1、2015-2016 学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 M=y|y=x2+1，xR，集合 N=y|y=ln（x+1 ）+1 ，xR，则 MN 等于（ ）A （0，1） B （0，1） C1，+） D1，+ ）2命题“若p 则 q”是真命题，则 p 是q 的（ ）条件A充分 B充分非必要 C必要 D必要非充分3已知 ， 的夹角是 120，且 =（2，4） ，| |= ，则 在 上的投影等于（ ）A B C2 D4已知 p：存在 xR，mx 2+10，q：任意
2、xR，x 2+mx+10，若 p 且 q 为真命题，则实数 m 的取值范围是（ ）Am2 B 2m2 C0m 2 D2m 05在ABC 中，角 A，B，C ，的对边分别为 a，b，c，若（a 2+c2b2）tanB= ac，则角 B 的值为（ ）A B 或 C D 或6已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动（含端点）. ， =x +2y （x，y R） ，则 的取值范围是（ ）A B C D7若函数 f（x）= sin（x+）cos（x+） （0）为奇函数，将函数 f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移 个单位得到函数 g（x） ，则 g（x）的解析式可以是
3、（ ）A BC D8已知如图（1）的图象对应的函数为 y=f（x） ，给出y=f（|x| ） ；y=|f （x）|a；y=f（|x|） ；y=f（|x|） y=|f（|x| ）|a ，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（ ）A B C D9已知定义域为 R 的奇函数 y=f（x）的导函数为 y=f（x） ，当 x0 时，若 a= f（ ） ， ，c=（ln ）f（ln ） ，则 a，b，c的大小关系正确的是（ ）Aacb Bbc a Ca bc Dcab10若函数 f（x） （xR）关于 对称，且 则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是 3，（2）f（x）是偶函数， （3） f（
4、x） 关于 对称， （4） f（x）关于 对称，正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个11如图，已知 l1l2，圆心在 l1 上，半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令 y= ，则 y 与时间t（0t1，单位：s）的函数 y=f（t ）的图象大致为（ ）A B C D12设函数 f（x）= ，若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa2 B a1 C a 1 Da2 或 a1二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13
5、若 tan（+ ）= ，则 sin2= 14设等差数列a n前 n 项和 Sn，a 3+a8+a13=C，a 4+a14=2C，其中 C0，则 Sn 在 n 等于 时取到最大值15已知 f（x）=x 24x+3 在0，a的值域是1，3实数 a 的取值范围记为集合 A，g（x）=cos 2x+sinx记 g（x）的最大值为 g（a ） 若 g（a）b，对任意实数 aA 恒成立，则实数 b 的取值范围是 16若函数 f（x）=（1 x2） （x 2+ax+b）的图象关于直线 x=1 对称，则 f（x）的最大值为 三、解答题：（本大题共 7 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
6、）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数17已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，圆 C 的参数方程为 （ 为参数）（1）当 a=0 时，求直线 l 和圆 C 交点的极坐标（，） （其中 0，0 2 ） ；（2）若直线 l 与圆 C 交于 P、Q 两点，P、Q 间的劣弧长是 ，求直线 l 的极坐标方程18 （2015 秋 厦门校级期中） （1）若不等式|2x 1|+|x+2|m2+ m+2 对任意实数 x 恒成立，求实数 m的取值范围；（2）设 a，b，c 大于 0，且 1 + + （|2x1|+|x+2|）对任意实数 x 恒成立，求证：a+2b+3c919已知函数 f
7、（x）=sin（x+） （ 0，0 ）的图象经过点（ 0， ） ，且相邻两条对称轴间的距离为 （）求函数 f（x）的解析式及其单调递增区间；（）在ABC 中，a ，b，c 分别是角 A、B 、C 的对边，若 f（ ） cosA= ，且 bc=1，b+c=3，求a 的值20设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn=an+12n+1+1， （n N） ，且 a1=1（1）设 cn= （nN +） ，求数列a n的通项公式；（2）设数列b n满足 bn=n（a n+2n） ，求数列b n的前 n 项和 Tn21已知 ，|AB 1|=3，|AB 2|=4， = + （1）若 B1，P，B 2
8、三点共线，求 | |的最小值，并用 ， 表示 ；（2）设 Q 是 AB1B2 的内心，若| |2，求 的取值范围22某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为 l1，l 2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 L如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l 2 的距离分别为 5 千米和 80 千米，点 N 到 l1 的距离为 100 千米，以 l1，l 2 所在的直线分别为 x、y 轴建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= 模型（其中 a 为常数） （1）设公路 L 与曲线 C 相
