1、宁县五中导学案课题 第二章 推理与证明 单元测试 授课时间 课型 习题课课时 1 授课人 科目 数学 主备 任树峰二次修改意见知识与技能 通过典型案例的探究，了解回归分析的基本思想、方法及初步应用，明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。过程与方法 对章节知识点进行归纳整理，通过章节知识测试，提高学生对本章知识的掌握程度;教学目标 情感态度价值观 培养学生探究意识，合作意识，应用用所学知识解决生活中的实际问题。教材分析重难点 章节知识点进行归纳整理，典型例题的解决思路及变式训练。教法 引导归纳 ， 三主互位导学法 学法 归纳训练教学设想 教具 多媒体, 刻
2、度尺课堂设计(时间 90 分钟，满分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1有一段演绎推理是这样的：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数 ”结论显然是错误的，是因为( )A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D非以上错误【解析】 该推理的形式不符合三段论推理模式，故结论错误【答案】 C2下列推理过程是类比推理的是( )A人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为12B科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C通过检测溶液的 pH 值得出溶液的酸碱性D数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周
3、期函数【解析】 A 为归纳推理，C，D 均为演绎推理故选 B.【答案】 B3求证： 2 .3 7 5证明：因为 和 2 都是正数，3 7 5所以为了证明 2 ，3 7 5只需证明( )2(2 )2，3 7 5展开得 102 20，即 5，21 21只需证明 2125.因为 2125 成立，所以不等式 2 成立3 7 5上述证明过程应用了( )A综合法B分析法C综合法、分析法配合使用D间接证法【解析】 结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法【答案】 B4下面叙述正确的是( )A综合法、分析法是直接证明的方法B综合法是直接证法，分析法是间接证法C综合法、分析法所用语气都是肯定的
4、D综合法、分析法所用语气都是假定的【解析】 综合法和分析法都是直接证明的方法，不过综合法所用语气是肯定的，分析法所用语气是假定的【答案】 A5(2012江西高考 )观察下列事实： |x| y|1 的不同整数解( x， y)的个数为 4，| x| y|2 的不同整数解( x， y)的个数为 8，| x| y|3 的不同整数解( x， y)的个数为 12，则| x| y|20 的不同整数解( x， y)的个数为( )A76 B80 C86 D92【解析】 由题意知| x| y|1 的不同整数解的个数为 4，| x| y|2 的不同整数解的个数为8，| x| y|3 的不同整数解的个数为 12，则可
5、归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的 4 倍，则| x| y|20 的不同整数解的个数为 80.【答案】 B6(2014济南高三检测 )下列三句话按“ 三段论”模式排列顺序正确的是( ) ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数； ycos x(xR)是周期函数A B C D【解析】 显然是大前提，是小前提，是结论【答案】 D7用演绎推理证明函数 y x3是增函数时的大前提是( )A增函数的定义B函数 y x3满足增函数的定义C若 x1x2，则 f(x1)f(x2)【解析】 根据演绎推理的特点知，演绎推理是一种由一般到特殊的推理，所以函数 y x3是增函
6、数的大前提应是单调增函数的定义【答案】 A8如图 3 所示，4 个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐 1,2,3,4 号座位，如果第 1 次前后排动物互换座位，第 2 次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第 2 012 次互换座位后，小兔所坐的座位号是( )1鼠2猴3兔4猫开始1兔2猫3鼠4猴第 1 次1猫2兔3猴4鼠第 2 次1猴2鼠3猫4兔第 3 次图 3A1 B2 C3 D4【解析】 由题意得第 4 次互换座位后，4 个小动物又回到了原座位，即每经过 4 次互换座位后，小动物回到原座位，所以第 2 012 次互换座位后的结果与最初的位置相同，故小兔坐在第 3 号座位上【答案
7、】 C9用反证法证明命题“ 三角形的内角中至多有一个钝角” 时，反设正确的是( )A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】 “ 至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为 “至少有两个” 【答案】 B10已知 x(0， )，观察下列式子： x 2， x 3，类比有 x n1( nN *)，1x 4x2 x2 x2 4x2 axn则 a 的值为( )A nn B n C n1 D n1【答案】 A二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)11对于平面几何中的命题“如果两个角
