1、2.3.3 直线与圆的位置关系学习目标：1.理解直线与圆的三种位置关系(重点)2.会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 (重点)3.能解决直线与圆位置关系的综合问题(易错点、难点)自 主 预 习探 新 知1直线与圆有三种位置关系位置关系 交点个数相交 有两个公共点相切 只有一个公共点相离 没有公共点2直线 AxByC 0 与圆 (xa) 2(y b) 2r 2 的位置关系及判断位置关系 相交 相切 相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离dError!dr d r dr判断方法代数法：由消元得到一元二次方程的判别式 0 0 0基础自测1思考辨析(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与
2、圆相交或相切( )(2)直线 x2y10 与圆 2x22y 24x 2y10 的位置关系是相交( )提示 (1) (2)2直线 3x 4y50 与圆 x2y 21 的位置关系是 ( )A相交 B相切C相离 D无法判断B 圆心(0,0)到直 线 3x4y50 的距离 dError!1.dr， 直线与圆相切 选 B.3若直线 x ym0 与圆 x2y 22 相离，则 m 的取值范围是_(， 2) (2，) 直线与圆相离，圆心到直 线的距离 dr.即Error!， m2 或 m 2.合 作 探 究攻 重 难直线与圆的位置关系的判断已知直线方程 mxym10，圆的方程x2y 24x 2y10.当 m
3、为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点. 【导学号：07742292】解 将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得，(1m 2)x22(m 22m 2)xm 24m40.4m(3m4)，当 0，即 m0 或 m Error!时，直 线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当 0，即 m0 或 mError!时，直 线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当 0，即Error!m0 时，直 线与圆相离，即直 线与圆没有公共点规律方法 判断直线与圆的位置关系应注意的问题1利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.2在解决直线 与圆的位置关系问题
4、时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算.提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标.跟踪训练1已知直线 l：x2y 50 与圆 C：( x7) 2(y1) 236，判断直线 l 与圆 C 的位置关系解 法一：(代数法)由方程组消去 y 后整理得 5x250x610.( 50) 245611 2800，该方程 组有两组不同的实数解，即直线 l 与圆 C 相交法二：(几何法)圆心(7,1)到直 线 l 的距离 为d 2.dr6， 直线 l 与圆 C 相交.切线问题过点 A(4,3)作圆 (x3) 2(y1) 21 的切线，求：(1)此切线的方程；(2
5、)其切线长.思路探究：先确定点 A 在圆外，切线应有两条，再根据圆心到直线的距离dr.求切 线方程；利用勾股定理求切线长解 (1)因为(43) 2(31) 2171，所以点 A 在圆外若所求直线 的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y3k (x4)设圆心为 C，因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，所以Error!1，即|k4|，所以 k28k16k 21.解得 kError!.所以切线方程为 y3 Error!(x4)，即 15x8y360.若直线斜率不存在，圆心 C(3,1)到直线 x4 的距离也 为 1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x 4.综上，所求切线方
6、程为 15x8y360 或 x4.(2)因为圆心 C 的坐标为(3,1)，设切点为 B，则ABC 为直角三角形，|AC|，又|BC|r1，则|AB| 4，切线长为 4.规律方法 过一点的圆的切线方程的求法1点x 0，y0在 圆上. 先求切点与圆心连线的斜率 k，再由垂直关系得切线的斜率为Error!，由点斜式可得切线方程. 如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程yy 0 或 xx 0.2点x 0，y0在 圆外. 设切线方程为 y y0kxx 0，由 圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 k，也就是切 线方程. 当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 xx 0，因为在上面解法中不包
