1、.关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式 =nnnaa 212112n nnj jjja 21 2121)( 3213213121 aaa33231213aaD （1）2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是 3!项的代数和; (2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为: (3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为 123,231,312.它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为 321,213,132,它们都是奇排列. 行列式的性质性质
2、 1：行列式和它的转置行列式的值相同。即 = ；nnnaa 21212 nnna 212121行列式对行满足的性质对列也同样满足。性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式的值变号.如: D= =ad-bc , =bc-ad= -Ddcbbadc以 r 表第 i 行，C 表第 j 列。交换 i,j 两行记为 r ,交换 i,j 两列记作 Ci j jiC 。ij.性质 3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。性质 4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数 k 乘这个行列式。 （第 i 行乘以 k，记作 r i）推论 1
3、：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。推论 2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。推论 3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。性质 5：如果行列式 D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式 D 等于两个行列式 D1 和 D2 的和。 =nnjnnjaba 21222111+njnnjaa 212211 nnab 212112性质 6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。推论 如果行列式的某一行（列
4、）的每个元素都是 m 个数之和(m2)，则此行列式等于 m 个行列式之和。nniii nnniii n aaaakaakaa 2111221112.列 式 。则 称 此 行 列 式 为 对 称 行 ；如 果 满 足 ：定 义 ： 行 列 式 ),1,(njiaaijij 一个 n 阶行列式，如果它的元素满足： ；试证：当 nnjiajji 2,1为奇数时，此行列式为零。每一行（或列）提出一个（-1） ，再转置得 D=（-1） nD性质 7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。按行： jiAaAajnijiji 021按列： jijiji 将性质 7
5、 与 Laplace 定理合并为下列结论：（1）jiDAankjki01和 （2）jinkkji1行列式的计算1利用行列式定义直接计算例 1 计算行列式 01020nDn解 Dn 中不为零的项用一般形式表示为.121!nnaa该项列标排列的逆序数 t（n1 n21n）等于 ，故(1)2n()2!.nD2利用行列式的性质计算例 2 一个 n 阶行列式 的元素满足nija,1,2,ijji n.则称 Dn 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零 .证明：由 知 ，即ijjiaiia0,12,i n故行列式 Dn 可表示为 123123312300nnnaaaa 由行列式的性质 A123123
6、 312300nnnaaD 12312331230() 0nnnnaaaa ()D当 n 为奇数时，得 Dn = Dn，因而得 Dn = 0.3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例 3 计算 n 阶行列式 abbDba 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，.把第 2，3，n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得()(1)anbbaDanba ()1bba 00()baanab 1()nb4降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普
7、拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。例 4 计算 n 阶行列式 010010naDa解 将 Dn 按第 1 行展开.1000()00nnaaDa 12()nna.25逆推公式法逆推公式法：对 n 阶行列式 Dn 找出 Dn 与 Dn1 或 Dn 与 Dn1 , Dn2 之间的一种关系称为逆推公式（其中 Dn, Dn1 , Dn 2 等结构相同） ，再由递推公式求出 Dn 的方法称为递推公式法。例 5 证明 1221100nnxxaa ,(2)nnx证明：将 Dn 按第 1 列展开得 12321100nnxxaa 10
8、0()1nxx 1naxD由此得递推公式： ，利用此递推公式可得n112()n nxaxD.21nnaxD1nax 6利用范德蒙行列式例 6 计算行列式 122 2112121nnnnxxxD解 把第 1 行的1 倍加到第 2 行，把新的第 2 行的1 倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n1 行的1 倍加到第 n 行，便得范德蒙行列式1221112()nijijnnxxDx7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。例 7 计算 n 阶行列式 1212nn nxaaDaxa 解： 0nnD.（箭形行列式）1202,1ni aaxnx 第 行
9、 减 第 1行 1200nj naaxx1njax8数学归纳法例 8 计算 n 阶行列式 1221100nnxDxaa 解：用数学归纳法. 当 n = 2 时 1221()xDxa2假设 n = k 时，有 121kkkkDxaxax则当 n = k+1 时，把 Dk+1 按第一列展开，得 11kk11( )kkxaxa12kk由此，对任意的正整数 n，有 121nnDxaxa.9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。例 9 计算行列式 nD1212nnaa解： n1212nnaa 120nnaa 20naa 1D121
10、na121nia上面介绍了计算 n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。(1) ;yxzbazybaxzyx)(3证明bzayxbazbzayxxy.bzayxzybaxz22z33yxbzyxa33 z)(3关于行列式的消项（其中 C 代表列R 代表行）(2) (ab)3;12a证明122ba02213abac(ab)3)(23 1)(3) 44221dcba(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明 44221dcba（c 2 ,c3 ,c4 减数字去)()()(0
11、1222 ad.第一列的 ）)()()(11)( 222adcabdacb)0b()(1)()( adbcdcacb =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) (4) xna1xn1 an1xan 21 0 xn证明 用数学归纳法证明 当 n2 时 命题成立 21212axxaD假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则 Dn 按第一列展开 有1 1 00)(1 xnnxD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于 n 阶行列式命题成立 6 设 n 阶行列式 Ddet(aij),把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对
12、角线翻转 依次得 na11 112 na13 an证明 D3D D)(21.证明 因为 Ddet(aij) 所以 nnna2111 ( )(31121nna Dn2)1()(2 1)(同理可证 nnaD )(1122 nTn2)1(2)1(Dnn )1(2)1(2)(2)(37 计算下列各行列式(D k 为 k 阶行列式) (1) , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都an1是 0 解(按第 n 行展开) aaDn0 10 1)1( )( nna )1(2 nna.anan2an2(a21) nna)2(1 )(2) ;xaDn 解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得 axxan 0
13、 再将各列都加到第一列上 得x(n1)a(xa)n1axDn 00 )1(3) ;1 1 )( )(111naannn解 根据第 6 题结果 有nnnn aaD)( )1( )1( 12 此行列式为范德蒙德行列式 12)(1 )()jinn j)(ji12 )1(2)1( )(jinnn.例 3 0abD 00224321 ababr 0121abbar babr 20112134aba02b22422b练习 3：证明: . 02cos2cosiniin2D证明：左边 2cos2cosiniin22 1cos2cs1cos22 222cscs11 0222 从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 . n-1 n 1 1 1 . 1 1-n . . . . 1 1-n 1 . 1 1 .然后做列变换，从各列中减去第一列，得到： 1 1 2 . n-2 n-1 1 0 0 . 0 -n . . . . 1 -n 0 . 0 0 再把各列乘以(1/n) ，加回到第一列，得到： (n+1)/2 1 2 . n-2 n-1 0 0 0 . 0 -n . . . . 0 -n 0 . 0 0 最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*nn-1*(-1)(n-1)(n-2)/2