8、的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补” ，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题“_” ，这个类比命题的真假性是_【解析】 边类比半平面，角类比二面角可得【答案】 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 假命题12(2014鞍山高二检测)命题“ 函数 f(x) x xln x 在区间(0,1)上是增函数” 的证明过程“对函数f(x) x xln x 求导得 f(x)ln x，当 x(0,1) 时， f(x)ln x0，故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数” 应用了_ 的证明方法【解析】 显然本题的证明过程是从已知条件出发一步一步推导结论，是由因导果的顺
9、推法，故为综合法【答案】 综合法13观察以下不等式1 ，122 321 ，122 132 531 ，122 132 142 74可归纳出对大于 1 的正整数 n 成立的一个不等式：1 f(n)，则不等式右端 f(n)的表122 132 1n2达式应为_( n1， nN)【解析】 由所给不等式可知，分子为 3,5,7，；分母为 2,3,4，寻找规律可知 f(n) .2n 1n【答案】 2n 1n14补充下列证明过程：要证 a2 b2 c2ab bc ac(a， b， cR)，即证_，即证_，因为 a， b， c 为实数，上式显然成立故命题结论成立【解析】 a， b， c 在不等式中的位置是一样的
10、，两端同乘以 2 后移项，可转化为完全平方式【答案】 2( a2 b2 c2)2ab2 bc2 ac ( a b)2( b c)2( a c)20三、解答题(本大题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)已知 a， b 是正有理数， ， 是无理数，证明： 必为无理数a b a b【证明】 假设 为有理数，记 p ，因为 a， b 是正有理数，所以 p0.将 p 两边a b a b a b平方，得 a p2 b2 p ，所以 .因为 a， b， p 均为有理数，所以 必为有理数，这与已b bp2 b a2p b知条件矛盾，故假设错误所以 必为
11、无理数a b16(本小题满分 12 分)(2014银川高二检测)用分析法证明：若 a0，则 a 2.a2 1a2 2 1a【证明】 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只需证 2 a .a2 1a2 1a 2因为 a0，所以两边均大于零，因此只需证2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)只需证 a2 44 a22 22 ，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)只需证 ，a2 1a2 22(a 1a)只需证 a2 ，1a212(a2 1a2 2)即证 a2 2，它显然成立，1a2所以原不等式成立17(本小题满分 12 分)(2013广东高考)设各项均为正数的数列 an的前 n 项和为
12、 Sn，满足 4Sn a4 n1， nN *，且 a2， a5， a14构成等比数列2n 1(1)证明： a2 ；4a1 5(2)求数列 an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 0，所以 a2 .4a1 5(2)因为 4Sn a 4 n1，2n 1所以当 n2 时， 4Sn1 a 4( n1)1，2n由得 4an a a 4，2n 1 2n即 a a 4 an4( an2) 2(n2)2n 1 2n因为 an0，所以 an1 an2，即 an1 an2( n2)因为 a2， a5， a14成等比数列，所以 a a2a14，25即( a232) 2 a2(a212 2)，解得 a23.
13、又由(1)知 a2 ，所以 a11，所以 a2 a12.4a1 5综上知 an1 an2( nN *)，所以数列 an是首项为 1，公差为 2 的等差数列所以 an12( n1)2 n1.所以数列 an的通项公式为 an2 n1( nN *)(3)证明：由(2)知 1anan 1 12n 12n 1 ( )，12 12n 1 12n 1所以 1a1a2 1a2a3 1anan 1 (1 )12 13 13 15 12n 1 12n 1 (1 ) .12 12n 1 12 14n 21218(本小题满分 14 分)已知 ABC 的三边 a， b， c 的倒数成等差数列，试分别用分析法和综合法证明
14、 B 为锐角【证明】 法一(分析法) 要证明 B 为锐角，只需证 cos B0，又因为 cos B ，所以只a2 c2 b22ac需证明 a2 c2 b20，即 a2 c2 b2.因为 a2 c22ac，所以只需证明 2ac b2.由已知 ，2b 1a 1c即 2ac b(a c)，所以只需证明 b(a c) b2，即只需证明 a c b.而 a c b 显然成立，所以 B 为锐角法二(综合法) 由题意： ，2b 1a 1c a cac则 b ， b(a c)2 ac.2aca c a c b， b(a c)2 ac b2.cos B 0.a2 c2 b22ac 2ac b22ac又0 B ，0 B ，即 B 为锐角 2