7、括斜率不存在的情况. 过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.提醒：已知一点求圆的切线方程时，切勿漏掉斜率不存在的情况.跟踪训练2圆 x2y 24 在点 P(，1)处的切线方程为( )Axy20 Bxy40Cxy 40 Dx y 20C ()2(1) 24，点 P 在圆上切点与圆心连线的斜率为Error!，切线的斜率为，切线方程 为 y1( x)，即 xy40.3点 P 是直线 2xy 100 上的动点，PA，PB 与圆 x2y 24 分别相切于 A， B 两点，则四边形 PAOB 面积的最小值为_ 8 如图 所示，因为 S 四边形 PAOB2S POA.又 OAAP，所以 S
8、四边形 PAOB2Error!|OA|PA|22.为使四边形 PAOB 面积最小，当且仅当|OP| 达到最小，即为点 O 到直线2xy100 的距离：|OP| minError!2.故所求最小值为 28.弦长问题探究问题1已知直线 l 与圆相交，如何利用通 过求交点坐标 的方法求弦长？提示 将直线 方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB| 求弦长2若直线与圆相交、圆的半径为 r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？提示 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l2.求直线 l：3xy 60 被圆 C：x 2y 22y40 截得的弦长. 思路探究：本题可以考虑利用弦心距，
9、半弦长和半径构成的直角三角形求解若交点坐标易求，则可以联立解方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解 解 法一：圆 C：x2y 22 y40 可化为 x2(y 1) 25，其圆心坐标为(0,1) ，半径 r.点(0,1)到直线 l 的距离为 dError!Error! ，l2，所以截得的弦长为 .法二：设直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点由Error!得交点 A(1,3)，B(2,0)，所以弦 AB 的长为| AB|.母题探究：1.若本例改为“过点(2,0)的直线被圆 C：x 2y 22y40 截得的弦长为，求该直线方程” ，又如何求解解 由例题知，圆心 C(0,1)，半径 r，又弦
10、长为.所以圆心到直线的距离 dError!Error!Error! Error! .又直线过点(2,0) ，知直线斜率一定存在可设直线斜率为 k，则直线方程为 yk( x2)，所以 dError!Error! ，解得 k3 或 kError!，所以直线方程为 y3(x2)或 yError!(x 2)，即 3xy60 或 x3y20.2本例若改为“求过点 M(1,2)且被圆 C：x 2y 2 2y40 所截弦长最短时，直线的方程” ，又如何求解？解 由例题知 圆心 C(0,1)，圆的标准方程为 x2(y1) 25.因为 12(2 1) 25，故点 M(1,2)在圆内则当 CM 与直线垂直时弦长最
11、短，又 kCM1，所以所求直线的斜率为1，又过点 M(1,2)，所以直线方程为 y2 (x1)，即 xy30.规律方法 求弦长常用的三种方法1利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，弦 长 l 之 间的关2利用交点坐标,若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长.3利用弦长公式 ,设直线 l：ykx b，与圆的两交点x 1，y1，x2，y2，将直 线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长当 堂 达 标固 双 基1直线 3x 4y120 与圆 (x1) 2(y1) 29 的位置关系是( )A过圆心 B相切C相离 D相交但不过圆心D 圆心坐标为(1，1)，圆
12、心到直线 3x4y120 的距离为dError!Error!r3.又点(1 ， 1)不在直线 3x4y120 上，所以直线与圆相交且不过圆心选 D.2设直线 l 过点 P(2,0)，且与圆 x2y 21 相切，则 l 的斜率是( ) A1 B Error!CError! DC 设 直 线 l 斜率为 k，则 l 的方程为 yk (x2)，由 l 与圆 x2y 21 相切，所以Error!1.解得 kError!.3(2018全国卷 )直线 yx1 与圆 x2y 22y 30 交于 A，B 两点，则|AB| _. 2 由题意知圆的方程为 x2(y1) 24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则
13、圆 心到直线 yx1 的距离 dError!，所以| AB|22.4圆 x2y 24x0 在点 P(1，)处的切线方程为_解 圆 x2y 24x0 的圆心坐标是(2,0)，所以切点与圆心连线的斜率：Error!，所以切线的斜率为Error! ，切线方程为：y Error! (x1)，即 xy20.故答案为：x y20.5求过点(1 ，7) 且与圆 x2y 225 相切的直线方程解 由题意知切 线斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线方程为y7k( x1)，即 kxyk70.Error!5，解得 kError!或 kError! .所求切线方程为 y7Error!(x 1)或 y7Error!(x1)，即 4x3y250 或 3x4y250.
