1、.知识要点一 概念：1 随机事件：用 等表示,ABC互不相容： 互逆： 且 ，此时，BA互逆 互不相容 ，反之不行相互独立： 或()(PAB)()PA2 随机事件的运算律： (1) 交换律 ： ,B(2) 结合律 ： ()(),()ACACB(3) 分配律 ：(),()(B(4 ) De Morgen 律（对偶律）BABA推广： 1nii1niiA3 随机事件的概率： ()P有界性 0若 则AB()B条件概率 ()PA4 随机变量： 用大写 表示 . ,XYZ若 与 相互独立的充分必要条件是 )(),(yFxyYX若 与 是连续随机变量且相互独立的充分必要条件是 XY ,()XYffxy若 与
2、 是离散随机变量且相互独立的充分必要条件是 ()pxyp.若 与 不相关，则 或 XYcov(,)0XY(,)0RXY独立 不相关 反之不成立但当 与 服从正态分布时 ，则相互独立 不相关相关系数： 且当且仅当 时 ，并且1),(Rba1),(0,bYX二 两种概率模型古典概型 ： 所包含的基本事件的个数 ； 总的基本事件的个数()MPAN: :N伯努利概型 ： 次独立试验序列中事件 恰好发生 次的概率 nAm()mnnPCpq次独立试验序列中事件 发生的次数为 到 之间的概率12211()()mn次独立试验序列中事件 至少发生 次的概率nAr10()()()nrnmrmPP特别的 ，至少发生
3、一次的概率 1np三 概率的计算公式：加法公式： ()()()PABPAB若 互不相容 ,则, (P推论： )()(1推广： )()()()()()( ABCPBCACBPACBAP 若 ， 互不相容，则, P乘法公式： 或)()()若 相互独立 ，,ABPAB推广： )()()()( 12121312121 nnn APAP 若它们相互独立，则 )n .全概率公式：若 为随机事件， 互不相容的完备事件组，且 AnB21, 0)(iBP则 )()()()( 2 nnAAPPB注： 常用 作为互不相容的完备事件组 ,有诸多原因可以引发某种结果 ，而该结果有不能简单地看成这诸多事件的和 ，这样的概
4、率问题属于全概问题.用全概率公式解题的程序：（1） 判断所求解的问题 是否为全概率问题（2） 若是全概率类型，正确的假设事件 及 ， 要求是互斥的完备事件组AiBi（3） 计算出 (),()iiPB（4） 代入公式计算结果四 一维随机变量：1 分布函数： )()xXxF性质：（1） 10（2） 若 ，则21x)(2xF（3） 若 是离散随机变量，则 是右连续的X若 是连续随机变量，则 是连续的)(（有时，此性质也可用来确定分布函数中的常数）（4） 即 1)(limxFx 1)(即 （ 此性质常用来确定分布函数中的常数）0 0F利用分布函数计算概率： ()()PaXba一维离散随机变量：概率函数
5、： （分布律）()1,2iipxx性质： 0i（此性质常用来确定概率函数中的常数）()1iix已知概率函数求分布函数 ()()()i iiixxFPXp一维连续随机变量： .概率密度 ()fx性质：（1） 非负性 ()0f（2）归一性： （常用此性质来确定概率密度中的常数）1xd分布函数和概率密度的关系： ()fFx()fd（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用概率密度求概率 ()()baPaXfx五 一维随机变量函数的分布：离散情形 ： 列表 、整理、合并连续情形 ： 分布函数法. 先求 的分布函数 ，再求导()YgY六 二维随机变量：联合分布函数
6、： (,)(,)FxyPXxy性质：（1） （2） (,)0(,)0F（3） （4） y1（此极限性质常用来确定分布函数中的常数）边缘分布函数： (),)XFx),()yyY二维离散随机变量：联合概率函数 列表(,)(,)ijijpyPx边缘概率函数： Xiijjxy(,)Yiijipyxy二维连续随机变量： 联合概率密度 (,)fx性质 （1） (,)0fxy（2） （常用此性质来确定概率密度中的常数）,1dxy联合分布函数与联合概率密度的关系 ),(),(Fyxf2.xydxyfF),(),(（注意：当被导函数或被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）利用联合概率密度求概率
7、 (,)(,)RPxyfxyd已知联合概率密度求边缘概率密度()(,)Xff()(,)Yffxyd（注意：当被积函数是分段函数时，要分区间讨论，其结果也是分段函数）二维随机变量函数的分布1 离散情形2 连续情形：七 随机变量的数字特征：若 为离散随机变量： X1()()niiEXxp若 为连续随机变量： fd二维情形 若 为二维连续随机变量，则(,)(,)Yfxy() (,)XExfdfxy(,)yx若 为二维离散随机变量，则(,),ijYpx()(,)iXiiijijExpy()jYjjijjiy随机变量的函数的数学期望：若 为离散随机变量： ()()iiiEgxp若 为连续随机变量 XXf
