1、2019 届贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中高三“3 3 3”高考备考诊断联考数学（文）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 （ ）A B C D【答案】C【解析】求出 A 中不等式的解集确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可【详解】，所以 ，故选 C.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2 （ ）A B C D【答案】D【解析】根据复数的运算法则进行计算即可【详解】，故选 D.【点睛】本题主要考查复数的计算，利用好复数乘法的运算法则是解决本题的关键3设命题 ， ，则 为（ ）A ， B ，C ， D ，【答案】A【解析】根据特称命题的否定方法，根据已
2、知中的原命题，写出其否定形式，可得答案【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以 ， ，故选 A.【点睛】本题考查的知识点是特称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键4设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的公差为（ ）A B C D【答案】B【解析】利用等差数列的前 n 项和公式、通项公式列出方程组，能求出数列a n的公差【详解】由题意，可得解得 ，故选 B.【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题5 是空气质量的一个重要指标，我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即
3、日均值在 以下空气质量为一级，在 之间空气质量为二级，在 以上空气质量为超标.如图是某地 11 月 1 日到 10 日 日均值（单位： ）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）A这 天中有 天空气质量为一级 B这 天中 日均值最高的是 11 月 5 日C从 日到 日， 日均值逐渐降低 D这 天的 日均值的中位数是【答案】D【解析】由折线图逐一判断各选项即可.【详解】由图易知：第 3,8,9,10 天空气质量为一级，故 A 正确，11 月 5 日 日均值为 82，显然最大，故 B 正确，从 日到 日， 日均值分别为：82,73,58,34,30，逐渐降到，故 C 正确，中位数是 ，所以 D 不正
4、确，故选 D.【点睛】本题考查了频数折线图，考查读图，识图，用图的能力，考查中位数的概念，属于基础题.6若 ， ，则 （ ）A B C D【答案】A【解析】由 可得 ，进而得到 ，利用二倍角正切公式得到结果 .【详解】， ， ， ， ，故选 A.【点睛】本题考查了二倍角正切公式，诱导公式，同角基本关系式 ，考查了恒等变形能力，属于基础题.7函数 图象的大致形状为（ ）A BC D【答案】D【解析】根据函数的性质，结合函数图象特点即可得到结论【详解】，是奇函数，关于 对称，排除 ， ；当 时， ，故选 D.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的
5、值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.8若 ， ，且 ， 共线，则 （ ）A B C D【答案】A【解析】由 ， 共线得到 k 值，进而利用数量积坐标运算得到结果.【详解】， 共线， ， ， ， ， ，故选 A.【点睛】本题考查向量平行的坐标形式，考查数量积的坐标运算，考查计算能力.9如图，已知 ， 分别为抛物线 的顶点和焦点，斜率为 的直线 经过点 与抛物线 交于 ， 两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于点 ， ，则（ ）A B C D【答案】B【解析】由抛物线的几何性质可知
6、： ，结合抛物线定义可知，联立方程，利用韦达定理可得结果.【详解】由抛物线的几何性质可知： ，设 ， ，由 ， ，知 ，联立直线 与抛物线的方程 消 有 ，由韦达定理知 ，所以 ，故选 B.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线定义及几何性质，考查了韦达定理，考查了转化思想，方程思想，属于中档题.10新定义运算 若 ，当 时， 的值域为（ ）A B C D【答案】D【解析】由新定义得到分段函数 对每段分别求值域，最后求并集即可.【详解】由题意知即， ， ，的值域为 ，故选 D.【点睛】本题以新定义为背景，考查了分段函数的图象与性质，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数与方程思
7、想，属于中档题.11某几何体的三视图如图所示，则其表面积是（ ）A B C D【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体由一个圆锥和一个长方体组成，结合图中数据计算表面积即可.【详解】原几何体由一个圆锥和一个长方体组成，故选 A.【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.12已知 ， ，对 ，且 ，恒有 ，则实数 的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题意可得 ， ，即 在 上单调递增，转化为导函数 恒成立.【详解】依题意，得 ，且 ，