9、切于 P 点，P 的横坐标为 t请写出公路 L 长度的函数解析式 f（t ） ，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 L 的长度最短？求出最短长度（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路 L 与山体之间修建绿化带（如图阴影部分） ，求绿化带的面积23设函数 f（x）=e mxmx2（1）当 m=2 时，求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线 L1 的方程；（2）当 m0 时，要使 f（x）1 对一切实数 x0 恒成立，求实数 m 的取值范围；（3）求证： 2015-2016 学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小
10、题，每小题 5 分，共 60 分在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合 M=y|y=x2+1，xR，集合 N=y|y=ln（x+1 ）+1 ，xR，则 MN 等于（ ）A （0，1） B （0，1） C1，+） D1，+ ）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】求出 M 中 y 的范围确定出 M，求出 N 中 y 的范围确定出 N，找出两集合的交集即可【解答】解：由 M 中 y=x2+11，即 M=1，+ ） ，由 N 中 y=ln（x+1 ）+1，即 N=（ ，+ ） ，则 MN=1，+） ，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键
11、2命题“若p 则 q”是真命题，则 p 是q 的（ ）条件A充分 B充分非必要 C必要 D必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若 p，则 q”的逆否命题即可【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若 p，则 q”的逆否命题为“ 若q，则 p”即qp，p 是q 的必要条件，故选：C【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大3已知 ， 的夹角是 120，且 =（2，4） ，| |= ，则 在 上的投影等于（ ）A B C2 D【考点】平面向量数量积的运算【专题】向量法；平
12、面向量及应用【分析】由向量模的公式可得| |，再由向量投影的概念可得 在 上的投影等于| |cos120【解答】解： =（ 2，4） ，可得| |=2 ，由题意可得 在 上的投影为| |cos120=2 （ ）= 故选 B【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题4已知 p：存在 xR，mx 2+10，q：任意 xR，x 2+mx+10，若 p 且 q 为真命题，则实数 m 的取值范围是（ ）Am2 B 2m2 C0m 2 D2m 0【考点】复合命题的真假【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】分别求出 p，q 成立的 m 的范围，取交集即可【解答
13、】解：关于 p：存在 xR，mx 2+10，m0，关于 q：任意 xR，x 2+mx+10，则=m 240，解得：2m2，若 p 且 q 为真命题，则 p，q 均为真命题，则实数 m 的取值范围是：2m0，故选：D【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题5在ABC 中，角 A，B，C ，的对边分别为 a，b，c，若（a 2+c2b2）tanB= ac，则角 B 的值为（ ）A B 或 C D 或【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理表示出 cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出 sinB 的值，即可确定出 B 的度数【解答】解
14、：cosB= ，a2+c2b2=2accosB，代入已知等式得：2accosBtanB= ac，即 sinB= ，则 B= 或 故选：B【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6已知点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上运动（含端点）. ， =x +2y （x，y R） ，则 的取值范围是（ ）A B C D【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】以 O 为原点，OA 方向为 x 轴正方向建立坐标系，分别求出 A，B 的坐标，进而根据则=（cos，sin） ，根据正弦函数的性质，即可得到
15、 的取值范围【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设 A（1，0） ，B（0，1） ，设AOC=（0 ） ，则 =（cos，sin） 由 =（x，2y）= （cos，sin ） ，则 = （cos+sin）= sin（+ ） （0 ） ，由 + ，可得 sin（ + ） ，1 ，即有 ， 故选：B【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C 点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键7若函数 f（x）= sin（x+）cos（x+） （0）为奇函数，将函数 f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移 个单位得到函数
