1、2.3.3 直线与圆的位置关系自主学习学习目标1能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系2能根据直线与圆的位置关系解决有关问题自学导引直线 AxByC0 与圆(xa) 2(yb) 2r 2的位置关系及判断位置关系 相交 相切 相离公共点个数 _个 _个 _个判定方法几何法：设圆心到直线的距离 d|Aa Bb C|A2 B2 d_r d_r d_r代数法：由Error!消元得到一元二次方程的判别式 _0 _0 _0对点讲练知识点一 直线与圆的位置关系的判定例 1 判断圆 x2y 22x4y30 与直线 l：xy10 的位置关系，并讨论圆上的点到直线xy10 的距离为 的点共有几个？2点评
2、 判断直线与圆的位置关系的方法有两种：(1)利用圆心到直线的距离和圆半径大小比较来判断；(2)联立直线和圆组成的方程组，由方程组解的个数来判断变式训练 1 已知 P(x0，y 0)在圆 x2y 2R 2的内部，试判断直线 x0xy 0yR 2与圆的位置关系知识点二 直线与圆相交问题例 2 求直线 l：3xy60 被圆 C：x 2y 22y40 截得的弦长点评 由于直线与圆的方程都已知，故此类题目也可以联立方程求出交点坐标，再由两点间的距离公式求弦长，但这种方法显然较繁琐对比这两种方法，几何法较简捷，故求解圆的有关问题时，应充分利用圆的性质求解，这样能简化计算变式训练 2 直线 l经过点 P(5
3、,5)，且和圆 C：x 2y 225 相交，截得的弦长为 4 ，求 l的方程5知识点三 直线与圆相切问题例 3 求过点 P(1,5)的圆(x1) 2(y2) 24 的切线方程点评 求过一定点的圆的切线方程，首先判断点与圆的位置关系，若在圆上，则该点为切点，若在圆外，则切线有两条一般用圆心到直线的距离等于半径来解较为简单，若求出的斜率值只有一个，应找出过这一点与 x轴垂直的另一条切线变式训练 3 自点 A(3,3)发出的光线 l射到 x轴上，被 x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y 24x4y70 相切，求光线 l所在直线的方程1直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种，其判定方法为：(1)代
4、数法：即求直线方程与圆的方程所组成的方程组的实数解的个数当 0，相交；当 0 时，相切；当 r时，相离2求直线被圆截得弦长的方法(1)应用圆中直角三角形：半径 r，圆心到直线的距离 d，弦长 l三者具有关系 r2d 2 2；(l2)(2)利用弦长公式：设直线 l为 ykxb，与圆两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用韦达定理得弦长l |x1x 2| .1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2【答案解析】自学导引位置关系 相交 相切 相离公共点个数 2个 1个 0个几何法：设圆心到直线的距离 d|Aa Bb C|A2 B2 dr判定方法 代数法：由
5、Error!消元得到一元二次方程的判别式 0 0 R.直线 x0xy 0yR 2与圆 x2y 2R 2相离例 2 解 方法一 由直线 l与圆 C的方程，得Error!，消去 y得 x23x20.设两交点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，由根与系数的关系有 x1x 23，x 1x22，|AB| x1 x2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 3x1 6 3x2 6 2 1 32 x1 x2 2 10 x1 x2 2 4x1x2 .10 32 42 10弦 AB的长为 .10方法二 圆 C：x 2y 22y40 可化为 x2(y1) 25.其圆心坐标为 C(0,1)
6、，半径 r ，5点 C(0,1)到直线 l的距离为d ，|30 1 6|32 12 102所以半弦长 |AB|2 r2 d2 . 5 2 (102)2 102所以弦长|AB| .10变式训练 2 解 方法一 设直线 l的方程为 y5k(x5)且与圆 C相交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，由Error!，消去 y，得(k 21)x 210k(1k)x25k(k2)0.10k(1k) 24(k 21)25k(k2)0.解得 k0.x1x 2 ，x 1x2 .10k 1 kk2 1 25k k 2k2 1由斜率公式，得 y1y 2k(x 1x 2)|AB| x1 x2 2 y1 y2
7、2 1 k2 x1 x2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 100k2 1 k 2 k2 1 2 425k k 2k2 1 4 ，5两边平方，整理得 2k25k20.解得 k 或 k2 符合题意12故直线 l的方程为 x2y50 或 2xy50.方法二 圆心到 l的距离 d ，r2 (l2)2 5设 l：y5k(x5)，即 kxy55k0，d .|5 5k|k2 1 ，k 或 2.|5 5k|k2 1 5 12l 的方程为 x2y50 或 2xy50.例 3 解 当斜率 k存在时，设切线方程为 y5k(x1)，即 kxyk50.由圆心到切线的距离等于半径得 2，|k 2 k 5|k2 1解得 k ，切线方程为 5x12y550.512当斜率 k不存在时，直线方程为 x1，此时与圆正好相切综上，所求圆的切线方程为 x1 或 5x12y550.变式训练 3 解 如图所示，已知圆 C：x 2y 24x4y70 关于 x轴对称的圆为 C1：(x2) 2(y2) 21，其圆心 C1的坐标为(2，2)，半径为 1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆 C1相切设 l的方程为 y3k(x3)，则 1，即 12k225k120.|5k 5|12 k2k 1 ，k 2 .43 34则 l的方程为 4x3y30 或 3x4y30.高考试题库