8、 ，则 在 上单调递增，则 ，恒成立，则 ，令 ，则 ，当 时 ；当 时， ，故 ，所以 ，故选 B.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.二、填空题13设实数 ， 满足不等式组 则 的最小值是 _【答案】【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数 zx +y 对应的直线进行平移，可得当 xy 1 时，zx+y 取得最小值【详解】作出不等式组 表示的平面区域：得到如图的阴影部分，得 A（1，1）
9、，设 zF（x，y）x+y，将直线 l：zx+y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值，z 最小值 F（1， 1）2故答案为：2【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14如图，在一个边长为 的正方形中随机撒入 粒豆子，恰有 粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为_【答案】【解析】先求出正方形的面积为 1，设阴影部分的面积为 x，由概率的几何概型知 ，由此能求
10、出该阴影部分的面积【详解】设阴影部分的面积为 x，由概率的几何概型知，则 ，解得 x 故答案为： 【点睛】本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型 解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题15已知函数 则函数 与 的交点个数为_个【答案】【解析】函数 与 的交点个数即方程 根的个数。【详解】由 ，得 ， ；由 ，即 ，得 ， .故答案为：4【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且，还必须结合
11、函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点16在数列 中 ， ，记 为数列 的前 项和，则 的值为_【答案】【解析】由已知结合数列递推式求出数列前 5 项，得到数列是以 4 为周期的周期数列，由此求得答案【详解】， ， ，如此继续，得 ，.故答案为：1010【点睛】本题考查了数列递推式及前 n 项和的求法，关键是对数列周期性的发现，是中档题三、解答题17在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，且 .（1 ）求角 的大小；（2 ）若 ， 的面
12、积为 ，求 .【答案】 （1） （2）【解析】 （1）根据正弦定理边角互化，我们易将已知条件中 ，且 ，转化为关于 A 角的三角方程，解方程，即可求出 A 角大小；（2）由 ，可得 ， 结合余弦定理可得结果.【详解】（1）由 ，可得 ，即 ，即 ，即 ，即 ， ， ， .（2）由 ，可得 ， ， ，由余弦定理得 ，.【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角” ，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18为了适应高考改革，某中学推行
13、“ 创新课堂”教学.高一平行甲班采用 “传统教学”的教学方式授课，高一平行乙班采用“创新课堂” 的教学方式授课，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取 名学生的成绩进行统计分析，结果如下表：（记成绩不低于 分者为“成绩优秀”）分数甲班频数乙班频数（1 ）由以上统计数据填写下面的 列联表，并判断是否有 以上的把握认为“ 成绩优秀与教学方式有关”？甲班 乙班 总计成绩优秀成绩不优秀总计（2 ）在上述样本中，学校从成绩为 的学生中随机抽取 人进行学习交流，求这 人来自同一个班级的概率.参考公式： ，其中 .临界值表【答案】 （1）有 以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.（2）【
14、解析】 （1）填写列联表，计算 K2，对照数表即可得出结论；（2）设 ， 表示成绩为 的甲班学生， ， ， ， 表示成绩为 的乙班学生，根据古典概型公式可得结果.【详解】（1）补充的 列联表如下表：甲班 乙班 总计成绩优秀成绩不优秀总计根据 列联表中的数据，得 的观测值为 ，所以有 以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.（2）设 ， 表示成绩为 的甲班学生， ， ， ， 表示成绩为 的乙班学生，则从这 名学生中抽取 名学生进行学习交流共有 15 种等可能的结果：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，根据古典概率计算公式，从 名学生中抽取 名学生进行学习交流，来自同一个班