16、g（x） ，则 g（x）的解析式可以是（ ）A BC D【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换；由 y=Asin（ x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出 根据函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律即可得解【解答】解：f（x）= sin（x+ ）cos（x+ ）=2sin（x+ ） ， （0 ）为奇函数，= ，f（x）=2sinx ，将函数 f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移 个单位
17、得到函数 g（x） ，则 g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x ）=2sin（2x ） 故选：A【点评】本题主要考查了函数 y=Asin（x+）的图象变换，由 y=Asin（ x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题8已知如图（1）的图象对应的函数为 y=f（x） ，给出y=f（|x| ） ；y=|f （x）|a；y=f（|x|） ；y=f（|x|） y=|f（|x| ）|a ，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（ ）A B C D【考点】函数的图象【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用【分析】由图（
18、2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于，当 x0 时，y=f（|x|）=y=f（x） ，其图象在 y 轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除对于，当 x0 时，对应的函数是 y=f（x） a，是把（1）中图象位于 y 轴右侧的部分向下平移 a个单位得到的，显然不正确，故排除对于，当 x0 时，对应的函数是 y=f（x） ，是把（1）中图象位于 y 轴右侧的部分关于 x 轴对称得到的，显然不正确，故排除对于，当 x0 时，对应的函数是 y=f（ x） ，是把（1）中图象位于 y 轴左侧的部分关于 y 轴对称得到的，满足
19、条件对于，当 x0 时，对应的函数是 y=|f（x）|a ，是把（ 1）中图象位于 y 轴右侧的部分向下平移a 个单位得到的，显然不正确，故排除 ，故选：A【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题9已知定义域为 R 的奇函数 y=f（x）的导函数为 y=f（x） ，当 x0 时，若 a= f（ ） ， ，c=（ln ）f（ln ） ，则 a，b，c的大小关系正确的是（ ）Aacb Bbc a Ca bc Dcab【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用【分析】构造函数 g（x）=xf（x） ，判断
20、g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论【解答】解：令 g（x）=xf（x） ，则 g（x）=xf（x）=xf（x）g（ x）是偶函数g（x）=f（x）+xf（x）当 x 0 时，xf（x）+f（x）0，当 x0 时，xf（x）+f（x）0g（ x）在（ 0，+ ）上是减函数 ln21g（ ）g（ln2）g（ ）g（ x）是偶函数g（ ）=g（ ） ，g（ln ）=g（ln2 ）g（ ）g（ln ）g（ ）故选：B【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题10若函数 f（x） （xR）关于 对称，且 则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是 3，（2）f（x）是偶函数，
21、 （3） f（x） 关于 对称， （4） f（x）关于 对称，正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】根据已知中函数 f（ x） （xR）关于 对称，且 ，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案【解答】解： ，f（ x+3）= = =f（x） ，故 f（x）的最小正周期是 3，故（ 1）正确；又 函数 f（x） （xR）关于 对称，f（ x）= = =f（ x） ，即 f（x）是偶函数，故（2）正确；又 f（3x）=f（ x）=f（x） ，故 f（x） 关于 对称，故（ 3）正确；又 函数 f（x
22、） （xR）关于 对称，f（x）的最小正周期是 3，故 f（x）关于 对称，故（ 4）正确；故正确的命题有 4 个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键11如图，已知 l1l2，圆心在 l1 上，半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A，圆 O 沿 l1 以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令 y= ，则 y 与时间t（0t1，单位：s）的函数 y=f（t ）的图象大致为（ ）A B C D【考点】函数的图象【专题】数形结合；数形结合法；函