8、d方差：定义 2()()D方差的计算公式： E注意这个公式的转化： 22()()XDEX.协方差： ，相关系数)()(),cov(YEXYX )(,cov),(YDXYR关于期望的定理： 关于方差的定理（1） （1） ()EC()0DC（2） （2） ()X 2()X（3） 相互独立： ()YEY()(DD)(EX ()()DXYDY（注意：反之不成立）( )YEXY相互独立 （注意：反之不成立）()()一般地： ),cov(2)(YXDXYD八 要熟记的常用分布及其数字特征：分布 01(,)Bp1(0,xpq()()EpDXq二项分布 nniCn np泊松分布 ()p0,1!xe ()()均
9、匀分布： (,)Uab(0axbfxb其 他 ()01xaxbbFX2()()21aaEXDX指数分布： ()e0xef 0()xeF211()EX.正态分布： 2(,)XN2()1()xfxe 2()1()2xFxed2()ED特别地 0,1N 21()xxe（ ）2()xxed)(1)(x()0EXD若 ，则2,)N1212()()xxXPxXP)九 正态随机变量线性函数的分布；十 统计部分：统计量 ，三大分布的定义，无偏性 有效性矩估计 最大似然估计 区间估计 假设检验矩估计的步骤：（思路：用样本的 k 阶原点矩去估计总体的 k 阶原点矩）若总体中只含一个未知参数；（1） 计算总体的一阶
10、原点矩 )(XE（2） 令 ，从中解得未知参数的矩估计量。niiVXE1)(若总体中含有两个未知参数；（3） 计算总体的一阶原点矩 ，二阶原点矩)(XE)(2XE（4） 令 ，从中解得未知参数的矩估计量。niiiiVXE1221)(最大似然估计的步骤：（1） 写似然函数：若总体是连续的随机变量，则 niixfL1),()(.若总体是离散的随机变量，则 niixpL1),()(（注：离散情形，似然函数就是样本出现的概率）（2） 对似然函数两边取对数；（3） 对参数求导数，并令导数等于 0（4） 由此解得参数的最大似然估计值。区间估计的步骤：若已知 ，则 的置信水平为 的置信区间为1),(2020
11、unxx查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。若未知 ，则 的置信水平为 的置信区间为1)1(,)( 22ntsxntsx查表，将所有的数据代入上式，求出区间即可。假设检验的步骤：（对参数 ）（1） 根据题意提出原假设与备择假设（2） 根据题意选取统计量；已知 ，则应该选择 统计量u)1,0(0NnX未知，则应选择统计量 )(/ntSt（3） 计算统计量的观察值（4） 查临界值，判断统计量的观察值是否在拒绝域里，下结论。例： 甲袋中有 5 只红球 10 只白球，乙袋中有 8 只红球 6 只白球，现先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后又从乙袋中任取一球放入甲袋. 求这一个来回后甲袋中红球数不变的
12、概率 . 解： 设 ：从甲袋中取出放入乙袋的是红球， ：从乙袋中返还甲袋的是红球, : 这一ABC个来回后甲袋中红球数不变，则 ,AC从而 )()()()() ABPBPPBACP.9518095例 高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立） ，设每发炮弹击中敌机的概率均为 ，又若敌机中一弹，其坠落的概率为 ，若敌机中两弹，其坠落的概率为 ，3.0 2.06.0若敌机中三弹，则必然坠落。求敌机被击落的概率。解： 设事件 表示敌机被击落，事件 表示敌机中 弹。AiBi3,21则 41.0)3.1(.0)(231CBP 189.0).(.0)(32CP72.)(1A6.)(2BA)(3BA所
13、以，)()()()( 332211 PPPB286.007.34.1.69. 例：设 的分布函数 求 XRxF10)(2 )(xf解： 当 时，Rx02)()(Ff当 时，x,00xf在 处导数不存在，但规定为零 R其02)(Rxf例：设连续随机变量的概率密度 20cos)(xaxf.求： )40()3)(2)1( xPxFa解： （1） (对称性质)axdaddf 2sinco2cos)(200 由 得： 1xf 21（2）当 时，2xdfF0)()(当 时 ，x xx ddddf 22cos1cos0)()( 2其)1(sinsi212x当 时 ，x1sin2)()( xddxfFx21)
14、sin(20)(xxF（3） 42cos1)()40( 400 xddfP或 42)0sin1()in(2)()( Fx例： ，求 的 密度函数1XeYX解 ： 0()xf)()YFyPxy当 时 ，00Yy.当 时 ，0y 220()()()yyxYFyPxyfxde20()0yYxed2()YyfF例：设随机变量 的概率密度为X.,0,1,)1(6)(其 它 xxf求：(1) , (2) )(,)(DE)2XP解：（1） 21)43(64136)(6)1(6)()( 010320 xdxdxdxfX 103)5(5)()()()( 104104310222 xxxxfxE2413)()()
