1、第 9 课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法, 3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示（q0） ，即： =q（q 0）1na注:1“ 从第二项起”与“前一项”之比为常数 q 成等比数列 =q（ ,q0）nna1N2 隐
2、含：任一项 0且3 q= 1 时，a n为常数列.2.等比数列的通项公式 1(0)naq 1nma3既是等差又是等比数列的数列：非零常数列4.等比中项的定义：如果 a、G 、b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.且 2Gac5证明数列 为等比数列：n定义：证明 =常数，1na中项性质： ；21212nnaA或【精典范例】【例 1】判断下列数列是否为等比数列：听课随笔（），；（），；（）1， ， ， ， .24186【解】（）所给数列是首项为，公比为的等比数列（）因为不能作除数，所以这个数列不是等比数列（）所给数列是首项为，公比为 的等比数列21【例 2】求出下列等比数列中的未
3、知项：（），；（）， 21【解】（） 根据题意，得所以或（） 根据题意，得解得所以，【例 3】在等比数列a n中，（）已知 ，求 ；（）已知 20， 160，求 【解】（）由等比数列的通项公式，得（）设等比数列的公比为，那么所以【例 4】在 243 和中间插入个数，使这个数成等比数列【解】设插入的三个数为 ， ， ，由题意知 243， ， ， ，3 成等比数列2a342a4设公比为，则因此，所求三个数为，或，追踪训练一1. 求下列等比数列的公比、第项和第项：（1），； （2）7， ， ，34928;,756（3）0.3，0.09，0.027，0.0081，；（4）5， ， ， .1c12c,3
4、c【答案】(1) 15,6,3naq(2) )32(7,81,2n(3) naaq.01,04.,3.5(4) !, cncc2. 数列 m,m,m,m, ( C )A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列a n是公比 q1 的等比数列，则在a n+an+1,an+1a n， nan这四个数1列中，是等比数列的有(C )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【选修延伸】【例 5】成等差数列的三个正数之和为 15，若这三个数分别加上 1，3，9 后又成等比数列，求这三个数.【解】设这三个数分别为 ,a
5、d()()15ad解得 5这三个数为,故由题意又可得 2(3)()(9)d解得 10d舍 去或 【师生互动】学生质疑教师释疑听课随笔这三个数为 3，5，7【例 6】已知数列a n满足：lg an3n5，试用定义证明a n是等比数列.【证明】 由 lgan3n5，得 an10 3n+5 100053)1(10n数列a n是公比为 1000 的等比数列.【点评】 若a n是等差数列，b nb an可以证明数列b n为等比数列，反之若a n为等比数列且 an0，则可证明lg an为等差数列.追踪训练二1在等比数列a n中，a 3a4a53，a 6a7a824，则 a9a10a11 的值等于(D )A
6、.48 B.72 C.144 D.1922在等比数列中，已知首项为 ，末项为 ,公比为 ，则项数 n 等于_4_.891323已知等比数列a n的公比 q= ,则 =_3_.38642751aa4已知数列a n为等比数列，(1)若 an0，且 a2a42a 3a5a 4a625，求 a3a 5.(2)a1a 2a 37，a 1a2a38，求 an.【解】 (1)由已知 an0，且 a2a42a 3a5a 4a625 知 a12q42a 12q6a 12q825即 a12q4(1q 2)225a 1q2(1q 2)5因此 a3a 5a 1q2a 1q4a 1q2(1q 2)5(2)由已知 a1a 2a 37，a 1a2a38 知 873121qa得 即 2q25q20 解得 q2 或 q712q 1当 q2 时，a 11 a n2 n1 当 q 时，a 14 a n2 3n)(12aq即
