1、山东省烟台市 2014 届高三第二学期 3 月高考诊断性测试数学（文）注意事项：1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟2使用答题纸时，必须使用 05 毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用 2B 铅笔要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效3答卷前将密封线内的项目填写清楚一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上1设集合 ， ，则 等于032|xM2|log0NxNMA B C D)0,()1,(),()3,1(2若复数 的实部为 ，且 ，则复数 z的虚部是
2、z|zA 3 B C i D 3i 3. 若命题 :p， ；命题 :q， . 则下面结论Rcos()csRx012正确的是 A. 是假命题 B. 是真命题 C. p是假命题 D. pq是真命题q4若函数 ， 则 （其中 为自然对数的底数） 21,lnxf(e)fABCD.022ln(e1)5.若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为A B12C D346.在等差数列 中， ，其前 项和为 ，na10nnS若，则2012S24S的值等于 A.2011 B. -2012 C.2014 D. -20137如图是某班 50 位学生期中考试数学
3、成绩的频率分布直方图，成0.54 x0.16 1098706540成其中成绩分组区间是： ， ， ，405， 60， 7， ， ，则图中 的值等于 708， 9， 1， xA B C D .12.8.2.188函数 在 上的图象是xysin,9若函数 的图象与 轴交于点 ，过点 的直线 l与()2sin()(214)8fxxxxA函数的图象交于 、 两点，则 OCB（其中 O 为坐标原点） BCA B C D377210. 对任意实数 ，定义运算 ，其中 为常数，等号右边的,mnnambcncba,运算是通常意义的加、乘运算现已知 ， ，且有一个非零实数 ，使得1=436t对任意实数 ，都有
4、，则xtxtA4 B5 C6 D7二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分，请将正确答案填在答题卡相应位置.11若直线 平分圆10axby2:41xy的周长,则 的取值范围是 012.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的 值i为 13. 已知变量 满足约束条件 ，yx,042kyx且目标函数 的最小值为 ，则实常数 yxz3114. 对大于或等于 2 的正整数的幂运算有如下分解方式：1253753425319719根据上述分解规律，若 ， 的分解中最小的正整数是 21，则2m3ppm15已知抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，24yx21xy
5、abAB且 ，则双曲线的离心率 为 |23ABe三、解答题.本大题共 6 个小题，共 75 分. 解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.16.（本小题满分 12 分）全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014 年 3 月在北京开幕期间为了了解国企员工的工资收入状况，从 108 名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）（1）求 ， ；xy（2）若从中层、高管抽取的人员中选 人，求这二人都来自中层的概率217.（本小题满分 12 分） 已知函数 ，27()sinsin1()6fxxxR（1）求函数 的周期及单
6、调递增区间；f（2）在 中，三内角 ， ， 的对边分别为 ，已知函数 的图象经过ABCABCcba,fx点 成等差数列，且 ，求 的值 .,bac 918.（本小题满分 12 分）如图 1，在直角梯形 中， ， .把ABCD/90,ADCB沿 折起到 的位置，使得 点在平面 上的正投影 恰好落在线BACPPO段 上，如图 2 所示，点 分别为棱 的中点.EF、 、（1）求证：平面 平面 ；/O（2）求证： 平面 ；（3）若 ，求四棱锥 的体积.3,4,5DABCO19.（本小题满分 12 分）相关人数 抽取人数一般职工 63 x中层 27 y高管 18 2已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列
