1、第二章过关检测(时间:45 分钟,满分:100 分)一、选择题(每小题 6 分,共 48 分)1.设 F1,F2是椭圆 E:=1(ab0)的左、右焦点, P 为直线 x=上一点, F2PF1是底角为30的等腰三角形,则 E 的离心率为( ) .A. B. C. D.答案:C解析:设直线 x=与 x 轴交于点 M,则 PF2M=60,在 Rt PF2M 中, PF2=F1F2=2c,F2M=-c,故 cos60=,解得,故离心率 e=.2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=-2,则抛物线的方程是 ( ) .A.y2=-8x B.y2=8xC.y2=-4x D.y2=4x答案:B解析:抛物线的
2、准线方程为 x=-2,抛物线的开口向右 .设抛物线的标准方程为y2=2px(p0),则其准线方程为 x=-, -=-2,解得 p=4.抛物线的标准方程为 y2=8x.3.已知双曲线 =1 的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) .A. B.4 C.3 D.5答案:A解析:由双曲线的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,知 c=3,c2=9=4+b2,于是 b2=5,b=.因此该双曲线的渐近线的方程为 y=x,即 x2y=0.故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 d=.4.设 F1,F2是双曲线 x2-=1 的两个焦点, P 是双曲线上的一点,且
3、 3|PF1|=4|PF2|,则PF1F2的面积等于( ) .A.4 B.8C.24 D.48答案:C解析:由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|=4|PF2|可知, |PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=8,|PF2|=6,又 |F1F2|=2c=10,所以 PF1F2为直角三角形,所以 PF1F2的面积S=68=24,故选 C.5.过抛物线 y2=4x 的顶点 O 作互相垂直的两弦 OM,ON,则 M 的横坐标 x1与 N 的横坐标 x2之积为( ) .A.64 B.32C.16 D.4答案:C解析:由已知设 OM 的斜率为 k,则 ON 的斜率为 .从而 OM 的方程为 y=kx
4、,联立方程解得 M 的横坐标 x1=.同理可得 N 的横坐标 x2=4k2,可得 x1x2=16.6.以椭圆 =1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为( ) .A.4x-y-3=0 B.x-4y+3=0来源:学优 GKSTKC.4x+y-5=0 D.x+4y-5=0来源:学优 gkstk答案:D解析:设弦的两端点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减得=-,即 =-.而 AB 的中点为 M(1,1),所以 x1+x2=2,y1+y2=2,又 kAB=,所以 kAB=-=-,于是弦 AB 所在直线的方程为 y-1=-(x-1),即 x+4y-5=0.来源 :学优 g
5、kstk7.已知双曲线 =1(a0,b0)的两条渐近线均和圆 C: x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) .A.=1 B.=1C.=1 D.=1答案:A解析:由题意得 =1(a0,b0)的两条渐近线的方程为 y=x,即 bxay=0.又圆 C 的标准方程为( x-3)2+y2=4,半径为 2,圆心坐标为(3,0), a2+b2=32=9,且 =2,解得 a2=5,b2=4.该双曲线的方程为 =1.8.若 F1,F2是椭圆 +y2=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 |的最大值是( ) .A.4 B.5 C.2 D.1答案:C解析:依
6、题意 a2=4,b2=1,c=,则 F1(-,0),F2(,0).设 P(x,y),则 =(-x,-y),=(-x,-y).=x2-3+y2=x2-3+1-x2=x2-2,因为点 P 在椭圆上,所以 -2 x2,故 -2 x2-21,故 |=0,2,即 |的最大值是 2.二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)9. ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是( -6,0),(6,0),边 AC,BC 所在直线的斜率之积等于 -,则顶点 C 的轨迹方程是 . 答案: =1(x 6,y0)解析:设 C(x,y),则 kACkBC=-,整理得 4x2+9y2=144(x 6,y0) .10.抛物线
7、y2=4x 的弦 AB x 轴,若 |AB|=4,则焦点 F 到直线 AB 的距离为 . 答案:2解析:由抛物线的方程可知 F(1,0),由 |AB|=4 且 AB x 轴,得 =(2)2=12, xA=3,点 F到直线 x=3 的距离为 2.11.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2在 x 轴上,离心率为 .过F1的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且 ABF2的周长为 16,那么椭圆 C 的方程为 . 答案: =1解析:由椭圆的第一定义可知 ABF2的周长为 4a=16,得 a=4,又离心率为,即,所以 c=2,故 a2=16,b2=a2-c2=16-8
8、=8,则椭圆 C 的方程为 =1.三、解答题(共 3 小题,共 34 分)12.(10 分)已知直线 y=x-4 被抛物线 y2=2mx(m0)截得的弦长为 6,求抛物线的标准方程 .解:设直线与抛物线的交点为( x1,y1),(x2,y2).由得 x2-2(4+m)x+16=0,所以 x1+x2=2(4+m),x1x2=16,所以弦长 =2.由 2=6,解得 m=1 或 m=-9.经检验, m=1 或 m=-9 均符合题意 .所以所求抛物线的标准方程为 y2=2x 或 y2=-18x.13.(10 分)已知椭圆 C:=1(ab0)的左焦点 F 及点 A(0,b),原点 O 到直线 FA 的距
9、离为 b.(1)求椭圆 C 的离心率 e;(2)若点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点 P 在圆 O:x2+y2=4 上,求椭圆 C 的方程及点 P 的坐标 .解:(1)由点 F(-ae,0),点 A(0,b),及 b=a 得直线 FA 的方程为 =1,即 x-ey+ae=0.原点 O 到直线 FA 的距离为 b=ae, a=ae.解得 e=.(2)设椭圆 C 的左焦点 F 关于直线 l:2x+y=0 的对称点为 P(x0,y0),则有解得 x0=a,y0=a. P 在圆 x2+y2=4 上, =4. a2=8,b2=(1-e2)a2=4.故椭圆 C 的方程为 =1,点 P 的坐标为
10、.14.(14 分)设椭圆 =1(ab0)的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点 .来源 :GKSTK.Com(1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 -,求椭圆的离心率;(2)若 |AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k|.(1)解:设点 P 的坐标为( x0,y0).由题意,有 =1.由 A (-a,0),B(a,0),得 kAP=,kBP=.由 kAPkBP=-,可得 =a2-2,代入并整理得( a2-2b2)=0.由于 y00,故 a2=2b2.于是 e2=,所以椭圆的离心率 e=.(2)解:(方法一)依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为( x0,y0).由条件得消去 y0并整理得.由 |AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0,得( x0+a)2+k2=a2.整理得(1+k2)+2ax0=0.而 x00,于是 x0=,代入,整理得(1+k2)2=4k2+4.由 ab0,故(1 +k2)24k2+4,即 k2+14,因此 k23.所以 |k|.(方法二)依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为( x0,kx0),由点 P 在椭圆上,有 =1.因为 ab0,kx00,所以 3,所以 |k|.