15、级的概率为 .【点睛】独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19如图，在底面是正方形的四棱锥 中， 是 的中点， ， ，点在底面 的射影 恰是 的中点.（1 ）证明：平面 平面 ；（2 ）求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析（2）【解析】(1)先证明 ，从而 平面 ，易证结果；（2）利用等积法 .【详解】（1）证明：依题意，得 平面 ，又 平面 ，所以 .又 ， ，所以 平面 .又 平面 ，所以平面 平面 .（2）
16、解： 平面 ， 为 的中点， 为等腰三角形，又 ， ， ， ， .因为点 是 的中点，所以 到平面 的距离等于点 到平面 距离的一半，即三棱锥 的体积为 .【点睛】注意求体积的一些特殊方法分割法、补形法、等体积法. 割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决等积法：等积法包括等面积法和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体) 的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值20已知 ， 是椭圆 的左、右
17、焦点，椭圆 过点 .（1 ）求椭圆 的方程；（2 ）过点 的直线 （不过坐标原点）与椭圆 交于 ， 两点，且点 在 轴上方，点在 轴下方，若 ，求直线 的斜率.【答案】 （1） （2）【解析】(1) 由条件知 从而解得 ，即可得到椭圆 的方程；（2）设 ， ，则 ， ，设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程消去 ，得 ，由韦达定理及 可建立关于未知量的方程，解之即可.【详解】（1）由条件知 解得因此椭圆 的方程为 .（2）解法一：设 ， ，则 ， ，设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程消去 ，得 ，由韦达定理得 ， ，由 知 ，即 ，带入上式得 ，所以 ，解得 ，结合图形知 ，故直线 的斜率为
18、.解法二：设 ， ，则 ， ，设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程消去 ，得 ，因此 ， ，由 知 ，代入上式得 ，解得 ，结合图形知 ，故直线 的斜率为 .【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法，考查韦达定理的应用，考查转化能力与计算能力，属于中档题.21已知函数 .（1 ）讨论函数 的单调性；（2 ）证明：如果函数 有极大值，则极大值小于 .【答案】 （1）见解析 （2）见解析【解析】(1)求出导函数 ，对 a 分类讨论，解不等式即可得到 的单调区间；（2）由（1）知，如果函数 有极大值，则 ，且 为极大值，又， ，故 ，即证 .【详解】（1） 的定义域是 ，当 时， 恒
19、成立， 在 上单调递增；当 ， ， 恒成立， 在 上单调递增；当 时， ，方程 有两根， ， ，由 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 ，上单调递增.（2）证明：由（1）知，如果函数 有极大值，则 ，且 为极大值，即 ， ， ， ，令 ，则在 上单调递增，在 上单调递减，,即 ，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.证明不等式往往是根据题意构造新函数，转化为求函数的最值，本题中充分利用了 ， 来简化函数的结构.22 （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 中，曲线 的方程为，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲
20、线 的极坐标方程为 .（1 ）求曲线 的直角坐标方程；（2 ）点 和点 分别为曲线 ，和曲线 上的动点，求 的最小值，并写出当取到最小值时点 的直角坐标.【答案】 （1） （2）【解析】 （1）根据 ，把曲线 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（2）设 ，由点到直线的距离公式得 ，利用三角函数的有界性，得到 最小值及点 的直角坐标.【详解】（1）由 ，得 ，把 代入，化简得曲线 的直角坐标方程为 .（2）设 ，由点到直线的距离公式得，其中 ， ，所以 ，此时有 ， ，所以 .【点睛】此题主要考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，以及参数方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型，也
21、是常考题.在参数方程求最值问题中，通动点的参数坐标，根据距离公式可得所求距离关于参数的解析式，结合三角函数的知识进行运算，从而问题可得解.23 （选修 4-5：不等式选讲）已知函数 .（1 ）当 时，求 的最小值；（2 ）当 时， 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1）1， （2）【解析】 （1）当 时，利用绝对值三角不等式即可得到函数 的最小值；（2）当 时， 恒成立即 ，利用变量分离法转化为 ，求最值即可.【详解】（1）当 时，则 ，当且仅当 ，即 时，函数 有最小值 .（2）当 时， 化为 ，即 ，所以 的取值范围是 .【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用。