23、数的性质及应用【分析】通过 t=0 时 y=0，排除选项 C、D ，利用 x 的增加的变化率，说明 y=sin2x 的变化率，得到选项即可【解答】解：因为当 t=0 时， x=0，对应 y=0，所以选项 C，D 不合题意，当 t 由 0 增加时，x 的变化率先快后慢，又 y=sin2x 在0 ，1 上是增函数，所以函数 y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项 B 满足题意，C 正好相反，故选：B【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题12设函数 f（x）= ，若 f（x）恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa2 B a1 C a 1 Da2
24、或 a1【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】分别设 h（x）=2 xa，g（x）=4（x a） （x2a） ，分两种情况讨论，即可求出 a 的范围【解答】解：设 h（x）=2 xa，g（x）=4（x a） （x2a）若在 x1 时，h（x）=2 xa 与 x 轴有一个交点，所以 a0，并且当 x=1 时，h（1）=2a0，所以 0a 2，而函数 g（x）=4（x a） （x 2a）有一个交点，所以 2a1，且 a1，所以 a1，若函数 h（x）=2 xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点，则函数 g（x）=4（x a） （x 2a）有两个交点，当 a0 时，
25、h（x）与 x 轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去） ，当 h（1）=2 a时，即 a2 时，g（x）的两个交点满足 x1=a，x 2=2a，都是满足题意的，综上所述 a 的取值范围是 a1，或 a2故选：D【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13若 tan（+ ）= ，则 sin2= 【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可【解答】解：tan（+ ）= ，=
26、，可得 tan= sin2= = = 故答案为： ；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力14设等差数列a n前 n 项和 Sn，a 3+a8+a13=C，a 4+a14=2C，其中 C0，则 Sn 在 n 等于 7 时取到最大值【考点】等差数列的前 n 项和【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数，可得结论【解答】解：由题意和等差数列的性质可得 a3+a8+a13=3a8=C，a 4+a14=2a9=2C，a8= ， a9=C， 公差 d= ，a 1= 7 = ，an=
27、+（n1） = C（2n 15） ，令 an= C（2n15）0 可得 2n150，解得 n递减的等差数列a n前 7 项为正数，从第 8 项开始为负数，当 n=7 时，S n 取最大值故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前 n 项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题15已知 f（x）=x 24x+3 在0，a的值域是1，3实数 a 的取值范围记为集合 A，g（x）=cos 2x+sinx记 g（x）的最大值为 g（a ） 若 g（a）b，对任意实数 aA 恒成立，则实数 b 的取值范围是 b 【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；
28、集合【分析】作函数 f（x）=x 24x+3 的图象，从而可得 A=2，4；再化简 g（x）= （sinx ）2+1+ ，从而可得 g（a ）=1+ ，再求 g（a）的最小值即可【解答】解：作函数 f（x）=x 24x+3 的图象如下，f（ x）=x 24x+3 在0，a 的值域是 1，3 ，2a4，故 A=2，4；g（x）=cos 2x+ sinx=1sin2x+ sinx=（sinx ） 2+1+ ， 1，g（ a）=1+ ，A=2，4，g min（a ）=1+ = ，g（ a）b 对任意实数 aA 恒成立，b ，故答案为：b 【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，
29、同时考查了恒成立问题16若函数 f（x）=（1 x2） （x 2+ax+b）的图象关于直线 x=1 对称，则 f（x）的最大值为 6 【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用【分析】由题意得 f（0）=f（ 2）=0 且 f（ 4）=f（2）=0，由此求出 a=4 且 b=0，可得 f（x）= x4x3+x2+4x利用导数研究 f（x）的单调性，可得到 f（x）的最大值【解答】解：函数 f（x）=（1 x2） （x 2+ax+b）的图象关于直线 x=1 对称，f（ 0）=f（2） =0 且 f（4）=f（2）=0，即 b=0 且（1 4）（4
30、） 2+a（ 4）+b =0，解之得 a=4，b=0，因此，f（x）=（1 x2） （x 2+4x）= x4x3+x2+4x，求导数，得 f（ x）=x 33x2+2x+4=（x+1） （x+1+ ） （x+1 ）当 x（， 1 ）（1，1+ ）时，f（x）0，当 x（1 ，1）（1+ ，+）时，f（x）0，f（ x）在（， 1 ）单调递增，在（ 1 ，1）单调递减，在（ 1，1+ ）单调递增，在（1+ ，+）单调递减，故当 x=1 和 x=1+ 时取极大值， f（1 ）=f（1+ ）=6故答案为：6【点评】本题给出多项式函数的图象关于 x=1 对称，求函数的最大值着重考查了函数的奇偶性、利用