7、满足 ，且nanS2nanb1.12nb（1）求数列 , 的通项公式；nb（2）设 ，求数列 的前 项和 (1)(1)22nncabnc22nT20.（本小题满分 13 分）已知函数 .+1()lnfxax（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；a()yf2,()f（2）当 时，讨论 的单调性.021. （本小题满分 14 分）已知椭圆 经过点 ，且两焦点与短轴的两个端)0(1:2bayxC2(1,)P点的连线构成一正方形.（1）求椭圆 的方程；（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，若线段 的垂直平分线经过点 ，求lABAB1(0,)2AOB（ 为原点）面积的最大值.参考答案及评分标准一、选择
8、题C B D C D C D A D B二、填空题11. 12. 8 13. 9 14. 11 15.21(,三、解答题16.解：（1）由题意可得 ，所以 ， . 3263718xy7x3y分（2）记从中层抽取的 人为 ， ， ，从高管抽取的 人为 ， ，1b2321c2则抽取的 人中选 人的基本事件有：5， ， ， ， ， ， ， ，12(,)b13(,)1(,)bc12(,)3(,)b21(,)c2(,)b31(,)c32(,)b， 共 种. 8 分c0设选中的 人都来自中层的事件为 ，A则 包含的基本事件有： ， ， 共 种. 10A12(,)b13(,)23(,)b分因此 . 3()0
9、1P故选中的 人都来自中层的概率为 . 12 分20317.解： 27113()sin)sincos2incos2sin26fxxxxx3 分i2（1）最小正周期： ， 4 分T由 可解得：2()26kxkZ，()3所以 的单调递增区间为： ; 6 分()fx,()36kkZ（2）由 可得：1sin2)6A522()AkZ或所以 , 8 分3又因为 成等差数列，所以 ， 9 分bacabc而 10 分1os9,182ABCAc，221()4cos236ab. 12 分3a18.解：（1）因为点 P在平面 ADC上的正投影 O恰好落在线段 AC上所以 O平面 B，所以 P 1 分因为 A，所以
10、O是 AC中点， 2 分所以 /EP ， AD平 面所以 3 分平 面同理 /F平 面又 ,OEOEF、 平 面所以平面 /平面 PDA 5 分（2）因为 F， C所以 又 PO平面 ， 平面所以 D 7 分又 F所以 C平面 P 8 分（3）因为 ， ，所以 ，而点90A3,4C13462ACDS分别是 的中点，所以 ， ,OE,D1FO10 分由题意可知 为边长为 5 的等边三角形，所以高 ， 11 分ACP532P即 点到平面 的距离为 ，又 为 的中点，所以 到平面 的距32ECECFO离为 ，故 . 125341348ECFOV分19.解：（1）当 ， ； 1 分n21a当 时， ，
11、 . 2 分212nnSa12na 是等比数列，公比为 2，首项 ， . 3 分n n由 ，得 是等差数列，公差为 2. 4 分1bnb又首项 ， . 6 分1（2） 8 分2()nnc为 偶 数为 奇 数10 分3212 37(41)nTn 12 分2123nn20.解：（1）当 时， ，a2()l+1fxx此时 ， 2 分 21()fx，又 ，2+4()ln2ln+2f所以切线方程为： ，l+yx整理得： ； 分n20x 5（2） ， 6 分 22211()(1()axaxf 当 时， ，此时，在 , 单调递减，0a 21()f (0,)f()f在 , 单调递增； 8 分(1,)x当 时，
12、 ，02a 2()(1)axf当 即 时 在 恒成立，112 2()0fx(,)所以 在 单调递减； 10 分()fx0,)当 时， ，此时在 , 单调递减，12a1a1(0,),)(0afx()f在 单调递增； 12 分()fx,)(fx综上所述：当 时， 在 单调递减， 在 单调递增；0)(,1()fx1,)当 时， 在 单调递减， 在 单调递增；12a(fx)af(,)a当 时 在 单调递减. 13 分),)21.解: （1）椭圆 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正)0(1:2bayxC方形， ， ， 2 分ab2又椭圆经过点 ，代入可得 ，2(1,)P21b故所求椭圆方程为 4 分2
13、.xy(2)设 因为 的垂直平分线通过点 ， 显然直线 有斜率，12(,)(,)AxyBAB1(0,)2AB当直线 的斜率为 时,则 的垂直平分线为 轴，此时0y1212,xy所以 ，因为 ，所以11=|2|AOBSxy21x2111|()xyy所以 ，当且仅当 时， 取得最大值为 ， 7 分2AOBS1|xAOBS2当直线 的斜率不为 时，则设 的方程为0ykxt所以 ，代入得到 8 分21ykxt22(1)40kxkt当 , 即 28()0kt2t方程有两个不同的解又 ， 10 分121kx21xkt所以 ，又 ，化简得到 121ytk120yxk21kt代入 ，得到 11 分 0t又原点到直线的距离为 2|1tdk222124| tABkx所以222| |4=|111AOBtkttktSdk 考虑到 且 化简得到 13 分 21kt02t21=4AOBSt因为 ，所以当 时，即 时， 取得最大值 .0ttkAB综上， 面积的最大值为 . 14 分AOB2
