称、旋转对称（旋转不变性） 圆是平面图形中最具有对称性的图形： 轴对称（对称轴无穷多条），与正n边形的对比。 旋转对称性（任意角度）,58,六上：平面图形轴对称的整理，旋转对称的初步感受,59,六下:在方格纸上将图形放大和缩小，体会图形的相似。,二、图形与变换,60,内容结构的变化：,图形性质 及度量,61,三、图形与坐标,这部分内容的主要目标是使学生了解确定图
10、形或物体位置的方法，运用不同的方式确定物体的位置,62,知识框架,认识前后、上下、左右(一上) 认识东西南北(二上) 认识八个方向和简单的路线(二下) 用数对刻画位置（四上） 用方向和距离刻画位置（四上） 用方向和距离刻画位置（六下）,63,一上:结合学生的感知经验，建立左右的概念,64,二上:在实践活动中，认识四个方向,65,标出方向， 制成方向板。,认一认： 体育馆在学校的（ ）面，商店在学校的（ ）面，医院在学校的（ ）面，邮局在学校的（ ）面。 动物园、图书馆、少年宫、电影院分别在学校的什么方向？,试一试： 在教室里辨认八个方向。 坐在座位上，说一说你的东南、东北、西南、西北分别是哪位
11、同学。,二下,66,说一说：1路车的行车路线。从广场出发向 行驶 站到电影院，再向 行驶 站到商场，再向 行驶 站到少年宫，再向 行驶 站到动物园。,67,四上：结合具体情境，探索用数对表示位置的方法,68,让学生经历“实物点阵方格坐标”的逐渐抽象的过程。,案例 确定位置,69,第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,71,四上：用方向和距离确定位置(给定坐标系),72,六下： 用方向和距离确定位置(需要自己建立坐标系),73,注重探索刻画物体或图形位置的方法 英国教材的例子 （1）说一说剧院、教室是如何确定观众和学生的位置的？,74,（2）城区的地图经
12、常有小方格在上面，以便于我们确定位置。在所示的地图上，汽车站在（E，7）小方格里。指出下面地点所在的小方格：The Castle, Holyrood Palace, The railway station, The Museum。,75,（3）在图中，书店在学校的东偏南多少度上，距离学校有多远？少年宫呢？在这幅图中，你是如何刻画书店、少年宫、商店等的位置的？,76,（4）在地图上确定某地的位置需要知道它的经度和纬度。右图是带有矩形网格的Britain地图。如Liverpool在矩形（3W，53N）内，如何表示以下地点？ dinburgh, Bristol, Aberdeen,Newcastle
13、, Lands End.,77,17世纪一个叫笛卡尔的法国人用同样的想法来确定点的位置。,我们分别用X和Y两个方向来表示东和北两个方向，OX称为X轴，OY称为Y轴。点T（4，2）的横坐标为4，纵坐标为2。,78,内容结构的变化：,图形性质 及度量,79,四、图形的测量 （1）在具体情境中，注重对所测量的量的实际 意义的理解,80,三上:认识周长,描一描 摸一摸 围一围 量一量 算一算,81,案例研讨 真正地了解学生,（1）教师安排了描一描、摸一摸、量一量等许多活动，周长这个概念真的那么“难懂”吗？（2）学生的困难究竟在哪？,82,来自学生的“证据”： 教师要求学生们写下三个关于周长的问题。第一
14、个问题要求他们说明周长的定义；第二个问题要求他们描述长正方形的周长公式；第三个问题要求他们介绍周长概念在实际生活中的应用。,83,三年级学生的结果：共28人,第一个问题：大部分同学都表示出对周长基本理解（24）。学生答案的形式（1）语言描述：如一个图形的一圈的长度；一个平面图形从一个小角绕一周，再回到那个小角，就是周长。（2）用图形表示。（3）举例说明。,84,不准确的地方：（1）等同于直线形图形的周长，如一个平面图形的边长加起来就是它的周长；（2）将边框、平面图形等同于周长；（3）周长的意义等同于长方形、正方形周长公式。（4）不知道。,三年级学生的结果：共28人,85,三年级学生的结果：共2