31、导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题三、解答题：（本大题共 7 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数17已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，圆 C 的参数方程为 （ 为参数）（1）当 a=0 时，求直线 l 和圆 C 交点的极坐标（，） （其中 0，0 2 ） ；（2）若直线 l 与圆 C 交于 P、Q 两点，P、Q 间的劣弧长是 ，求直线 l 的极坐标方程【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程【分析】 （1）先求出圆的直角坐标
32、方程和直线 l： ，由此能求出直线 l 和圆 C 交点的极坐标（2）圆心 C 到直线的距离 d 是 2，直线的直角坐标方程是： ，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线 l 的极坐标方程【解答】解：（1）圆 C 的参数方程为 （ 为参数） ，圆的直角坐标方程是 x2+y2=16， （1 分） ，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，当 a=0 时，直线 l： ，（2 分）代入 x2+y2=16 得 x=2，P ，Q （3 分）则直线 l 和圆 C 交点的极坐标分别是 ， （5 分）（2）由于 P、Q 间的劣弧长是 ，则圆心角 ， （6 分）圆心 C 到直线的距离 d 是 2，直线的直角坐标
33、方程是： ， （7 分）， ，直线直角坐标方程是： 或 ， （8 分）直线 l 的极坐标方程： 或 （10 分）即 或 （写成 或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用18 （2015 秋 厦门校级期中） （1）若不等式|2x 1|+|x+2|m2+ m+2 对任意实数 x 恒成立，求实数 m的取值范围；（2）设 a，b，c 大于 0，且 1 + + （|2x1|+|x+2|）对任意实数 x 恒成立，求证：a+2b+3c9【考点】不等式的证明；函数恒成立问题【专题】函数思想；综合法；函数的性质及
34、应用；推理和证明【分析】 （1）由绝对值的含义，将|2x 1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到 m2+ m+2 ，解不等式可得 m 的范围；（2）运用两边夹法则，可得 + + =1，且 a，b，c 大于 0，即有 a+2b+3c=（a+2b+3c） （ + +） ，展开后运用基本不等式，即可得证【解答】解：（1）|2x 1|+|x+2|= ，当 x2 时， 13x 递减，取值范围是5，+） ；当2 x 时，3x 的范围是 ，5） ；当 x 时，3x+1 的范围是（ ，+） 从而|2x 1|+|x+2| ，解不等式 m2+ m+2 ，得 m1， （2）证明：由
35、（1）知 （|2x 1|+|x+2|）1，则 + + 1，又 1 + + ，则 + + =1，且 a，b，c 大于 0，即有 a+2b+3c=（a+2b+3c） （ + + ）=3+（ + ）+（ + ） +（ + ）3+2 +2 +2 =9当且仅当 a=2b=3c= 时，等号成立因此 a+2b+3c9【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题19已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0，0 ）的图象经过点（ 0， ） ，且相邻两条对称轴间的距离为 （）求函数 f（x）的解析式及其单调递增区间；（
36、）在ABC 中，a ，b，c 分别是角 A、B 、C 的对边，若 f（ ） cosA= ，且 bc=1，b+c=3，求a 的值【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性【专题】解三角形【分析】 （）把已知点坐标代入求出 的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出 的值，即可确定出函数 f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（）由第一问确定出的解析式，表示出 f（ ） ，代入已知等式求出 A 的度数，利用余弦定理列出关系式，把 cosA 的值代入，变形后将 bc 与 b+c 的值代入即可求出 a 的值【解答】解：（）把（0， ）代入解析式得：sin =
37、，0 ， = ，相邻两条对称轴间的距离为 ，函数的周期为 ，即 =2，函数 f（x）的解析式为 f（x）=sin（2x+ ） ，令 +2k2x+ +2k， kZ，得到 +kx +k，kZ，则 f（x）的单调递增区间为 +k， +k，k Z；（）由第一问得：f（ ）=sin（A+ ） ，代入得：sin（A+ ）cosA= sinA+ cosAcosA= sinA cosA=sin（A ）= ，A = 或 ，即 A= 或 A=（舍去） ，bc=1， b+c=3，由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=（b+c） 23bc=93=6，则 a= 【点评】此题考查了余弦定理，正弦
38、函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键20设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 2Sn=an+12n+1+1， （n N） ，且 a1=1（1）设 cn= （nN +） ，求数列a n的通项公式；（2）设数列b n满足 bn=n（a n+2n） ，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】 （1）2S n=an+12n+1+1， （nN ） ，当 n2 时，2S n1=an2n+1，相减可得：，c n= （nN +） ，利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用“错位相减法” 与等比数列的前 n 项和公式即可
