1、垂直关系的性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理, 能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明 .2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题 .装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗 ,测量门窗是否安装得竖直 ,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题 1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理, 因为铅垂线受重力影响始终是与地面 垂直 的, 当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时, 观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时 ,说明门线与铅垂线 不平行 ,也就说明门安装得 不竖直 . (2)直
2、线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行 .符号表示: a,bab . 问题 2:叙述平面与平面垂直的性质定理, 并根据图形用符号语言写出这个定理 .性质定理:如果两个平面垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 .符号表示: ,=l,AB,且 ABl 于 BAB . 问题 3:空间中垂直关系是如何转化的?由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化关系可用下图表示:由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果 .在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了至关重要的作
3、用, 应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化 .如证线线垂直, 可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直 .因此, 线面垂直 关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽 . 问题 4:关于线面垂直、面面垂直, 还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论: 过一点有且 只有一个 平面和已知直线垂直 . 过一点有且 只有一条 直线和已知平面垂直 . 平面和平面垂直的两个重要结论: 若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在 第一个 平面内 . 两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线 垂直 于第三个平面 . 1.已知 a、 b 为异面直线, b 与 c 垂直,则( )
4、.A.ac B.bc C.b 与 c 相交 D.不确定2.下列说法中正确的个数为( ). 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直; 过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直; 一条直线和一个平面不垂直, 那么这条直线和平面内的所有直线都不垂直; 垂直于同一平面的两条直线平行 .A.1 B.2 C.3 D.43.已知 l,m 是直线, , 是平面,给出下列说法: 若 ,且 ,则 ; 若 =l,且 l,则 且 ; 若 l,则 l.其中正确的是 . 4.如图,四边形 ABCD 是平行四边形, 直线 SC平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB平面 ABC
5、D.线面垂直的性质定理的应用如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中, EF 与异面直线 AC、 A1D 都垂直相交, 求证:EFBD1.线面垂直的判定与性质的综合应用如图,已知 =AB,EC平面 ,C 为垂足, ED平面 ,D 为垂足 .求证: CDAB.面面垂直的性质定理的应用如图所示, ABC 为正三角形, EC平面 ABC,BDCE,且 CE=CA=2BD=4,M 是 AE 的中点 .求证:平面 BDM平面 ECA.已知 a、 b 为异面直线 ,AB 与 a、 b 都垂直相交,若 a,b,且 =c.求证: ABc.已知底面为正方形的四棱锥 PABCD 的侧棱 PA底面 ABCD,
6、过点 A 在侧面 PAB 内作 AEPB 于 E,过 E 作 EFPC 于 F.那么图中 AF 与 PC 的位置关系如何?如图,在 ABC 中, BAC=60,线段 AD平面 ABC,E 为 CD 上一点, 且平面 ABE平面DBC.求证 :点 A 在平面 DBC 内的射影不可能是 BCD 的垂心 .1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( ).A.有一平面与 a,b 都垂直B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交2.已知直线 l平面 : 若直线 ml,则 m; 若 m,则 ml; 若 m,则 ml; 若 ml,则 m,上述判断正确的是( ).A. B. C. D.3.把 RtABC 斜边上的高 CD 折成直二面角 A-CD-B 后, 互相垂直的面有 对 . 4.三棱锥 PABC 中, PB=PC,AB=AC,点 D 为 BC 中点, AHPD 于点 H,连接 BH,求证:平面ABH平面 PBC.(2013 年天津卷改编)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点 .证明: B1C1CE.