15、8人,第2个问题：学生大都能正确回答出长方形、正方形周长的测量和计算方法（27）学生的错误：（1）单位与面积单位混淆。（2）不知道。,86,三年级学生的结果：共28人,第3个问题：很少的学生能正确举出例子（4）。学生的错误：（1）不是周长的应用：如去买窗帘测长度。（2）周长与面积的混淆：如比较彩纸的大小。（3）不明确：如买床、买画时需要用周长。（4）不是真正的应用：如量了一个漂亮盒子的周长。（5）举例时将实物与周长等同：如桌子等都是我们生活中的周长。,87,三年级学生的结果：共28人,现象1：大多数学生能运用自己的语言描述周长的含义，但却不能正确举例。原因：周长确实用得不多？教学中侧重计算，忽
16、视应用？受“面积”的影响？理解的不稳定性？能解决问题才是真正的理解？教学上的建议：呈现多种图形（包括曲边图形）的周长的例子；让孩子“滚一滚”;总结应用的例子。,88,通过这种写一写的评估方法，可以使学生学会使用数学语言和别人交流，也是发现错误的一种手段，通过这种手段，教师可以知道怎样使用有针对性的教学方法。,89,三下：认识面积,90,度量的意义: 1.要有一个单位。 2.用单位去“量”（比）。 3.满足一些性质：不变性、可加性,91,北京海淀区某年中考题：下列各图中，每个正方形网格都是由四个边长为的小正方形组成，其中阴影部分面积为的是,A,B,C,D,92,五上：探索图形面积大小的关系,（比
17、较、度量面积的方法有哪些？）,93,四上：角的度量,94,五下：认识体积,95,六上：圆的周长,96,圆周率教学,经验：一些学生知道圆周率（有多少学生、从哪些途径知道的、了解到什么程度） 可能的困难：圆周率是周长和直径的比测量过程中的误差圆周率是常数吗 一些建议：进行学生调研；精心设计试验（材料的选择、 对试验操作的必要指导、小组结果的比较、学生之间的质 疑、让学生了解测量是有误差的）；历史的介绍也许是更 重要的：尊重客观数据、敢于质疑,97,六上：圆的面积,曲线的研究方法：有限逼近无限，直线段逼近曲线。,98,六上：圆的面积,99,如何体现这种方法是圆周长和面积教学中思考的重点。好的问题：与
18、以前我们学过的有什么不同。（有没有想到把长方形滚一滚不要过早的形式化）探索圆面积思路的多样性技术的介入介绍历史有机地渗透,曲线研究方法,100,（2）经历用不同方式进行测量的过程，体会建 立度量单位的必要性,101,一下,102,在测量活动中，体会统一面积单位的必要性,三下,103,（3）在测量过程中，理解度量单位的实际意义,（4）重视估测,104,注意，教材在培养学生估侧能力上面设计了三个阶段：一开始是完全凭借经验和常识；然后是借助自己熟悉的长度，如“身体中的尺子”；最后通过与已知长度进行比较从而进行估计。,一下,105,106,107,（5）探索规则图形的面积、体积公式，并 能应用公式解决
19、实际问题 （6）探索不规则图形及物体的测量方法 （成长的脚印）,108,五上,本节课主要是借助面积的大小比较，体会面积大小比较的方法，感受形状的变化与面积大小变化的关系。获得的活动经验： 数方格可以知道图形的面积； 通过平移使图形重合可以比较图形的大小； 可以通过拼组、分割、平移等方法解决图形的面积等。,109,110,五上,本节课主要是在数格子的过程中寻找计算 的方法，渗透多种计算面积的策略。获得的活动经验： 复杂问题变简单 化整为零的思想,111,本节课是结合具体情境体会作高的必要性 。获得的活动经验： 沿高剪开后平移可以得到长方形，初步感受图形通过割补进行转化。,五上：理解基本图形面积的
20、计算方法,112,利用方格纸和割补的方法是比较或计算图形面积的基本方法，利用方格纸的方法体现的是用面积单位密铺图形，把形转化为数的思想；割补的方法则体现了改变图形的形状，而保持面积不变的思想。这两种基本的思想方法，贯穿了研究图形面积的始终。重视这几节课的教学，教师有意识地让学生在活动中积累这些活动的经验，学生才会在基本图形面积的学习中，有法可依。,113,案例：“割补法”的延伸我们希望学生不仅学到了平行四边形的面积计算公式这一具体的结果，而且也能在思想方法上有所收获。著名心理学家韦特海墨的研究：首先向学生提出了下面的问题：你能否利用同样的方法求得下面平行四边形的面积？,114,进一步研究如何求