39、得出【解答】解：（1）2S n=an+12n+1+1， （nN ） ，当 n2 时，2S n1=an2n+1，相减可得：2a n=an+1an2n，化为： ，cn= （nN +） ， ，cn是等比数列，公比为 ，首项为 cn+1= ，cn= 1， = 1，可得 an=3n2n（2）b n=n（a n+2n）=n 3n，数列 bn的前 n 项和 Tn=3+232+323+n3n，3Tn=32+233+（n 1）3 n+n3n+1，2Tn=3+32+3nn3n+1= n3n+1= ，Tn= 【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计
40、算能力，属于中档题21已知 ，|AB 1|=3，|AB 2|=4， = + （1）若 B1，P，B 2 三点共线，求 | |的最小值，并用 ， 表示 ；（2）设 Q 是 AB1B2 的内心，若| |2，求 的取值范围【考点】平面向量数量积的运算【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用【分析】 （1）利用 B1，P，B 2 三点共线， = + ，可求得 + =1；再结合 ，|AB 1|=3，|AB 2|=4，可得 | |2=2+2= 2 +9，于是可求得| |的最小值及取得最小值时、 的值，从而可用 ， 表示 ；（2）以 A 为原点，AB 1、AB 2 所在的直线分别为 x 轴、
41、y 轴建立直角坐标系，则 B1（3，0） ，B2（0，4） ，Q（1，1） ，P （， ） ，于是利用| |2=（1） 2+（1） 24，再令1=rcos， 1=sin（0r 2）可得 =2+234=r2rcos2rsin5，利用辅助角公式及配方法即可求得 ，2 1【解答】解：（1）B 1，P，B 2 三点共线， = + ， + =1又 ， |AB1|=3，|AB 2|=4，| |2= | |2+ | |2=2+2= 2 +9，当 时，| |min= ，此时 ， = + ；（2）以 A 为原点，AB 1、AB 2 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系，则 B1（3，0） ，B2（0，
42、4） ，Q（1，1） ，P （， ） ，| |2=（1） 2+（1） 24，令 1=rcos，1=sin ，0r2=（ 3，） ， =（， 4） ， =2+234=r2rcos2rsin5=r2 rsin（+） 5，其中 tan= 又 r2 rsin（+ ）5r 2+ r52 1，r2 rsin（+）5r 2 r5=（r ） 2 ， ，2 1【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题22某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路记两条
43、相互垂直的公路为 l1，l 2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 L如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l 2 的距离分别为 5 千米和 80 千米，点 N 到 l1 的距离为 100 千米，以 l1，l 2 所在的直线分别为 x、y 轴建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y= 模型（其中 a 为常数） （1）设公路 L 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t请写出公路 L 长度的函数解析式 f（t ） ，并写出其定义域；当 t 为何值时，公路 L 的长度最短？求出最短长度（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路 L 与山体之间修建绿化带
44、（如图阴影部分） ，求绿化带的面积【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】 （1）由题知 M（5，80）代入 y= ，则 a=400，进而求出 y= ，得出坐标N（100，4） ，利用导数求出斜率，得出直线的方程 ，进而求出与坐标轴的交点A（0， ） ，B（2t，0） ，利用勾股定理可得 （t 5，100） ；运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与 x=5，x=100 之间的面积为 ，得出山体与 L1、L 2 围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是 400+400ln208
45、00=400ln20400【解答】解：（1）由题意 M（5，80）代入 y= ，则 a=400，y= ，N （100，4） ，定义域为5，100P（ t， ） ， ，则公路 l 的方程： ，令 x=0，可得 y= ；令 y=0，可得 x=2t （t5 ，100） ；A（0， ） ，B（2t，0） ，= ，当且仅当 t=205，100时等号成立，所以当 t 为 20 时，公路 l 的长度最短长度是 3200 千米；（2）山体与 x=5，x=100 之间的面积为dx=400lnx| =400（ln100ln5 ）=400ln20，山体与 L1、L 2 围成的面积是 400+400ln20，L 与 y，x 轴交点分别是 A（ 0，40） ，B（40，0） ，公路与 L1、L 2 围成的面积是 800，所以绿化带的面积是 400+400ln20800=400ln20400（平方公里） 答：当 t 为 20 时，公路 L 的长度最短，最短长度是 3200 千米；在公路长度最短时，需在公路 L 与山体之间修建绿化带的面积是 400ln20400 平方公里【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解23设函数 f（x）