15、2XEXD(2) )2418()321(63216)(6)()21(12 xdxdxfP4设随机变量 的概率密度为X.,0,21,)(3)(其xxkf求 常数 的值； ；（3） )1(k)2(XE)(D解：（1） dxkxdxf 2110 21k,3k.由 知 ，解得 .1)(dxf 123k31k( 2 ) dxxdxfXE 2102)()(.679443131(3) xxxf 213022 )()()(,512544 22)367()()XEXD例： 设随机变量 的概率密度为 ，),(Y.,0;,),(其xyeyxfy计算：（1）边缘概率密度 （2） 与 是否相互独立？,)ffYXXY为什
16、么？解 （1）当 时 ， 0x0)(xfX当 时， xxyxyedeyf ),所以 .0,;)(xexfX当 时 ， 0y0yfY当 时， yyedxxf 0),()(所以 .0,;)(yeyfY（2）因为 ),()(xffxYX所以 与 不相互独立。例 设随机变量 的联合概率密度为：),(.,0;20,cos),( 其 它 yxyxyxf求：（1） 的边缘概率密度 ， （2）X)(fX )2(YXP解：（1） dyxff,()(当 或 时，0x20)(fX当 时， xyxdyxf cos)(sincosco2020 所以， .,0;cos)(其 它xfX（2） dyxdxyfYPyx 202
17、 cos),()( 42sin12cos1cs)2sin(cosinco 002020020 xdxxxdx例： 总体 的概率密度为 ， 是未知参数 ，求 的X(1)1)fx其 他 矩估计量.解： 1 10 01()()()()2Efdxdxd 令 12X由此解得 的矩估计量为， A21X例 设总体的 概率密度为 ， 其中 为未知X.2,0;),()2(xexf 0参数 ，如果从该总体中取得简单随机样本观测值 ，求参数 的最,1nx大似然估计值。.解 似然函数为)2()2(11 1),()( nxnxninii iieexfL 取对数得 )(l)(l1ni对 求导得 )2(ln1xdLni令
18、即 0)(lndLni1从而得到 的最大似然估计值为211xni例： 设总体 ， 为未知参数 ).,(2NX（1）已知从该总体中随机抽取 个观测值的平均值为 ，求 的置信水平为 的520.89.0置信区间（结果保留四位小数） （2）要使 的置信水平为 的置信区间长度不超过 ，问样本容量最少应为多少？9.01解：（1） 已知 ，则 的置信水平为 的置信区间为),(2020unxx， ， ， ， ， ，于是25n9.11.058.2)(0502tu，619.58.20un又 ，于是置信区间为20.8x=),(2020unxx ),6192.0.8,6192.0.8(即 ).819,50.7(（2）
19、要使置信区间长度 192.658.21220 nnul， ，样本容量最少为 .192.6n34.83.例：从一批火箭推力装置中抽取 个进行试验，测试其燃烧时间（s） ，经计算8得样本均值 （s ） ，样本标准差 （s） ，设燃烧时间服从正态分8.51x 6.0S布 ，求燃烧时间均值 的置信水平为 的置信区间。),(2N9解 未知 ，则 的置信水平为 的置信区间为1)(,)1( 22ntsxntsx因为置信水平 ，所以 自由度 ， 查表90.0.71n85)7()1(05.2tnt42162nts从而置信区间为 )32.5,78.1().08.5,42.0851( 例： 设总体 服从正态分布 ，
20、现从中抽取样本容量为 的样本。测X).,(2N9得样本均值 ，样本标准差 。问在显著性水平 下，可否认为02.36x40S05.总体均值 为 ？ 1解 根据题意待检验的假设为6.31:00H6.3:01H已知 ，则应该选择 统计量u),(0NnX计算 统计量的观测值为u47.192.036查表 .1025.u因为 ，所以在显著性水平 下，接受原假设。6472 05.即 即认为总体均值 0.31例： 已知全国高校男生百米跑平均成绩为 （秒） 为了比较某高校与全国高校5.140的男子百米跑水平，现从该校随机抽测男生 人的百米跑成绩均值为 （秒） ，标准差31.4为 （秒） 试问：在显著性水平 下，可否认为该校男生的百米跑平均547.0s .成绩与全国高校男生百米跑平均成绩有显著差异？解：待检验的假设为： ;5.14:00H;5.14:01H显著水平 ，标准差为 ， ，5.7s3n未知，故选择统计量 )(/tSXt计算 统计量的观测值为： ，t 63.21/547.0.t当 时， ，拒绝域为：05.92)1(025.t ),(),(2t即 , 在拒绝域内，拒绝原假设，即认为该).79.,(63.2t校男生的百米跑均值与全国高校有显著差异。