21、以下图形的面积：,115,五上：估计不规则图形的面积，提高学生的空间观念,116,思考的问题 多种图形经验的积累。已呈现的：图形的密铺；搭积木与视图；图形的分割与拼接；围图形；展开与折叠；七巧板拼图；设计图案；数图形；对称、平移、旋转；确定位置；折纸；没有呈现或缺乏的：制作立体图形；拓扑实验；空间与维数、透视；点的轨迹；丰富的图形世界,117,2.用图形做交流的工具，利用直观去思考和推理。,(1) 数(整数、分数、小数等）的意义、计算法则的探索。 (2) 对变量之间关系的刻画。 (3) 对统计数据的刻画。 (4) 表述问题、解决问题的一种方式（如：线段图）。,118,119,反 思,用关键词、
22、短语等形式写下你的感受，和你现在最关注的问题。,120,鱼和鱼篓的故事 从前，有两个饥饿的人得到了一位长者的恩赐：一根鱼竿和一篓鲜活硕大的鱼。其中，一个人要了一篓鱼，另一个人要了一根鱼竿，于是他们分道扬镳了。得到鱼的人原地就用干柴搭起篝火煮起了鱼，他狼吞虎咽，还没有品出鲜鱼的肉香，转瞬间，连鱼带汤就被他吃了个精光，不久，他便饿死在空空的鱼篓旁。另一个人则提着鱼竿继续忍饥挨饿，一步步艰难地向海边走去，可当他已经看到不远处那片蔚蓝色的海洋时，他浑身的最后一点力气也使完了，他也只能眼巴巴地带着无尽的遗憾撒手人间。,121,又有两个饥饿的人，他们同样得到了长者恩赐的一根鱼竿和一篓鱼。只是他们并没有各奔
23、东西，而是商定共同去找寻大海，他俩每次只煮一条鱼，他们经过遥远的跋涉，来到了海边，从此，两人开始了捕鱼为生的日子，几年后，他们盖起了房子，有了各自的家庭、子女，有了自己建造的渔船，过上了幸福安康的生活。,122,一个耐人深思的故事,123,一个音乐演奏者在华盛顿DC地 铁站“LEnfant Plaza” 的入口站了许久。,124,那就是今年一月份的事，那天 温度很低。,125,他连续演奏了45分钟。先拉巴哈的，然后拉舒伯特的圣母颂，然后拉Manuel Ponce（庞塞）的，接着拉Massenet（马斯奈）的，最后又拉回巴哈的。,126,那是大概早上8点，此时此刻，成千上万的上班族通过这个地下通
24、道前往工作地点。,127,三分钟后，一个中年男子发现小提琴家在演奏，他缓慢脚步，停留了几秒钟，然后继续又加快了脚步往前走。又过了一分钟后，小提琴家得到了他的第一张钞票：一个女人扔下的一美元，但她没有停下来。 再过了几分钟，一个过路人靠在对面墙上听他演奏，但看了看表就走掉了。很显然，他要迟到了。,128,对音乐家最感兴趣的是一个三岁的小孩。他的妈妈又拉又扯的，但那小孩就是要停下来看音乐家。最后他妈妈用力拖他才使他继续走。但小孩还一边走一边回头看音乐家。,129,在音乐家45分钟的演奏过程中，只有7个人真正停下来听他演奏。,130,他一共赚了32美元。当他演奏完毕，没有一个人理他，没有一个人给他鼓
25、掌。一千多个人中只有一个人发现了他。,131,没有一个人发现这个音乐家原来就是Joshua Bell （约舒亚贝尔） 当今世界上最有名的小提琴手之一。 他在这个地铁站里演奏了世界上最难演奏的曲目， 而他所用的小提琴是意大利斯特拉迪瓦里家族在1713年制作的名琴，价值350万美元！,132,就在他在地铁站演奏的前两天，他在波士顿的歌剧院里表演，虽然门票上百美元，却座无虚席一票难求！ 这是真实的故事。,133,Joshua Bell在地铁里演奏一事其实是 华盛顿邮报 一手策划的，目的是为了测试人们的知觉、品味和行为倾向。,134,要解答的问题是 : 在一个公共场合里，在一个不适宜的时段，我们是否能够欣赏到美呢？ 我们是否会停下来欣赏呢？ 我们是否能在一个不适宜的环境下发觉人才呢？,135,可能的结论如下 : 如果我们确实是没有时间去停下来听一听世界上最优秀的演奏家演奏世界上最优美的旋律，不知道还有多少美好的东西从我们身边溜走。,136,愿我们的学生在数学的海洋中遨游，领略数学的文化、感悟数学的美丽，每个人都获得全面、个性的发展。,137,大家辛苦啦！,138,
